《（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題六 數(shù)列 第18講 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題六 數(shù)列 第18講 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題課件.ppt（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題六 數(shù)列 第18講等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題,第18講等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題 1.已知an是公差不為0的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,若a2a3=a4a5,S9=27,則a1的值是.,答案-5,解析設等差數(shù)列an的公差為d(d0),S9==9a5=27,a5=3,則由a2a3=a4 a5得(3-3d)(3-2d)=3(3-d),解得d=2,則a1=a5-4d=3-8=-5.,2.已知等差數(shù)列cn的首項c1=1.若2cn+3為等比數(shù)列,則c2 017= .,答案1,解析設等差數(shù)列cn的公差為d,因為c1=1,則2c1+3=5,2c2+3=2d+5,2c3+3=4d+5,由2cn+3為等

2、比數(shù)列得(2c1+3)(2c3+3)=(2c2+3)2,則5(4d+5)=(2d+5)2,解得d=0,則c2 017=c1=1.,3.等差數(shù)列an的前m項(m為奇數(shù))之和為77,其中偶數(shù)項之和為33,且a1-am=18,則an的通項公式為 .,答案an=-3n+23,4.已知數(shù)列an中,a1=1,a2=4,a3=10.若an+1-an是等比數(shù)列,則ai= .,答案3 049,解析a2-a1=3,a3-a2=6,則等比數(shù)列an+1-an的公比是2,則an+1-an=32n-1,則an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=1+3(1+2+22++2n-2)=1+3=32n-

3、1-2,則ai= 3(1+2+22++29)-20=3-20=3(210-1)-20=3 049.,5.數(shù)列an中,a1=8,a4=2,且滿足an+2=2an+1-an,nN*,Sn=|a1|+|a2|++|an|,則Sn= .,答案,解析由an+2=2an+1-an,nN*可得數(shù)列an是等差數(shù)列.又a1=8,a4=2,則公差d=-2,an=8-2(n-1)=10-2n,當an0時,即10-2n0時,n5,所以當1n5,nN*時,Sn=a1+a2++an=-n2+9n;當n6時,Sn=a1++a5-(a6++an)=n2-9n+40, 綜上可得,Sn=,題型一等差、等比數(shù)列的運算,例1(1)(

4、2018徐州高三考前模擬)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,若a1+a3+a5+a7+a9=10,-=36,則S10的值為; (2)(2018揚州高三第三次調研)已知an是等比數(shù)列,Sn是其前n項和.若a3=2,S12=4S6,則a9的值為.,答案(1)(2)2或6,解析(1)因為an是等差數(shù)列,所以a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,即a5=2,設公差為d,則-=(a8+a2)(a8-a2)=2a56d=24d=36,d=,則a6=a5+d=,S10==5(a5+ a6)=. (2)由S12=4S6得等比數(shù)列的公比q1,則=,化簡得1-q12=4(1-q 6),解得q6=1或q6=3,

5、又 a3=2,則a9=a3q6=2或6.,【方法歸納】(1)靈活應用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質可簡化運算,如an是等差數(shù)列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,則am+an=ap+aq,特別地,m+n=2p,m,n,pN*,則am+an=2ap;如an是等比數(shù)列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,則aman=apaq,特別地,m+n=2p,m,n,pN*,則aman=. (2)通項公式中含參數(shù)的數(shù)列成等差數(shù)列或等比數(shù)列時,一般利用特殊值法建立方程求參數(shù)的值. (3)進行運算求解時要注意等價,如本例(2)容易漏解,判斷出q1后從“1-q12=4(1-q6)”兩邊同時約去1-q6導致遺漏2,即

6、q=-1的情況,所以在約分時要慎重.,1-1(2015江蘇揚州中學高三第四次模擬)已知數(shù)列an與(nN*)均為 等差數(shù)列,且a1=2,得a10=.,答案20,解析設等差數(shù)列an的公差為d,則由(nN*)為等差數(shù)列,且a1=2,得= 4,=,=成等差數(shù)列,則4+=2,解得d=2,故a10 =a1+9d=20.,題型二等差、等比數(shù)列的證明,例2(2018江蘇五校高三學情檢測)已知數(shù)列an,bn滿足:bn=an+3an+1,nN*. (1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值; (2)設an=bn+bn+1,a1=-1,a2=,求證:數(shù)列bn從第2項起成等比數(shù)列; (3)若數(shù)列bn成等差數(shù)列,且b

7、1=5a2-a3,試判斷數(shù)列an是否成等差數(shù)列?并證明你的結論.,解析(1)當n=1,2時,可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,從而可得a1=4. (2)證明:由a1=-1,a2=,可得b1=a1+3a2=-, b2=a1-b1=-,又因為bn=an+3an+1,an=bn+bn+1, 所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,nN*. 又b2=-0,所以bn+1=-bn,nN*且n2,所以數(shù)列bn從第2項起成等比數(shù)列. (3)an成等差數(shù)列.證明如下:,由b1=5a2-a3可得a1+3a2=5a2-a3,即a3-2a2+a1=0

