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1、13.3角的平分線的性質,第一課時,復習提問,1、角平分線的概念,一條射線,把一個角,分成兩個相等的角，,這條射線叫做這個角的平分線。,復習提問,2、點到直線距離:,從直線外一點,到這條直線的垂線段,的長度，,叫做點到直線的距離。,如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?,你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?,探究1：,E,角的平分線的作法,證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD AC

2、B（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對應邊相等） AC平分DAB（角平分線的定義）,,尺規(guī)作角的平分線,,觀察領悟作法，探索思考證明方法：,,A,,,,,,,,畫法：,以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，交于,分別以，為圓心大于 1/2 的長為半徑作弧兩弧在的內部交于,作射線,射線即為所求,,,,,A,,,,,,,,,,為什么OC是角平分線呢？,,,,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求證：OC平分AOB。,證 OMC ONC（SSS） 得MOC=NOC 即：OC平分AOB,P50 練習1,,,,,,將 AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜

3、邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結論?,可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等. 判定依據,探究2,,角平分線的性質,證明幾何命題的一般步驟： 1、明確命題的已知和求證 2、根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證； 3、經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。,角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,角平分線的性質,定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等,命題 如果：一個點在一個角的平分線上 那么：這個點到角的兩邊的距離相等,已知：如圖，OC是AOB

4、的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。,求證：PD=PE,圖形直觀化,C,已知：如圖，OC是AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。,求證：PD=PE,證明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定義）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的對應邊相等）, 3= 4 1= 2 OP=OP, PDO PEO（AAS）,,角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,1,2,3,4,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。,定理應用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等。, 如圖，AD平分BAC（已知）, =

5、 ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）,判斷：,練習2, 如圖， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,,不必再證全等,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。,定理應用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等。,應用格式：, 1= 2（或OP平分AOB) PD OA ，PE OB PD=P

6、E(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等),推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。,,練習3,如圖， OC是AOB的平分線， 又 ________________ PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分線上的點 到角的兩邊的距離相等,,在OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D. 求證：AC=BD.,例題講解,,練習4,在ABC中， C=90 ，AD為BAC的平分線，DEAB，BC7，DE3. 求BD的長。,,,如圖，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分線，DEAB于

7、E，F在AC上，BD=DF； 求證：CF=EB,鞏固提高,，,,1 . 如圖，DEAB，DFBC，垂足分別是E，F， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= 。,60,BF,2 如圖，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么線段BE是ABC的 ，AE+DE=。,角的平分線,6cm,練習,3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？,,,,,,,A,,B,,C,,D,,,,E,,,你會嗎？,如圖，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點 求證：點到三邊，，所在直線的距離相等,例 已知：ABC

8、的角平分線BM、CN相交于點P. 求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.,證明：過點P作PDAB、 PE BC、 PF CA， 垂足為D、E、F BM平分ABC，點P在BM上 PDAB、 PE BC PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即 點P到邊AB、BC、 CA的距離相等,,,,,A,B,C,,,M,N,P,怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？,角平分線的判定,定理：角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上,命題 如果：角內部一個點到角的兩邊的距離相等 那么：這個點在這個角的平分線上,已知

9、：如圖， AOB內部一點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E，且PD=PE。,求證：OP是AOB的平分線,圖形直觀化,C,證明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共邊） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE 點Q在AOB的平分線上,已知：如圖,QDOA，QEOB，點D、E為垂足，QDQE 求證：點Q在AOB的平分線上,,1.角平分線的性質定理： 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等,2.角平分線的判定定理: 到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平 分線上。,3.角平分線的性質定理和角平分

10、線的判定定理是證明角相等、線段相等的新途徑.,判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。, QDOA，QEOB，QDQE 點Q在AOB的平分線上,用數學語言表示為：,性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等., QDOA,QEOB,點Q在AOB的平分線上 QDQE,用數學語言表示為：,如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點F， 求證：點F在DAE的平分線上,,證明：,過點F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,,,G,H,,M,點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBC,FGFM,又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,點F在DAE的

11、平分線上,,,,,如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F，且BECF。求證：AD是ABC的角平分線。,利用結論，解決問題,練一練 1、如圖，為了促進當地旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?,想一想,在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?,拓展與延伸,2、直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處,分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。,到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。, QDOA，QEOB，QDQE 點Q在AOB的平分線上,用數學語言表示為：,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等., QDOA,QEOB,點Q在AOB的平分線上 QDQE,課堂小結,,用數學語言表示為：,拓展與延伸,3、已知:BDAM于點D,CEAN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在A的平分線上.,,練習1：平分平角AOB。 歸納：“過直線上一點作這條直線的垂線”的方法。,作已知角的平分線,