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2012高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)

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2012高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)

2012考前沖刺數(shù)學第三部分 【高考預測】 1.掌握三角函數(shù)概念,其中以三角函數(shù)的定義學習為重點。(理科:兼顧反三角) 2.提高三角函數(shù)的恒等變形的能力,關(guān)鍵是熟悉誘導公式、同角關(guān)系、和差角公式及倍角公式等,掌握常見的變形方法。 3.解決三角函數(shù)中的求值問題,關(guān)鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。 4.熟練運用三角函數(shù)的性質(zhì),需關(guān)注復合問題,在問題轉(zhuǎn)化過程中,進一步重視三角恒等變形。 5.掌握等的圖象及性質(zhì),深刻理解圖象變換之原理。 6.解決與三角函數(shù)有關(guān)的(常見的)最值問題。 7.正確處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題,主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理,提高邊角、角角轉(zhuǎn)化意識。 8.提高綜合運用的能力,如對實際問題的解決以及與其它章節(jié)內(nèi)容的整合處理。 【易錯點點睛】 對癥下荮填 ∵ y=作出其圖 像知原函數(shù)的最小正周其為2π,最大值為-.故最小正周期和最大值之和為2π-. 2.函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x∈(0,2π)的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點,則眾的取值范圍是 . 【錯誤答案】 填[0,3] ∵f(x)= ∴f(x)的值域為(0,3),∵f(x)與y=k有交點, ∴k∈[0,3]. 【錯解分析】 上面解答求出k的范圍只能保證y= f(x)的圖像與y=k有交點,但不能保證y=f(x)的圖像與y=k有兩個交點,如k=1,兩圖像有三個交點.因此,正確的解答要作出了y=f(x)的圖像,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解. 【正確解答】 填(1,3) ∵f(x) 作出其圖像如圖 從圖5-1中可看出:當1<k<3時,直線y=k與 yf(x)有兩個交點. 3.(2012模擬題精選)要得到函數(shù)y=cosx的圖像,只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點的 ( ) A.橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),再向左平行移動 個單位長度 B.橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),再向右平行移動個單位長度 C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平行移動個單位長度 D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平行移動個單位長度 【錯誤答案】 B或D ∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫坐標縮短到原來的倍,得函數(shù)y=sin(x+)的圖像,再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)= cosx的圖像.故選B. 將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+).若將其圖像橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像.再向右平行移動 個單位長度后得y=cosx的圖像,選D. 【錯解分析】 選B有兩處錯誤,一是若將函數(shù)y f(x)=sin(2x+)橫坐標縮短到原來的倍,(縱坐標標不變)所得函數(shù)y=f(x)= sin(4x+),而不是f(x)=sin(x+),二是將函數(shù)y=f(x)=sin(x+)向右平行移動得函數(shù)y=f(x)=sinx的圖像,而不是y= f(x)=cosx的圖像.因為函數(shù)圖像變換是針對自變量而言,應該是x變?yōu)閤-選D同樣是兩處錯誤.一是橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得函數(shù)y=sin(x+)而不是y=sin(x+).由y=sin(x+)的圖像向右平移個單位長度得了y=sinx的圖像,而不是y=cosx的圖像. 【錯誤答案】 (1)∵x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸,∴sin(2×+)=±1,∴ + =kπ+k Z.