《角平分線的性質(zhì)》PPT課件.pptx
13.3角的平分線的性質(zhì),第一課時,復(fù)習(xí)提問,1、角平分線的概念,一條射線,把一個角,分成兩個相等的角,,這條射線叫做這個角的平分線。,復(fù)習(xí)提問,2、點(diǎn)到直線距離:,從直線外一點(diǎn),到這條直線的垂線段,的長度,,叫做點(diǎn)到直線的距離。,如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?,你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?,探究1:,E,角的平分線的作法,證明: 在ACD和ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共邊) ACD ACB(SSS) CAD=CAB(全等三角形的 對應(yīng)邊相等) AC平分DAB(角平分線的定義),,尺規(guī)作角的平分線,,觀察領(lǐng)悟作法,探索思考證明方法:,,A,,,,,,,,畫法:,以為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交于,交于,分別以,為圓心大于 1/2 的長為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于,作射線,射線即為所求,,,,,A,,,,,,,,,,為什么OC是角平分線呢?,,,,想一想:,已知:OM=ON,MC=NC。 求證:OC平分AOB。,證 OMC ONC(SSS) 得MOC=NOC 即:OC平分AOB,P50 練習(xí)1,,,,,,將 AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?,可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等. 判定依據(jù),探究2,,角平分線的性質(zhì),證明幾何命題的一般步驟: 1、明確命題的已知和求證 2、根據(jù)題意,畫出圖形,并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證; 3、經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程。,角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,角平分線的性質(zhì),定理:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,命題 如果:一個點(diǎn)在一個角的平分線上 那么:這個點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,已知:如圖,OC是AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E。,求證:PD=PE,圖形直觀化,C,已知:如圖,OC是AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E。,求證:PD=PE,證明: PDOA,PEOB(已知) PDO=PEO=90(垂直的定義),在PDO和PEO中, PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等), 3= 4 1= 2 OP=OP, PDO PEO(AAS),,角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,1,2,3,4,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,定理應(yīng)用所具備的條件:,定理的作用:,證明線段相等。, 如圖,AD平分BAC(已知), = ,( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,(),判斷:,練習(xí)2, 如圖, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,(), AD平分BAC, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,,不必再證全等,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,定理應(yīng)用所具備的條件:,定理的作用:,證明線段相等。,應(yīng)用格式:, 1= 2(或OP平分AOB) PD OA ,PE OB PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),推理的理由有三個,必須寫完全,不能少了任何一個。,,練習(xí)3,如圖, OC是AOB的平分線, 又 ________________ PD=PE ( ),PDOA,PEOB,角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等,,在OAB中,OE是它的角平分線,且EA=EB,EC、ED分別垂直O(jiān)A,OB,垂足為C,D. 求證:AC=BD.,例題講解,,練習(xí)4,在ABC中, C=90 ,AD為BAC的平分線,DEAB,BC7,DE3. 求BD的長。,,,如圖,在ABC中,C=90 AD是BAC的平分線,DEAB于E,F(xiàn)在AC上,BD=DF; 求證:CF=EB,鞏固提高,,,,1 . 如圖,DEAB,DFBC,垂足分別是E,F(xiàn), DE =DF, EDB= 60,則 EBF= 度,BE= 。,60,BF,2 如圖,在ABC中,C=90,DEAB,1=2,且AC=6cm,那么線段BE是ABC的 ,AE+DE=。,角的平分線,6cm,練習(xí),3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求點(diǎn)D到AB的距離是多少?,,,,,,,A,,B,,C,,D,,,,E,,,你會嗎?,如圖,的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn) 求證:點(diǎn)到三邊,,所在直線的距離相等,例 已知:ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P. 求證:點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.,證明:過點(diǎn)P作PDAB、 PE BC、 PF CA, 垂足為D、E、F BM平分ABC,點(diǎn)P在BM上 PDAB、 PE BC PD=PE(在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等) 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即 點(diǎn)P到邊AB、BC、 CA的距離相等,,,,,A,B,C,,,M,N,P,怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)?,角平分線的判定,定理:角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,命題 如果:角內(nèi)部一個點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 那么:這個點(diǎn)在這個角的平分線上,已知:如圖, AOB內(nèi)部一點(diǎn)P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E,且PD=PE。,求證:OP是AOB的平分線,圖形直觀化,C,證明: QDOA,QEOB(已知), QDOQEO90(垂直的定義)在RtQDO和RtQEO中 QOQO(公共邊) QD=QE RtQDORtQEO(HL) QODQOE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上,已知:如圖,QDOA,QEOB,點(diǎn)D、E為垂足,QDQE 求證:點(diǎn)Q在AOB的平分線上,,1.角平分線的性質(zhì)定理: 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,2.角平分線的判定定理: 到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個角平 分線上。,3.角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的判定定理是證明角相等、線段相等的新途徑.,判定:到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。, QDOA,QEOB,QDQE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上,用數(shù)學(xué)語言表示為:,性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等., QDOA,QEOB,點(diǎn)Q在AOB的平分線上 QDQE,用數(shù)學(xué)語言表示為:,如圖,已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F, 求證:點(diǎn)F在DAE的平分線上,,證明:,過點(diǎn)F作FGAE于G,F(xiàn)HAD于H,F(xiàn)MBC于M,,,G,H,,M,點(diǎn)F在BCE的平分線上, FGAE, FMBC,FGFM,又點(diǎn)F在CBD的平分線上, FHAD, FMBC,FMFH,FGFH,點(diǎn)F在DAE的平分線上,,,,,如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),DEAB,DFAC,垂足分別是E,F(xiàn),且BECF。求證:AD是ABC的角平分線。,利用結(jié)論,解決問題,練一練 1、如圖,為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展,某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?,想一想,在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?,拓展與延伸,2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處,分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。,到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。, QDOA,QEOB,QDQE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上,用數(shù)學(xué)語言表示為:,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等., QDOA,QEOB,點(diǎn)Q在AOB的平分線上 QDQE,課堂小結(jié),,用數(shù)學(xué)語言表示為:,拓展與延伸,3、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.,,練習(xí)1:平分平角AOB。 歸納:“過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法。,作已知角的平分線,