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1、1,第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì),介值定理( intermediate value theorem ),小結(jié) 思考題 作業(yè),最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函數(shù)與極限,2,定義,例,設(shè)f (x)在區(qū)間I上有定義,,使得當(dāng),恒有,若存在點,為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的,最小 值,,記為,則稱,(大),一、最大值和最小值定理,3,,,在閉區(qū)間上連續(xù)的,(1) 定理1中的條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)性”,定理1(最大值和最小值定理),函數(shù)一定有最大值和最小值.,是不可少的.,,,,,,4,,在開區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),,在(0,1)內(nèi),又如:,在閉區(qū)間0,2上有,函數(shù)f

2、 (x)在0,2上,既沒有最大值,,如:,函數(shù),沒有最大值或最小值.,也沒有最小值.,間斷點,函數(shù),,5,,(2) “閉區(qū)間”和“連續(xù)性”,在開區(qū)間,取得最小值,函數(shù),處取得最大值 1.,而不是必要條件.,如,函數(shù),內(nèi)連續(xù),,但它在,處取得最大值1;,又如,在閉區(qū)間,上有間斷點,取得最小值,但它在,僅是定理的充分條件,,6,證,由定理1(最值定理),,定理2(有界性定理),有,取,則有,7,的零點.,定理3(方程實根的存在定理),使得,零點定理,幾何意義:,如圖所示.,二、介值定理,,,,8,,定理4(介值定理),使得,證,零點定理,輔助函數(shù),9,幾何意義:,至少有一個交點.,,,,,,10,幾何意義:,之間的任何值(不會有任何遺漏).,推論,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值,與最小值,,,,,,,,,,,,11,,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)常用于:,證明某些等式或不等式;,判斷某些方程根的存在性或?qū)嵏姆秶?,12,例,證,由零點定理,,13,例,證,由零點定理,,使,輔助函數(shù),14,練習(xí),證,則,零點定理,且,15,內(nèi)容小結(jié),在,上達(dá)到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當(dāng),時,,使,必存在,上有界;,在,在,注意條件1. 閉區(qū)間; 2. 連續(xù)函數(shù),這兩點不滿足上述定理不一定成立,