∴ =kπ+ ,∵-π<<0,∴ =-π. (2)由(1)知 =π,因此y=sin(2×-π). ∵最小正周期為T==π.由題意得 kπ-≤2x-≤kπ+,k∈Z. 解得 kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z. 所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)查遞增區(qū)間為 【錯解分析】 以上解答錯在第(2)小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,令處,因若把看成一個整體u,則y=sinu的周期為2π。故應令,解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. 【正確解答】(1)解法1 ∵是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸,∴sin(2×+)=±1。 ∴ 解法2 ∵x=是y=f(x)圖象的對稱軸,∴對任意的x有f(x)=f(-x).令x=0時,有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又 (2)由(1)得,因此, 由題意得 (3)由知 x 0 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5.求函數(shù)的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 【錯誤答案】 當時,函數(shù)y有最小值-2. 當時,函數(shù)單調(diào)遞增. ∴函數(shù)遞增區(qū)間是. 【錯解分析】上面解答錯在求函數(shù)的遞增區(qū)間上,∵當x∈[0,]時,2x- (-,π)函數(shù)不為單調(diào)函數(shù).應先求出函數(shù)y=2sin(2x-)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間,再求它與區(qū)間[0,π]的交集. 【正確解答】 ∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-).故該函數(shù)的最小正周期是π. 當2x-=2kπ-時,即x=kπ-時,y有最小值 2.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z. 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 令K=0時,-≤x≤.又∵0≤x≤π,∴0≤x≤, K=1時, π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π. ∴函數(shù)y=2sin(2x-)的遞增區(qū)間是[0,] [π,π]. 【特別提醒】 一般地,y=Asib(ωx+)的圖象向左平移a個單位得到y(tǒng)=Asin[ω(x+a)+] 的圖象,再把其上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,即得到y(tǒng)=Asin[ωw1+ωa+]的圖像. 【變式探究】 1 已知函數(shù)y=tan 在(-,)內(nèi)是減函數(shù),則 ( ) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D. ω≤-1 答案:D解析∵函數(shù)y=tan ωx在(-)內(nèi)是減函數(shù),∴w<0,又∵函數(shù)y=tan(-wx)在()上是增函數(shù),∴有 2 函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期為 ( ) A. B. C.π D.2π 答案: C 解析:∵f(x)=|sin(x+)|.∵y=sin(x+) 的最小正周期為2π,∴f(x)=|sin(x+)|的最小正周期為π. 3 當0<x<時,函數(shù)f(x)=的最小值為 ( ) A.2 B.2 C.4 D. 4 答案: C 解析:∵f(x)=cotx+4tanx ∵0<x<,∴tan x >0,cot x>0,∴f(x)≥ 4 化簡f(x)=cos(+2x)+cos(π-2x)+ 2(x∈R,k∈Z)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期. 【錯解分析】 上面解答錯在由cos2α=得sin2α=±時沒有考慮角α是第四象限角.2α是第三、四象限角sin2α只能取負值.因而tan2α也只能為負值. 【正確解答】 -= cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α為第四象限角,即2kπ+<α< 2kπ+2π,k∈Z,∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z 即2α為第三、四象限角. ∴sin2α=- 2.