2010年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習--幾何綜合題 Ⅰ、綜合問題精講： 幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學(xué)生綜合運用幾何知識的能力，這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識點較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答．解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示；二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)；同時，也要由未知想需要，選擇已知條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論來探求思路，找到解決問題的關(guān)鍵． 解幾何綜合題，還應(yīng)注意以下幾點： ⑴ 注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形． ⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路． ⑶ 運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題．還要靈活運用數(shù)學(xué)思想方法伯數(shù)形結(jié)合、分類討論等）． Ⅱ、典型例題剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點E，點F是BE的中點． （1）求證：DF是⊙O的切線．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的長． 解：（1）證明：連接OD，AD． AC是直徑， ∴　AD⊥BC．　 ⊿ABC中，AB＝AC， ∴　∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．　　 又∠BED是圓內(nèi)接四邊形ACDE的外角， ∴∠C＝∠BED． 故∠B＝∠BED，即DE＝DB． 　 點F是BE的中點，DF⊥AB且OA和OD是半徑， 即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA． 故OD⊥DF ，DF是⊙O的切線．　　　　　　　 （2）設(shè)BF＝x，BE＝2BF＝2x． 又　BD＝CD＝BC＝6， 根據(jù)，． 化簡，得　，解得?。ú缓项}意，舍去）． 則　BF的長為2．　 點撥：過半徑的外端且垂直于半徑的直線才是切線，所以要證明一條直線是否是此圓的切線，應(yīng)滿足這兩個條件才行． A B C D E 【例2】（重慶，10分）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求證：BD＝CD。 證明：因為∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE ∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB和△ADC中， ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。 （注：用“AAS”證三角形全等，同樣給分） 點撥：要想證明BD=CD，應(yīng)首先觀察它們所在的圖形之間有什么聯(lián)系，經(jīng)觀察可得它們所在的三角形有可能全等．所以應(yīng)從證明兩個三角形全等的角度得出，當然此題還可以采用“AAS”來證明． 【例3】（內(nèi)江，10分）如圖⊙O半徑為2，弦BD＝，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上。求：四邊形ABCD的面積。 解:連結(jié)OA、OB，OA交BD于F。 【例4】（博興模擬，10分）國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造．蓮花村六組有四個村莊A、B、CD正好位于一個正方形的四個頂點．現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖2－4－4中的實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線． 解：不妨設(shè)正方形的邊長為1，顯然圖2－4－4⑴、⑵中的線路總長相等都是3． 圖2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得線路總長為2≈2．828． 圖2－4－4（4）中，延長EF交BC于H，由 ∠FBH＝30°，BH=， 利用勾股定理，可求得EA=ED=FB==FC= 所以⑷中線路總長為： 4EF+EF=4× 顯然圖2－4－4⑷線路最短，這種方案最省電線． 點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股未理講行計算線路長，然后通過比較，得出結(jié)論． 【例5】（紹興）如圖矩形ABCD中，過A，B兩點的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，連結(jié)EF。 ⑴求證：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的長。 ⑴證明：∵CE切⊙O于E， ∴∠CEF=∠EBC， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∴∠ABE+∠EBC=90°， ∵AH丄BE，∴∠ABE+∠BAH=90° ∴∠BAH=∠EBC，∴∠CEF＝∠BAH ⑵解： ∵CE切⊙O于E ∴CE2=CF·BC，BC=2CE=6 ∴CE2=CF·6，所以CF= ∴BF=BC-CF=6－= 點撥：熟練掌握切線的性質(zhì)及切線長定理是解決此題的關(guān)鍵． Ⅲ、綜合鞏固練習：（100分；90分鐘） 一、選擇題（每題3分，共21分） 1．如圖2－4－6所示，是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為1．2米， 桌面距離地面1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為（ ） A．0．036π平方米; B．0．81π平方米; C．2π平方米; D、3．24π平方米 2．某學(xué)校計劃在校園內(nèi)修建一座周長為12米的花壇，同學(xué)們設(shè)計出正三角形、正方形和圓三種方案，其中使花壇面積最大的 圖案是（ ） A．正三角形; B．正方形; C．圓; D．不能確定 3．下列說法：①如果兩個三角形的周長之比是1：2，那么這兩個三角形的面積之比是1：4；②平行四邊形是中心對稱圖形；③經(jīng)過三點有且只有一個圓；④相等的角是對頂角，其中錯誤是（ ） A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 4．等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則這個三角形其余的內(nèi)角可能為（ ） A．700，400 B．700，550 C．700，400或550，550 D．無法確定 5．如圖2－4－7所示，周長為68的矩形被分成了7個全等的矩形，則矩形ABCD的面積為（ ） A．98 B．196; C．280 D．284 6．在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)為（ ） A．60o B．30 o C．90 o D．45 o 7．下列命題中是真命題的個數(shù)有（ ） ⑴直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1。2，則它的斜邊長為；⑵直角三角形的最大邊長為，最短邊長為l，則另一邊長為；（3）在直角三角形中，若兩條直角邊為n2－1和2n，則斜邊長為n2＋1；⑸等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 二、填空題（每題3分，共27分） 8．如圖2－4－8所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm．將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)至△A′BC′的位置，且使點A、B、C′三點在一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是_____． 9．若正三角形、正方形、正六邊形的周長都相等，它們的面積分別記為則由大到小的排列順序是：__________. 10若菱形的一個內(nèi)角為60°，邊長為4，則它的面積是__________． 11 已知數(shù)4，6，請再寫出一個數(shù)，使這三個數(shù)中一個數(shù)是另外兩個數(shù)的比例中項，這個數(shù)是________（只需填寫一個數(shù)）． 12一油桶高 0．8m，桶內(nèi)有油，一根木棒長1m，從桶蓋小口（小口靠近上壁）斜插入桶內(nèi)，一端到桶底內(nèi)壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長0．87m，則桶內(nèi)油面的高度為__________. 13 等腰三角形底邊中點與一腰的距離為5cm，則腰上的高為__________cm． 14 在平坦的草地上有 A、B、C三個小球，若已知 A球和 B球相距3米，A球與C球相距1米，則B球與C球可能相距________米．（球的半徑可忽略不計，只要求填出一個符合條件的數(shù)） 15 如果圓的半徑為3cm，那么60°的圓心角所對的弧長為____cm． 16 如圖2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，則S正方形ABCD=______. 三、解答題（每題13分，52分） 17. 已知：如圖 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，點D為BA上任一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點．試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論． 18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路把這片土地分成形狀相同且面積相等的4部分，若道路的寬度可以忽略不計，請設(shè)計三種不同的修路方案，畫圖并簡述步驟． 19. 如圖 2－4－11所示，已知測速站P到公路l的距離PO為40米，一輛汽車在公路l上行駛，測得此車從點A行駛到點B所用的時間為2秒，并測得∠APO=60○，∠BPO=30○，計算此車從A到B的平均速度為每秒多少米（結(jié)果保留四個有效數(shù)字）并判斷此車是否超過了每秒22米的限制速度． 20. 如圖2－4－12所示，EF為梯形ABCD的中位線．AH平分∠DA B交EF于M，延長DM交AB于N．求證：AADN是等腰三角形．