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微機(jī)原理第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt

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1、第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn),本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n),傳輸函數(shù)為,(7.1.1),(7.1.2),式中,Hg()稱為幅度特性,()稱為相位特性。注意,這里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()為的實(shí)函數(shù),可能取負(fù)值,而|H(e

2、j)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù),即 ()=, 為常數(shù) (7.1.3) 如果()滿足下式: ()=0-,0是起始相位 (7.1.4) 嚴(yán)格地說(shuō),此時(shí)()不具有線性相位,但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù),即,也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位;滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是:h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱,即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是:h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N

3、-1)/2奇對(duì)稱,即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6),(1) 第一類線性相位條件證明:,將(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(7.1.7),按照上式可以將H(z)表示為,將z=e j代入上式,得到:,按照(7.1.2)式,幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為,(7.1.8),(7.1.9),(2) 第二類線性相位條件證明:,(7.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,因此,幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(7.1.11),(7.1.12),2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn) 1) h(n)=h(N-n-1),N=

4、奇數(shù) 按照(7.1.8)式,幅度函數(shù)H g()為,式中,h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱,余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱,可以以(N-1)/2為中心,把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并,由于N是奇數(shù),故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為,令m=(N-1)/2-n,則有,(7.1.13),(7.1.14),式中,按照(7.1.13)式,由于式中cosn項(xiàng)對(duì)=0,,2皆為偶對(duì)稱,因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)=0,,2是偶對(duì)稱的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似,不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù),Hg()中沒(méi)有單獨(dú)項(xiàng),相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。,3) h(n)=

5、-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下:,令m=N/2-n,則有,(7.1.15),(7.1.16),4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上面3)情況,推導(dǎo)如下:,令m=(N-1)/2-n,則有,(7.1.17),(7.1.18),令m=N/2-n,則有,(7.1.19),(7.1.20),3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式,綜合起來(lái)用下式表示:,(7.1.21),圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布,4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù),則有,

6、令m=N-n-1,則有,(7.1.22),如果N為奇數(shù),則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出,,(7.1.23),圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej),hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng),因此,相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)h-d(n)為,(7.2.1),(7.2.2),為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器,只有將h-d(n)截取一段,并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示,即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波

7、器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長(zhǎng)度為N,其系統(tǒng)函數(shù)為H(z),,圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的思路。另外,我們知道Hd(e j)是一個(gè)以2為周期的函數(shù),可以展為傅氏級(jí)數(shù),即,對(duì)(7.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換,根據(jù)復(fù)卷積定理,得到:,(7.2.4),式中,Hd(e j)和RN(e j)分別是hd(n)和RN(n) 的傅里葉變換,即,(7.2.5),RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù);將Ha(ej)寫成下式:,按照(7.2.1)式,理想低通濾波器的幅度特性Hd()為,將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式,得到:,將H(ej)寫成下式:,(

8、7.2.6),圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響,通過(guò)以上分析可知,對(duì)hd(n)加矩形窗處理后,H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點(diǎn): (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度,近似等于RN()主瓣寬度,即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動(dòng),最大的峰值在c-2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振,最大的負(fù)峰在c+2/N處。 在主瓣附近,按照(7.2.5)式,RN()可近似為,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n

9、) 前面已分析過(guò),按照(7.2.5)式,其頻率響應(yīng)為,2. 三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),其頻率響應(yīng)為,(7.2.9),3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗,當(dāng)N1時(shí),N-1N,,圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗,(7.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e j)為,其幅度函數(shù)WHm()為,當(dāng)N1時(shí),可近似表示為,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(7.2.14),圖7.2.4 常用的窗函數(shù),圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗;(b)巴特利特窗(三角形窗)

10、;(c)漢寧窗; (d)哈明窗;(e)布萊克曼窗,圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗;(b)巴特利特窗(三角形窗);(c)漢寧窗; (d)哈明窗;(e)布萊克曼窗,6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù),可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算:,一般I0(x)取1525項(xiàng),便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大,主瓣加寬,旁瓣幅度減小,典型數(shù)據(jù)為4<<9。當(dāng)=5.44時(shí),窗函數(shù)接近哈明窗。=7.865時(shí),窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為,(7.2.16),表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)

11、濾波器的性能影響,表7.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ej),那么單位取樣響應(yīng)用下式求出:,(7.2.17),(7.2.18),根據(jù)頻率采樣定理,hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系:,例如,理想低通濾波器如(7.2.1)式所示,求出單位取樣響應(yīng)hd(n)如(7.2.2)式,重寫如下: (2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求,選擇窗函數(shù)的形式,并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用表示,它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)

12、h(n), h(n)=hd(n)w(n),(4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算:,例7.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器,設(shè)N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作為逼近濾波器,按照(7.2.2)式,有,用漢寧窗設(shè)計(jì):,用布萊克曼窗設(shè)計(jì):,圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ej)表示,對(duì)它在=0到2之間等間隔采樣N點(diǎn),得到Hd(k),,再對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT,得到h(n),,(7.3.1),(7.3.2),式中,h(n)作為所設(shè)計(jì)的