(2012模擬題精選)已知-<x<0,sinx+cosx=, (1)求sinx-cosx的值; (2)求的值. =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx,用錯了公式,因為 2sin2 =1-cosx.因此原式化簡結(jié)果是錯誤的. 【正確解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-. ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ . 又∵- <x<0,∴sinx<0,∴cosx>0,sinx-cosx<0.∴sinx-cosx=. (2) ① ② 解法2 (1)聯(lián)立方程 由①得slnx=-cosx,將其代入②,整理得25cos2x- 5cosx-12=0,∴cosx=-或(cosx=) ∵- <x<0,∴故sinx-cosx=- ( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3.(2012模擬題精選)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[,π].求sin(2α+)的值. 即 【錯解分析】 上述解答忽視了題設條件提供的角的范圍的運用,∵α∈(,π),tanα<0,∴tanα=應舍去,因此原題只有一解. 【正確解答】 解法1 由已知得(3sinα+2cosα) (2sinα-cosα)=03sinα+2sinα=0或2sinα-cpsα=0. 由已知條件可知cosα2≠0,所以α≠,即α∈(,π). 于是tanα<0,tanα= sin(2α+)=sin2αcos+cos2α·sin 【錯誤答案】 ∵f(x) = ∵sinx的最大值為1,∴. ∴a=3 【錯解分析】 上面解答在三角恒等變形中,用錯了兩個公式:①1+cos2x≠2sin2x;②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1. ∴1+cos2x=2cos2x.由誘導公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx. 【正確解答】 ∵f(x)=其中角滿足由已知有=4,解之得,a= 【特別提醒】 由于三角函數(shù)式中包含著各種角,不同的三角函數(shù)的種類,以及不同的式了結(jié)構(gòu),所以三角函數(shù)配湊、降次與升冪、引入輔助角等.同時在三角恒等變形中應多觀察,以便發(fā)現(xiàn)角、三角函數(shù)名稱及式子結(jié)構(gòu)差異,運用公式,找出差異的內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當?shù)墓酱偈共町惖霓D(zhuǎn)化.另外,由于公式記錯而在考試中失分是很常風的,應該熟練掌握各種要求記的公式及其使用范圍. 【變式探究】 1 ( ) A.tanα B.tan2α c.1   D. 3 已知α、β均為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則 tanα= . 答案:1 解析:∵cos(α+β)=sin(α-β)cos αcosβ-sin αsinβ=sin αcosβ-cosα·sinβcosα(cosβ+sinβ) =sinα(sinβ+cosβ) ∵β∈(0,),sinβ>0,cosβ>0,∴.tan(α=1. 4 已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值; 答案:∵sin ∴ (2)設α∈(0,π),f()=,求sinα的值. 答案: ∴ 16sin2α-4sinα-11=0,解得sinα= ∵α∈(0,π),∴sinα>0,則sinα= 已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x,x∈(0,2π)求使f(x)為正值的x的集合. =(+a2)sin(x+) ∴f(x)的最大值為+a2.令+a2=+3. ∴a=± 易錯點3 三角函數(shù)的綜合應用 1.(2012模擬題精選)如圖,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0. (Ⅰ)將十字形的面積表示為θ的函數(shù); (Ⅱ)θ為何值時,十字形的面積最大?最大面積是多少? 【錯誤答案】 設S為十字形的面積,則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<). (2)當sin2θ=1即θ= 時,S最大,S的最大值為1. 【錯解分析】 上面解答錯在面積S的計算上,因為十字形面積等于兩個矩形面積和還需減去中間一個邊長為 x的正方形面積. 【正確解答】 (1)設S為十字形的面積,則S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(<θ< ) (2)解法1 S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ,其中=1,即2θ-=時,S最大. ∴當θ=時,S最大,S的最大值為. 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ, ∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ. 