8、; 由bn=an+3an+1可得bn+1=an+1+3an+2,bn+2=an+2+3an+3. 又因為數(shù)列bn成等差數(shù)列,從而bn+2-bn+1=bn+1-bn,,即bn+2-2bn+1+bn=0,,從而bn+2-2bn+1+bn=(an+2+3an+3)-2(an+1+3an+2)+(an+3an+1)=0,,即an+2-2an+1+an=-3(an+3-2an+2+an+1),,所以an+2-2an+1+an=an-1(a3-2a2+a1)=0,故an+2-an+1=an+1-an, 所以數(shù)列an成等差數(shù)列.,【方法歸納】判斷或證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的兩種方法 定義法:對于任意自然數(shù)

9、n(n1),驗證an+1-an為同一常數(shù). 中項公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)列;若=an-1an+1(an 0,nN*,n2),則an為等比數(shù)列. 利用遞推公式證明等差或等比數(shù)列,一般利用等差、等比中項法,利用通項公式證明等差或等比數(shù)列,一般利用定義法.,2-1(2018南通高三第二次調研)設等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1,b2,b3,b4的公差為d,且q1,d0.記ci=ai+bi(i=1,2,3,4). (1)求證:數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列; (2)設a1=1,q=2.若數(shù)列c1,c2,c3是等比數(shù)列,求b2關于d的函

10、數(shù)關系式及其定義域; (3)數(shù)列c1,c2,c3,c4能不能為等比數(shù)列?并說明理由.,解析(1)證明:假設數(shù)列c1,c2,c3是等差數(shù)列, 則2c2=c1+c3,即2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3+b3). 因為b1,b2,b3是等差數(shù)列,所以2b2=b1+b3, 從而2a2=a1+a3. 又因為a1,a2,a3是等比數(shù)列,所以=a1a3. 所以a1=a2=a3,這與q1矛盾,從而假設不成立. 所以數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列. (2)因為a1=1,q=2,所以an=2n-1(n=1,2,3,4). 因為=c1c3,所以(2+b2)2=(1+b2-d)(4+b2+d),,即b2=d

11、2+3d, 由c2=2+b20,得d2+3d+20,所以d-1且d-2. 又d0,所以b2=d2+3d,定義域為dR|d-1,d-2,d0. (3)設c1,c2,c3,c4成等比數(shù)列,其公比為q1, 則,將+-2得,a1(q-1)2=c1(q1-1)2,,將+-2得,a1q(q-1)2=c1q1(q1-1)2, 因為a10,q1,得c10,q11. 由得q=q1,從而a1=c1. 代入得b1=0. 再代入,得d=0,與d0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不成等比數(shù)列.,題型三等差、等比數(shù)列的綜合問題,例3(2018江蘇,14,5分)已知A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.

12、將AB的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項和,則使得Sn12an+1成立的n的最小值為.,答案27,則Tl=22l-2+2l+1-2,則l,Tl,n,an+1的對應關系為,觀察到l=5時,Tl=S2112a39, 則n22,38),nN*時,存在n,使Sn12an+1, 此時T5=A1+A2++A16+B1+B2+B3+B4+B5,,則當n22,38),nN*時,Sn=T5+=n2-10n+87.,an+1=An+1-5=An-4, 12an+1=122(n-4)-1=24n-108,,Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94, 則n27時

13、,Sn-12an+10,即nmin=27.,【方法歸納】等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“基本量法”求解,但有時靈活地運用數(shù)列的性質,可使運算簡便,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法.,3-1設數(shù)列an,bn分別是各項為實數(shù)的無窮等差數(shù)列和無窮等比數(shù)列. (1)已知b1=1,b2b3-b2+6=0,求數(shù)列bn的前n項和Sn; (2)已知數(shù)列an的公差為d(d0),且a1b1+a2b2++anbn=(n-1)2n+1+2,求數(shù)列an,bn的通項公式(用含n,d的式子表達).,解析(1)設bn的公比為q,則有q3-q+6=0,即(q+2)(q2-2q+3)=0,所以q=-2,從而Sn=. (2)由a1b1+a2b2++anbn=(n-1)2n+1+2得a1b1+a2b2++an-1bn-1=(n-2)2n+2,兩式兩邊分別相減得anbn=n2n,所以an-1bn-1=(n-1)2n-1,兩式兩邊分別相除得q=(n 2),其中q是等比數(shù)列bn的公比.所以q=(n3),上面兩式兩邊分別 相除得=(n3).所以=,即=,解得a1=d或a1=-3d.若 a1=-3d,則a4=0,有424=a4b4=0矛盾,所以a1=d滿足條件,所以an=dn,bn=.,