第十四章 三角形 單元復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案 一、知識(shí)系統(tǒng) 三角形 三角形的基本概念 全等三角形 等腰三角形 三 三 內(nèi) 三 全 全 全 等 等 等 角 角      角      角      等      等      等        腰      腰      腰 形 形 和 形 三 三 三 三 三 三 的 三 和 中 角 角 角 角 角 角 定 邊 定 的 形 形 形 形 形 形 義 的 理 主 的 的 的 的 的 的 關(guān) 要 定 判 性 定 判 性 系 線 義 定 質(zhì) 義 定 質(zhì) 段 量 二、題型舉例 （一）三角形三邊的關(guān)系 例1 若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 2 和 7,則第三邊長(zhǎng) c 的取值范圍是 ；當(dāng)周長(zhǎng)為 奇數(shù)時(shí),第三邊長(zhǎng)為 ． 分析：三角形的一邊小于其他兩邊的和.大于其他兩邊的差。已知的兩邊是一奇一偶， 當(dāng)周長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為應(yīng)為偶數(shù)。 解：第三邊長(zhǎng) c 的取值范圍是 5 < c < 9 當(dāng)周長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為 7 （二）三角形的內(nèi)和定理 例2 如圖，若∠A＝70°，∠ACD＝40°，∠ABE＝30°，求∠BDC、∠BFC 的度數(shù)． 分析：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 ∠BDC 是△ADC 的一個(gè)外角，和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是∠A 和 ∠ACD，它們度數(shù)分別是 70°和 40°。 所以∠BDC＝70°+40°＝110°。 A 解：因?yàn)椤螧DC＝∠A+∠ACD∠1＝∠2 D  E 又因?yàn)椤螦＝70°，∠ACD＝40°（已知） 所以∠BDC＝70°+40°＝110°（等量代換）  F 因?yàn)椤螧FC∠BDC +∠ABE（三角形的一個(gè)外角等于和 它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） B C ∠ABE＝30°（已知） 所以∠BFC＝110°+30°＝140°（等量代換） 例3 如圖所示,在△ABC 中,D 是 BC 邊上一點(diǎn),∠1＝∠2, ∠3＝∠4,∠BAC＝63°, 求∠DAC 的度數(shù). 分析：本題不能直接用內(nèi)角和等于 180°或外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和這兩個(gè)定理 A 1 2 3 4 得到∠DAC 的度數(shù).但可以設(shè)∠1＝∠2＝x.則∠3＝∠4＝2x. ∠BAC＝x+63° △ABC 的三個(gè)內(nèi)角分 x、2x、63°。它們的和為 180°，得到一元一次方， 方程的解就是∠1 的度數(shù)，從而求出∠DAC 的度數(shù). 解：因?yàn)椤?＝∠1+∠2（三角形的一個(gè)外角等于和 它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∠1＝∠2（已知） 所以∠3＝2∠1 設(shè)∠1＝∠2＝x. 則∠3＝∠4＝2x. ∠BAC＝x+63° 因?yàn)椤?+∠4+∠BAC＝180°（三角形的內(nèi)角和等于 180°） 所以 x+2x+63°＝180° 解得 x＝39°即∠1＝39° 所以∠DAC＝∠BAC-∠1＝63°-39°＝24° 反思：.幾何中的計(jì)算題，也可以用方程的思想解決。有些題只能用方程來(lái)解。 （三）全等三角形性質(zhì)和判定 例 4 已知：如圖，點(diǎn) A、E、F、D 在同一條直線上，AE＝DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足 為 F、E，BF＝CE.說(shuō)明：AB＝DC. 分析：此題需要先證明三角形全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊A B 相等得到 AB＝DC. 證明三角形全等需要三個(gè)條件， 這些條件往往不是直接已知的，而是要根據(jù)已知的條件通過(guò)推理得 E 到，這一過(guò)程必須先做。 解：因?yàn)?#160;BF⊥AD，CE⊥AD（已知） 所以∠AFB＝∠DEC＝90°（垂直的意義） F C                   D íÐAFB = ÐDEC（  已證） ïAF = DE（  已證） 因?yàn)?#160;AE＝DF（已知） 所以 AE+EF＝DF+EF（等量加等量和相等） 即 AF＝DE 在△ABF 與△DEC 中 ìBF = CE(已知） ï î 所以△ABF≌△DEC（S.A.S） 所以 AB＝DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） （四）等腰三角形性質(zhì)和判定 例 5 如圖，在△ABC 中，AB ＝ AC，∠BAD ＝∠CAE，點(diǎn) D、E 在 BC 上，試說(shuō)明△ADE 是等腰 三角形． 分析：本題不必說(shuō)明三角形全等。用等腰三角形的性質(zhì)和判定來(lái)說(shuō)明，思路簡(jiǎn)潔。 解：因?yàn)?