令S′=0.即2cos2θ+sin2θ=0, 可解得θ=arctan(-2). ∴當θ=arctan(-2)時,S最大,S的最大值為. 2.(2012模擬題精選)若0<x<,則2x與3sinx的大小關(guān)系為 ( ) A.2x>3sinx B.2x<3sinx C.2x=3sinx D.與x的取值有關(guān) 【錯誤答案】 選A 設f(x)=2x-3sinx,∴f(x)= 2-3cosx,∵0<x<f(x)>0. ∴f(x)在(0,)上是增函數(shù) ∴f(x)>f(0)=0. 即2x>3sinx,選A 【錯解分析】∵f′(x)=3(-cosx).當0<x<時,f′(x)不一定恒大于0,只有當x∈(arccos)時 f′(x)才大于0.因而原函數(shù)f(x)在(0,)先減后增函數(shù),因而2x與3sinx的大小不確定. 【正確解答】 選D 設y=(x)=2x-3sinx, ∵y′=2-3cosx=3(-cosx).∵當cosx<即x∈(arccos)時,y′>0.當x∈(0,arcccos)時,y′<0. 即當x∈(arccos,)時,f(x)>0.口P2x>3sinx當x∈(0,arccoss)時,f(x)<0.即2x<3sinx.故選D. 3.(2012模擬題精選)設函數(shù)f(x)=xsinx(x∈R) (1)證明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx.其中k∈Z; (2)設x0是f(x)的一個極值點.證明[f(x0)]2=; (3)設f(x)在(0,+∞)的全部極值點按從小到大的順序a1,a2,…,an,…,證明:<an+1-an<π. 【錯誤答案】 (1)證明:由函數(shù)f(x)的定義,對任意整數(shù)k,有f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)·sin(x+2kπ)- xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2karsinx. (2)函數(shù)f(x)在定義域R上可得f′(x)=sinx+ xcosx.令f′(x)=0,sinx+xcosx=0.顯然,對于滿足上述方程的x有cosx≠0,上述方程化簡為x=-tanx,此方程一定有解,f(x)的極值點x0一定滿足tanx0=-x0· (3)證明:設x0>0是f′,(x0)=0的任意正實根即x0 =-tax0,則存在一個非負整數(shù)k,使x0∈(+kπ,π+ kπ).即x0在第二或第四象限內(nèi). 由題設條件,a1,a2,…,an為方程x=-tanx的全部正實根,且滿足a1<a2<a3,…an,…,那么對于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) ② 由于+(n-1)π<an<π+(n-1)π,+nπ< an+1<π+nπ,則<an+1-an<π 由于tanan+1·tanan>0,由②式知tan(an-1,-an)< 0.由此可知an+1-an必在第二象限 ∴<an+1-an<π. 【錯解分析】 上面解答的錯誤出現(xiàn)在第三小題的證明,設x0是f′(x0)的根,則認為x0是f(x)的一個極值點,沒有判斷f′(x)在(+kπ,x0)和(x0+π+kπ)上的符號是否異號,這顯然是錯誤的. 【正確解答】 (1)證明:由函數(shù)f(x)的定義,對任意整數(shù)k,有f(x+2kπ)-π(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)- xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx. (2)證明:函數(shù)f(x)在定義域R上可導f′(x)=sinx +xcosx, ① 令f′(x)=0,得sinx+xcos=0顯然,對于滿足上述方程x有cosx≠0,上述方程化簡為x=-tanx.如圖所示,此方程一定有解f(x)的極值點x0一定滿足tanx0=-x0· 由sin2x= ∴[f(x0)]2= (3)證明:設x0>0是f′(x)=0的任意正實根,即x0-tanx0,則存在一個非負整數(shù)k,使x0∈(+kπ,π+kπ),即x0在第二或第四象限內(nèi).由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下: X () f′(x)的符號 K為奇數(shù) - 0 + K為偶數(shù) + 0 - 所以滿足f′(x)=0的正根x0都為f(x)的極值點. 由題設條件,a1,a2,…,an…為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a1<a2<…<an<…那么對于n=1,2,… an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an). ② 由于+(n-1)π<an<π+(n-1)π,+nπ<an+1<π+nπ,則<an+1-an<,由于tanan+1·tanan>0,由②式知tan(an+1-an)<.0由此可知an+1-an必在第二象限,即an+1-an<π.