專題五 平面解析幾何 第一講 直線和圓的方程 ★★★聚焦高考 命題要點：（1）直線方程的各種形式；（2）直線方程的幾個特征值的運(yùn)用（如傾斜角、斜率、截距、方向向量、法向量等）；（3）圓方程的兩種形式；（4）直線與圓的位置關(guān)系及圓和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用。 命題趨勢：（1）直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距等）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；（2）圓的方程的考查主要是圓的兩種程方程的確定，特別是待定系數(shù)法確定圓的方程。（3）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系要注重用幾何法處理相關(guān)問題，要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 ★★★考點整合 1．傾斜角：一條直線L與X軸相交時，將X軸繞交點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)與L重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角，叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線L與X軸平行或重合時規(guī)定傾斜角為0，所以傾斜角的范圍為。 2．斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在. 說明：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 斜率與傾斜角的關(guān)系如圖： 3.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，則直線P1P2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900。 4.方向向量：當(dāng)向量與直線L平行時，稱此向量為方向向量。斜率k= 5.法向量：當(dāng)向量與直線垂直時，稱此向量為法向量。斜率k= 6．直線方程的六種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。 名稱 方程 說明 適用條件 斜截式 y=kx+b k——斜率 b——縱截距 傾斜角為90°的直線不能用此式 點斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直線上 已知點，k——斜率 傾斜角為90°的直線不能用此式 兩點式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點 與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 點法式 A、B不能同時為零 截距式 +=1 a——直線的橫截距 b——直線的縱截距 過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分別為斜率、橫截距和縱截距 A、B不能同時為零 7. 兩條直線的位置關(guān)系： （1）當(dāng)直線方程為、時， 若∥，則； 若、重合，則； 若⊥，則。 （2）當(dāng)兩直線方程為時， 若∥，則； 若、重合，則； 若⊥，則。 說明：利用斜率來判斷兩條直線的位置關(guān)系時，必須是在兩直線斜率都存在的前提下才行，否則就會得出錯誤結(jié)論，而利用兩條直線的一般式方程的系數(shù)來判斷就不易出錯。 8．幾個距離公式 （1）兩點間的距離公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則｜AB｜= （2）點到直線的距離公式：點A（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離 (3)平行線間的距離公式：設(shè)兩平行線方程為Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，則它們之間的距離 9．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 特殊地，當(dāng)時，圓心在原點的圓的方程為：。 （2）圓的一般方程：，圓心為點，半徑，其中。 說明：二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①、項項的系數(shù)相同且不為0，即；②、沒有xy項，即B=0；③、。 10.直線與圓的位置關(guān)系有三種 ： 設(shè)圓心到直線的距離為d,半徑為r,則 ; ; 11.圓和圓的位置關(guān)系有五種： 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ① ② ③ ④ ⑤ ★★★典例剖析 【例1】（1）若直線l的方程是y = x+ 2，則（?。? A.一定是直線l的傾斜角　　　　　　B. 一定不是直線l的傾斜角 C.一定是直線l的傾斜角　　　　D. 不一定是直線l的傾斜角 解析：設(shè)傾斜角為，則 ，而是任意角，所以選D。 (2)若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則有( ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 解析：由傾斜角和斜率的關(guān)系可知，l1的斜率為負(fù)且最小，l2的斜率比l3的斜率大且為正數(shù)，所以選D (3)設(shè)點A(2，-3)，B(-3，-2)，直線l過點P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是( ) A.k≥或k≤-4 B.k≥或k≤- C.-4≤k≤ D.- ≤k≤4 解析：易算出，若直線l要與線段AB相交，由數(shù)形結(jié)合易知選A. (4)若為三角形中最大內(nèi)角，則直線的傾斜角的范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：∵是三角形中的最大內(nèi)角，∴≤＜， ∴直線的斜率 ∴它的傾斜角的范圍是，選A ｛方法提煉｝ 傾斜角和斜率的關(guān)系符合“正切函數(shù)在和上均遞增”這一性質(zhì)，且在上斜率為正，在上斜率為負(fù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。 