#160;AB ＝ AC（已知） 所以∠BAD ＝∠CAE B＝∠C（等邊對(duì)等角） 因?yàn)椤螦DE＝ ∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE （三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） 又因?yàn)椤螧AD ＝∠CAE（已知） 所以∠ADE＝∠AED（等量代換） 所以 AD＝AE（等角對(duì)等邊）  A B D           E      C 所以△ADE 是等腰三角形（等腰三角形的意義） 例 6 如圖，△ABC 是等邊三角形，D 是 AC 的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) BD，延長(zhǎng) BC 至 E，使 CE ＝ CD， 聯(lián)結(jié) DE． (1)∠E 等于多少度？（2）說(shuō)明 DB 與 DE 相等的理由． A 解：（1）因?yàn)椤鰽BC 是等邊三角形 (已知) ， 所以∠ACB＝60°(等邊三角形性質(zhì)). D 因?yàn)?#160;CE ＝ CD （已知）, 所以∠E＝∠EDC（等邊對(duì)等角）. 因?yàn)椤螦CB＝∠E+∠EDC（三角形的一個(gè)外角等于與它 B C E 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）, 所以∠E＝30°. （2）因?yàn)椤鰽BC 是等邊三角形，所以 AB＝CB，∠ABC＝60°(等邊三角形性質(zhì))． 因?yàn)?#160;D 是 AC 的中點(diǎn)，所以∠ABD＝∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一） 因?yàn)椤螮＝30°（已證），所以∠E＝∠DBC （等量代換）． 所以 DB ＝ DE（等角對(duì)等邊）． 三、同步練習(xí) （一）、填空題： 1. 指出下列每組線段能否組成三角形圖形： （1）a＝5,b＝4,c＝3 （2）a＝7,b＝2,c＝4 （3）a＝6,b＝6,c＝12 （4）a＝5,b＝5,c＝6 2. 已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 11cm 和 5cm，它的周長(zhǎng)是 。 3. 三角形三邊為 3，5， a，則 a 的范圍是 。 4. 三角形兩邊長(zhǎng)分別為 25cm 和 10cm，第三條邊與其中一邊的長(zhǎng)相等，則第三 邊長(zhǎng) 為 。 5. 等腰三角形的周長(zhǎng)為 14，其中一邊長(zhǎng)為 3，則腰長(zhǎng)為 6. 已知：等腰三角形的底邊長(zhǎng)為 6cm，那么其腰長(zhǎng) a 的范圍是 7. 在△ABC 中，已知：∠A＝32.5°，∠B＝84.2°，∠C 的度數(shù) 。 8. 在△ABC 中，已知：∠A＝50°，∠B 比∠C 小 15°，∠B 的度數(shù)是 9. 直角三角形的兩個(gè)銳角相等，則每一個(gè)銳角等于 度。 10. △ABC 中，∠A＝∠B+∠C，這個(gè)三角形是 三角形。 11. △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則∠B＝ 12. △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝60°，則與∠C 相鄰的外角等于 13. 如圖所示，∠CAB 的外角等于 120°, ∠B 等于 40°, 則∠C 的度數(shù)是 . , C 40°          120° B          A （二）、閱讀并填空： 14．如圖，△ABC 中，BC＝5cm，BP、CP 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線，且 PD∥AB，PE∥AC， 點(diǎn) D、E 在邊 BC 上，求△PDE 的周長(zhǎng)。 解：∵BP 平分∠ABC（已知） ∴∠ABP＝∠ （ ） ∵PD∥AB（已知） ∴∠ABP＝∠ （ ） ∴∠ ＝∠ （ ） ∴ ＝ （ ）  B  A P D       E      C 同理：PE＝CE ∴C△PDE＝P+DE+PE＝BD+DE+CE＝BC＝5cm （三）、計(jì)算題： 15．如圖，∠1、∠2 是△ABC 的外角，已知∠1＋∠2＝260°，求∠A 的度數(shù)． A B 2 1 C （四）、說(shuō)明理由 16．如圖，已知點(diǎn) B、D 在直線 AE 上，AC // DF，∠C ＝∠F，AD ＝ BE，試說(shuō)明 BC // EF 的理由． C        F A D     B         E 17.如圖，在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分別在 BC、AC 邊上，且∠1＝∠B，AD＝DE. 說(shuō)明：△ADB≌△DEC A 3 E B  D 1  2  C 18．如圖，已知 AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AF，試判斷 AF 與 CD 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。 A B E C F D 參考答案 三、同步練習(xí) 1．（1）（4）能，（2）（3）不能。 2．27cm。 3．2＜a＜8。 4．25cm 5．5．5 6．A＞3 7．63．3 8．57．5° 9．45° 10．直角三角形 11．60° 12．100° 13．80° 14．DBP 角平分線意義 DPB 兩直線平行，內(nèi)錨角相等到 DBP DPB PD ＝BD 15．設(shè)∠A 的一個(gè)外角為∠3， 則∠1＋∠2＋∠3＝360°（三角形的外角和等于 360°）。所以∠A＝100° 16．由 AD ＝ BE 得 AB＝DE，可得△ABF≌△DEC（A.A.S） 從而∠ABC ＝∠DEF，得 BC // EF。 17．由∠ADC＝∠B+∠3（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）, 得∠2＝∠3. 18．垂直.△ABC≌△AED（S.A.S）. AC＝AD.由等腰三角形的三線合一得 AF⊥CD