綜上,<an+1-an<π 【特別提醒】 處理與角度有關(guān)的應用問題時,可優(yōu)先考慮三角方法,其一般步驟是:具體設角、構(gòu)造三角函數(shù)模型,通過三角變換來解決.另外,有些代數(shù)問題,可通過三角代換,運用三角知識來求解.有些三角問題,也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù),利用代數(shù)知識來求解如前面第2、3題. 【變式探究】 1將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程,所得方程是 答案:解析:(x-1)2+y2=4 由 ∴ 2 若x2+y2=4,則x-y的最大值是 . 答案:2解析:設x:2cosθ,y=2sinθ,則x-y=2(sinθ-cosθ)=2sin(θ-) ∴當θ=2kπ+π時,(x-y)max=2 3 某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室.如圖所示, ABCD是一塊邊長為50米的正方形地皮,扇形CEF是運動場的一部分,其半徑為40米,矩形AGHM就是擬建的健身室,其中C、M分別在AB和AD上,H在EF上,設矩形AGHM的面積為 S,∠HCF=θ,請將S表示為θ的函數(shù),并指出當點H在EF的何處時,該健身室的面積最大,最大面積是多少? 當t=1時,S有最大值,且S最大值=500. 此時,2sinθcosθ=0,即 sin 2θ=0. ∵0≤2θπ,∴θ=0或, 當H在EF的端點E或F處時,健身室面積最大,最大面積為500平方米. 4 已知函數(shù)f(x)=sin (1)將f(x)寫成Asin(ωx+)+k的形式.并求其圖像對稱中心的橫坐標; 答案:解f(x)=sin(x+)+ , 由sin(x+)=0,即x-=kπ(k∈Z). 得x=π,k∈Z. 即對稱中心的橫坐標為π,k∈Z. (2)如果△ABC的三邊。a,b,c成等比數(shù)列,且邊 b所對的角為x,試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域. 答案:解析:(2)由已知b2=ac,cosx= ∴0<x≤. ∴sin<sin(x+)≤1. 即f(x)的值域為[,1+]. 【知識導學】 難點1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命題: ①由f(x1)=f(x2),可得x1-x2必是π的整數(shù)倍;②若<x1,x2<,且2f(x1)=f(x1+x2+),則x1<x2;③函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(-,0)對稱.④函數(shù)y=f(-x)的單凋遞增區(qū)間可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+(k∈Z)求得. 其中正確命題的序號是 . 圖像的對稱點, ∵x=,4sin(2·()+)=0.故③對. 由復合函數(shù)的知識可知,y=4sin(-2x+)的遞增區(qū)間為滿足不等式2kπ+≤-2x+≤2kπ+π的 x的集合,故④錯. 綜合得只有②③正確. 故填②③ 2.函數(shù)f(x)=2cos2x+ (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)當方程f(x)+a=0有解時,求a的取值范圍; (3)當cos()=時,求f(x)的值. 難點2 運用三角恒等變形求值 1.若關(guān)于x的方程x2-4x·Sinθ+α·tanθ=0(<θ<有兩個相同的實根. (1)求a的取值范圍; (2)當a=時,求cos(θ+)的值 【解析】 (1)利有△=0可得a表示為θ的函數(shù),通過來值域即可得a的取值范圍. (2)可先通過第(1)問結(jié)果求出sin2θ的值,再運用降冪公式可求得cos2(θ+)的值,再求cos(θ+)的值就容易了. 【答案】 (1)△=16sin2θ-4a·tanθ=0 ∵ <θ<,∴sinθ≠0 故4sinθ- , ∵a=4sinθcosθ=2sin2θ,<2θ<π, .·.0<sin20<1,∴0<a<2. (2)由=2sin2θ, ∴sin2θ= cos()= 而 2.已知θ∈(0,),sinθ-cosθ=,求的值. 【解析】 由已知可求得sin2θ及tanθ的值,因此只要把 化為sinθ-cosθ,sin2θ,及tanθ表示的式子,再代入計算即可. 【答案】 解法1 把sinθ-cosθ兩邊平方得 解析2 由已知sin2θ=且2θ∈(,π). ∴ 3.已知cos(-α),sin(π+β)=-且β∈(0,),α(π),求sin(α+β)的值. 【解析】 注意已知角與未知角之間的聯(lián)系,即α+β=π+β-(-α)-π. 【答案】 由已知,α∈(π). 所以 難點3 向量與三角函數(shù)的綜合 1.已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx),定義函數(shù)f(x)=a·b-1. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 【解析】 用向量的數(shù)量積的坐標運算求出y=f(x)的解析式,再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解. 