【例2】（1）（2008四川.理4）直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個單位，所得到的直線為( ) Ａ.　?。?　?。?　?。? 解析：∵直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰Ｃ，D 又∵將向右平移１個單位得，即 故選A； （2）已知直線在兩軸上的截距之和是2，并且經(jīng)過(－2，3 ) ，則直線方程為( ) A．3x－2y + 12 = 0 B. x + y－1 = 0 C.x－2y + 4 = 0或3x + y－3 = 0 D. 2y－3x－12 = 0或y = 1－x 解析：設(shè)直線的方程為截距式，則有 解得a=b=1或a=-4,b=6,所以選D ｛方法提煉｝ 要注意根據(jù)題目條件靈活選擇適當(dāng)?shù)闹本€形式，要注意待定系數(shù)法這一方法的應(yīng)用。 【例3】 已知直線和點，過點做直線與已知直線l1相交于點，且，求直線的方程。 解析：過點與軸平行的直線為，解方程 求得點坐標(biāo)為，此時，即為所求。 設(shè)過且與軸不平行的直線為：，解方程組 得兩直線交點為（，否則與已知直線平行） 由已知 解得，∴ 即為所求 ｛方法提煉｝ 利用待定系數(shù)法設(shè)直線方程時要注意方程形式的條件，解題時一般先考慮特殊情形。 【例4】已知直線經(jīng)過點P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， ∵直線過點P（-5，-4），，即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 ｛方法提煉｝ 要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點的坐標(biāo)或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距； （3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。 【例5】（1）過點作直線l交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點，當(dāng)取最小值時，求直線l的方程． 解析：設(shè)l：（k<0），分別令， 得 ，， ∵ ， ∴ 當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得最小值4． 故所求直線的方程為 ， 即 ． C O B A （2）已知兩條直線， 與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個四邊形， 當(dāng)m為何值時，四邊形的面積有最小值？并求出最小值. 解析：將兩直線化為， ， 易知兩直線 、都是過定點的直線系，∵， ∴ ，，如圖所示 與y軸的交點為，與x軸的交點為， 所以四邊形OACB面積為 ， 所以， 當(dāng) 時，四邊形有最小值. ｛方法提煉｝ 解析幾何中的最值問題往有兩種處理方式：一是幾何法，利用圖形的直觀性，利用數(shù)形結(jié)合的方法找出臨界情形，直接得出最值。二是代數(shù)法，通過建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。 【例6】已知△ABC的三個項點坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圓的方程。 解析：法一、設(shè)所求圓的方程是 ① 因為A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上， 所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是 可解得 所以△ABC的外接圓的方程是。 解法二、因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。 ∵，，線段AB的中點為（5，－1），線段BC的中點為， ∴AB的垂直平分線方程為， ① BC的垂直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為Ｅ（1，－3）， 半徑。 故△ABC外接圓的方程是． ｛方法提煉｝ 解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)，在解決圓的有關(guān)問題時要注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用。 【例7】已知圓x2+y2+x－6y+m=0和直線x+2y－3=0交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑 解析：由消去x得5y2－20y+12+m=0 設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2= ∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0而x1=3－2y1，x2=3－2y2， ∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2＝－15+ ∴－15++＝0 ∴m=3，此時Δ＞0，圓心坐標(biāo)為（－，3），半徑r= ｛方法提煉｝ (1)在解答中，我們采用了對直線與圓的交點“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮 (2)體會垂直條件是怎樣轉(zhuǎn)化的，以及韋達(dá)定理的作用：處理y1,y2與x1,x2的對稱式 在解析幾何中經(jīng)常運(yùn)用韋達(dá)定理來簡化計算 【例8】已知圓C：，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R） （1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點； （2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程 解析：（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0 ∵m∈R，∴得，即l恒過定點A（3，1） ∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑）， ∴點A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點 （2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－，∴l(xiāng)的方程為2x－y－5=0 ｛方法提煉｝ 若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要圓心到直線的距離小于半徑。 