13、濾波器的單位取樣響應(yīng),其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,(7.3.3),(7.3.4),1.用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列,且滿足h(n)=h(N-n-1),在此基礎(chǔ)上我們已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是:,(7.3.5),(7.3.6),(7.3.7),奇數(shù),偶數(shù),在=02之間等間隔采樣N點(diǎn),,將=k代入(7.3.4)(7.3.7)式中,并寫成k的函數(shù):,(7.3.8),(7.3.9),奇數(shù),偶數(shù),(7.3.10),(7.3.11),設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器,截止頻率為c,采樣點(diǎn)數(shù)N,Hg(k)和(k)用下面公式計(jì)算: N=奇數(shù)

14、時(shí),,(7.3.12),N=偶數(shù)時(shí),,(7.3.13),2. 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待設(shè)計(jì)的濾波器為Hd(ej),對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為hd(n),,則由頻率域采樣定理知道,在頻域02之間等間隔采樣N點(diǎn),利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期,周期性延拓乘以RN(),即,由采樣定理表明,頻率域等間隔采樣H(k),經(jīng)過(guò)IDFT得到h(n),其Z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為,圖7.3.1 理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn),例7.3.1 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器,要求截止頻率c=/2rad,采樣點(diǎn)數(shù)N=33,選用h(n)=h(N-1-n)情況。 解 用理想低通作為逼近

15、濾波器。按照(7.3.12)式,,對(duì)理想低通幅度特性采樣情況如圖7.3.2所示。將采樣得到的,圖7.3.2 對(duì)理想低通進(jìn)行采樣,圖7.3.3 例7.3.1的幅度特性,圖7.3.4 例7.3.1(N=65)有兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)幅度特性,7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器,如果用E(ej)表示Hd(ej)和所設(shè)計(jì)濾波器H(ej)之間的頻響誤差 E(ej)=H-d(ej)-H(ej) (7.4.1) 其均方誤差為,(7.4.2),1. 切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則 設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hd(),實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hg(),其加權(quán)誤差E()用下式表示:

16、 E()=W()Hd()-Hg() (7.4.3) 為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器,其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況,,將Hg()代入(7.4.3)式,則,(7.4.4),式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問(wèn)題是選擇 M+1個(gè)系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E()的最大值為最小, 即,該定理指出最佳一致逼近的充要條件是E()在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”,使得,2.利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的濾波器是線性相位低通濾波器,其幅度特性為,如果我們知道了A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率:0

17、,1,:,M+1,按照(7.4.4)式,并根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組準(zhǔn)則,可寫出,(7.4.5),將(7.4.5)式寫成矩陣形式,,(7.4.6),(1)在頻域等間隔取M+2個(gè)頻率0,1,:,M+1,作為交錯(cuò)點(diǎn)組的初始值。按下式計(jì)算值:,(7.4.7),(7.4.8),一般初始值i并不是最佳的極值頻率,也不是最優(yōu)估計(jì)誤差,它是相對(duì)于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式,求出Hg(),即,(7.4.9),(7.4.10),(7.4.11),(2)對(duì)上次確定的0,1,:,M+1中每一點(diǎn),都檢查其附近是否存在某一頻率|E()|,如有,再在該點(diǎn)附近找出局部極值點(diǎn),并用該點(diǎn)代替原來(lái)的點(diǎn)。

18、 (3)利用和第二步相同的方法,把各頻率處使|E()|||的點(diǎn)作為新的局部極值點(diǎn),從而又得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組。,圖7.4.2 雷米茲算法流程圖,3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié),我們已推導(dǎo)出線性相位的四種情況,它們的幅度特性H-g()分別如下式:,奇數(shù),奇數(shù),偶數(shù),偶數(shù),經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可把H-g()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中,P()是系數(shù)不同的余弦組合式,Q()是不同的常數(shù),四種情況的Q()和P()如表7.4.1所示。,表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況,表中 、 和 與原系數(shù)b(n),

19、c(n)和d(n)之間關(guān)系如下:,(7.4.14),(7.4.15),(7.4.16),將(7.4.13)式代入(7.4.3)式,得到:,(7.4.17),(7.4.18),圖7.4.3 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)線性相位 FIR濾波器程序框圖,圖7.4.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)的低通濾波器幅度特性,7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先,從性能上來(lái)說(shuō),IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方,因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性,所用的存貯單元少,所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線性為代價(jià)的。,從結(jié)構(gòu)上看,IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu),極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi),否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 從設(shè)計(jì)工具看,IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果,因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供準(zhǔn)確計(jì)算,計(jì)算工作量比較小,對(duì)計(jì)算工具的要求不高。,

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