【答案】 (1)f(x)=a·b-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+). (2)令 ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+]k∈Z. 2.設a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0)α∈(0,π),β∈(π,2π),a與b的夾角為θ1,b與c的夾角為的值. 【解析】 通過向量的夾角公式找到θ1、θ2與α、β的關(guān)系,從而得θ1-θ2與α-β的關(guān)系,進而求得 sin的值. 【答案】根據(jù)題意, cosθ1= 3.已知a=(sinoα,cosα),b=(cosβ,sinβ),b+c=(2cosβ, 0),a·b=,a·c=求cos2(α+β)+tanα·cotβ的值. 【典型習題導練】 1 已知x,cos2x=a,則sinx ( ) A. B.- C. D. 答案:B 解析:由-<x<0知sinx<0,sin2x==.∴sinx=- 2已知的值為 ( ) A. B. C. D. 答案: A 解析:<α<π,sin(-α)=,cos(-α)= 3 設,則有 ( ) A.O>b>c B.O<b<c C.O<c<6 D.6<c<O 5 已知f(α)=,則f(α)取得最大值時α的值是 ( ) A. B. C. D. 答案: B 解析:∵f(x)= ∴當sin2a=1,即α=時f(x)有最大值. 6 若sinα+cosα=tanα(0<α<),則α∈( ) 答案: C 解析:∵0<α+<α+π,∴sin(α+)∈(,1)∴sina+cosα=sin(α+)∈(1,),即tanα∈(,) 故α∈(). 7的值是 . 答案:解析:1+tan10°= 原式= 8 函數(shù)y=(sin-2x)的單調(diào)減區(qū)間是 . 答案:[](k)解析:函數(shù)變形為 即函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[](k) 9 求函數(shù)f(x)=的最小正周期、最大值和最小值. 答案:解析:f(x)=所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π,最大值是,最小值是. 10 已知函數(shù)y=Asin(w+)(x∈R)(其中A>O,w>0)的圖像在y軸右側(cè)的第一個最高點為M(2,2),與x軸在原點右側(cè)的第一個交點為N(0,0) (1)求這個函數(shù)的解析式; 答案:解:(1)根據(jù)題意可知,A=2=6-2=4,∴T=16,于是w=所以y=2將點M的坐標代入y=2 即sin. ∴滿足為最小正數(shù)解,即.故所求的解析工為y=2 (2)此函數(shù)可以由y=sinx經(jīng)過怎樣的變換得到?(寫出每一個具體變換). y=2sin() 11 已知三點A,B,C的坐標分別為A(3,0),B(0,3)C(cosα,sinα),α≠,k∈Z,若=-1,求的值. (1)若f(x)=(a+b)2,求f(x)的解析式; 答案: f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+ (2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值; 答案:由x∈[-]得x+∈[π] 當x+=,即x=-時,函數(shù)f(x)取最大值+2; 當x+=π,即x=時,函數(shù)f(x)取最小值為0 13 已知α為第二象限的角,sinα=,β為第一象限的角,cosβ=,求tan(2α-β)的值. 答案:解:∵α為第二象限的角,sinα=,cosα=-. ∴tanα=-,又∵ β為第一象限的角,cosβ=,sinβ 14如圖所示,有一農(nóng)民在自留地建造一個長10 m,深0.5 m,橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽側(cè)面材料每平方米造價50元,頂蓋材料每平方米造價10元. (1)把建立引水槽的費用y(元)表示為引水槽的側(cè)面與地面所成的角∠DAE=θ的函數(shù); 答案:作AH⊥CD,垂足為H,則AH=, ∠ADH=θ ∴=AH(AB+CD). 即 (2)引水槽的側(cè)面與地面所成的角θ多大時,其材料費最低?最低材料費是多少?(精確到0.01,≈1.732) 答案: 等號當且僅當 3tan=cot即tan=. ∴θ=60°.即當引槽的側(cè)面與地面所成角為60°材料費最低為646.4元. (3)按照題沒條件,在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下,將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎叫螘r的材料費與(2)中所求得的材料費相比較,哪一種設計所用材料費更省?省多少? 答案:截面為正方形時,材料費為×10=700元. 所以橫截面為等腰梯形時比橫截面為正方形時,材料費用較省,省53.6元. 26 用心 愛心 專心

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