【例9】（1）（天津文，14）若圓與圓的公共弦長為，則a=________. 解析：由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1. （2）（全國Ⅱ理16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 解析：設(shè)圓心到的距離分別為,則. 四邊形的面積 ｛方法提煉｝ 兩個圓如果有公共點，方程的差表示過這個公共點的公共弦（或公切線），解決與弦有關(guān)的問題題注意垂徑定理的運(yùn)用。 【例10】一個圓和已知圓外切,并與直線: 相切于點M（）,求該圓的方程 解析: 已知圓方程化為: ,其圓心P（1,0）,半徑為1 設(shè)所求圓的圓心為C（a,b）,則半徑為, 因為兩圓外切, , 從而1+ (1) 又所求圓與直線：相切于M(), 直線,于是, 即 （2） 將（2）代入（1）化簡,得a2-4a=0, a=0或a=4 當(dāng)a=0時,,所求圓方程為 當(dāng)a=4時,b=0,所求圓方程為 ｛方法提煉｝ 待定系數(shù)法是求圓方程的基本方法，解決兩圓位置關(guān)系問題時常用幾何法處理。 ★★★實戰(zhàn)演練 1. 設(shè)點，若直線與線段ＡＢ有交點，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：直線與y軸交于點P（0，-2），易求出KPA=，KPB=，由數(shù)形結(jié)合知選A 2. 已知，Ｐ為軸上的點，如果的絕對值最大，則Ｐ點的坐標(biāo)為（　　） A. B. C. D. 解析：作B于x軸的對稱點C（5，2），求出AC的直線方程x+4y-13=0,再求出AC與x軸的交點為（13，0），選B 3. 直線關(guān)于點對稱的直線方程是（ ） A. B. C. D. 解析：設(shè)點（x,y）在所求直線上，則它關(guān)于（1，-1）的對稱點（2-x,-2-y）在直線上，代入化簡得，選D 4.圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于（ ） A B C1 D5 解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長為2=選A 5.圓x2+y2－4x=0在點P（1，）處的切線方程為（ ） Ax+y－2=0 Bx+y－4=0 Cx－y+4=0 Dx－y+2=0 解析：∵點（1，）在圓x2+y2－4x=0上，∴點P為切點，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直又∵圓心為（2，0），∴·k=－1解得k=，∴切線方程為x－y+2=0選D 6已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓的位置關(guān)系是（ ） A．相交 B.相切 C.相離 D.不能確定 解析：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=∵P（x0，y0）在圓內(nèi)，∴<r則有d>r，故直線和圓相離選C. 7.設(shè)、，點P在x軸上，則的最小值是___________ 解析：取A點關(guān)于x軸的對稱點，則最小值為． 8.實數(shù)滿足(1≤≤3)，則的最大值、最小值分別是_______ 解析: 設(shè)，因為線段的兩端點為（1，-1），（3，2），所以-1≤k≤,答案最大值為,最小值為-1. 9.曲線與直線y=k（x-2）+4有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是__________ 解析: 曲線表示半圓,直線過定點（2，4），由數(shù)形結(jié)合，當(dāng)線圓相切時k=,有兩個交點需k∈ 10.圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點A（0，－4）、B（0，－2），則圓C的方程為____________ 解析：∵圓C與y軸交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂徑定理得圓心在y=－3這條直線上又已知圓心在直線2x－y－7=0上，∴聯(lián)立y=－3，2x－y－7=0 解得x=2， ∴圓心為（2，－3），半徑r=|AC|== ∴所求圓C的方程為（x－2）2+（y+3）2=5 11.已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說明理由. 解析:設(shè)直線L的斜率為１，且L的方程為y=x+b,則 　消元得方程２x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1＋x2＝－（b+1）,y1+y2= x1＋x2+2b=b-1,則ＡＢ中點為，又弦長為＝，由題意可列式＝解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗b=-9不合題意．所以所求直線方程為y=x+1 12.自點A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程 解析：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對稱的圓C‘的方程為，其圓心C‘（2，-2），則與圓C’相切， 設(shè): y-3=k(x+3), ， 整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或， 所以所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)， 即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 12