第二篇 運(yùn) 動(dòng) 學(xué),,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 剛體的基本運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 剛體的平面運(yùn)動(dòng),,運(yùn)動(dòng)學(xué)僅從幾何方面來(lái)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（軌跡、速度、加速度），即研究物體在空間的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，而不涉及力和質(zhì)量等與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的物理因素。,運(yùn)動(dòng)學(xué)研究?jī)?nèi)容：,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、,剛體的運(yùn)動(dòng),物體的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的，因此研究物體的運(yùn)動(dòng)必須指明參考體和參考系。,運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),剛體的運(yùn)動(dòng),,點(diǎn)的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng),,點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng),,,,,,剛體的平行移動(dòng),剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平面運(yùn)動(dòng),剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng),剛體的一般運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),剛體的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),,第五章,,軌跡或路徑：點(diǎn)在空間所占據(jù)的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線(xiàn),軌跡,,曲線(xiàn),直線(xiàn),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度,點(diǎn)的位移,5-1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量法,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,r動(dòng)點(diǎn) 對(duì)于點(diǎn)O的 矢徑或位置矢,矢徑r的矢端線(xiàn)是 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,,動(dòng)點(diǎn)的速度等于它的矢徑對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),,動(dòng)點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。,,單位,,5-2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)表示法,,點(diǎn)的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。,,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,,點(diǎn)的加速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。,,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)表示法,軌跡方程,,,,,,,y,x,z,F1=(x、y),F2=(y、z),,,,例 一人在路燈下由燈柱起以勻速 u 沿直線(xiàn)背離燈柱行走，設(shè)人高AB=l，燈高OL=h，試求頭頂影子M 的速度和加速度。,解：1.建立Ox坐標(biāo)軸,2. M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,3. M點(diǎn)的速度,4. M點(diǎn)的加速度,,u,,,例 半徑是 r 的車(chē)輪沿固定水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。輪緣上一點(diǎn)M，在初瞬時(shí)與軌道上的O點(diǎn)疊合；在任意t時(shí)刻，半徑MC與軌道的垂線(xiàn)HC組成交角=t，其中是常量。試求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。,解：為了求M點(diǎn)的軌跡、速度、加速度須要建立M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，以M點(diǎn)與軌道第一次接觸的瞬時(shí)作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)（即在該時(shí)刻時(shí)間t=0）并以該瞬時(shí)軌道上與M接觸的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸為水平向右，y軸為鉛直向上，取M點(diǎn)在任一瞬時(shí)t的位置來(lái)考察，可見(jiàn)M點(diǎn)的坐標(biāo)為,x=OB-AB=OB-MD=OB-r sin,y=MA=CB-CD=r-r cos,x=OB-AB=OB-MD=rt-r sin,M點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)，旋輪線(xiàn)或擺線(xiàn),,,3. M點(diǎn)的速度,任意數(shù)瞬時(shí)速度v的大小和方向,4. M點(diǎn)的加速度,方向,,例1：圖示機(jī)構(gòu)中A、B兩滑塊可分別沿互相垂直的兩直槽滑動(dòng)。已知BA=a，AMb，t+(, 為常量)，求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。,解：,運(yùn)動(dòng)方程：,軌跡方程：,速度：,加速度：,,,,,例2：半徑為R的圓輪在水平面上只滾不滑，已知輪心速度為一常量，試求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡、速度和加速度。,解：,以M與地面重合的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立xOy系，設(shè)M在O處為初時(shí)刻。,M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：,M點(diǎn)速度：,,M0,,例2：半徑為R的圓輪在水平面上只滾不滑，已知輪心速度為一常量，試求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡、速度和加速度。,解：,M點(diǎn)加速度：,即a沿MA，指向A,,5-3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然表示法,設(shè)已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線(xiàn)，在曲線(xiàn)上任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，從點(diǎn)O到動(dòng)點(diǎn)的位置M量取弧長(zhǎng)s，并規(guī)定從點(diǎn)O向某一邊量取的s為正值，向另一邊量取的為負(fù)值，則動(dòng)點(diǎn)的位置可以由s完全確定。這種描述運(yùn)動(dòng)的方法稱(chēng)為自然法,,自然法表示的運(yùn)動(dòng)方程,一、運(yùn)動(dòng)方程與速度,,,由矢量法知，在瞬時(shí)t，速度v的方向沿軌跡的切線(xiàn)并指向前進(jìn)的方向,,大小：,,（速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)）,,自然法表示的點(diǎn)的速度,,二、自然軸系,,曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率,曲線(xiàn)在M處的曲率半徑,,MT是切線(xiàn)e,在密切面內(nèi)的法線(xiàn)MN稱(chēng)為主法線(xiàn)en,垂直于密切面的法線(xiàn)MB稱(chēng)為副法線(xiàn)eb,以曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)、主法線(xiàn)和副法線(xiàn)為軸的一組正交軸系稱(chēng)為自然軸系,,副法線(xiàn)：,,,,法向平面,密切面,,三、加速度,,,,的方向也就是 的極限方向,：沿en的正方向,,,三、加速度,,,沿軌跡在點(diǎn)M處的切線(xiàn)方向，稱(chēng)為切向加速度,沿主法線(xiàn)方向并指向曲率中心，稱(chēng)為法向加速度,反映了速度大小的變化,反映了速度方向的變化,動(dòng)點(diǎn)的加速度等于切向加速度與法向加速度的矢量和,,三、加速度,加速度在自然軸上的投影為:,,,,,加速度在自然軸上的投影為:,速度的代數(shù)值,速度,自然法,,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,矢量法,直角坐標(biāo)法,自然法,點(diǎn)的軌跡,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)各種研究方法運(yùn)動(dòng)量間的關(guān)系,,例3：已知用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程xx（t），yy（t），zz（t），試求在任一瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小及軌跡曲線(xiàn)的曲率半徑。,解：用直角坐標(biāo)法求任一瞬時(shí)的速度和加速度：,,,,,,,,例4：半徑為r的輪子可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上繞以不能伸縮的繩索，繩的下端掛一物體A。設(shè)物體按 x=ct2/2 規(guī)律下落，其中c為常量。求輪緣上一點(diǎn)M的速度和加速度。,,,,A,O,,M,,解：M點(diǎn)軌跡是半徑為r的圓。采用自然法求解。設(shè)物體在A0時(shí)，M點(diǎn)在M0，以M0為弧坐標(biāo)原點(diǎn)。,方向如圖,方向如圖,,例 銷(xiāo)釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動(dòng)，OA=R=0.1 m。已知擺桿的轉(zhuǎn)角 （時(shí)間以s計(jì)，以rad計(jì)），試求銷(xiāo)釘在t1=1/4 s和t2=1 s時(shí)的加速度。,,由幾何關(guān)系知,則B點(diǎn)自然形式的運(yùn)動(dòng)方程。,顯然銷(xiāo)釘B的軌跡是圓弧DE。選滑道上O點(diǎn)作為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以O(shè)D為正向。則B點(diǎn)在任一瞬時(shí)的弧坐標(biāo),解：,,B點(diǎn)的速度,B點(diǎn)的切向加速度,法向加速度,,5-4 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)法,用極坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,,速度：,,vr徑向速度,v橫向速度(與vr垂直的速度),,速度：,加速度：,,ar徑向加速度,a橫向加速度,例5: 動(dòng)點(diǎn)M以勻速率v運(yùn)動(dòng)，而v與M至固定點(diǎn)O的連線(xiàn)MO之間的夾角保持不變，試求以極坐標(biāo)表示的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。設(shè)t0時(shí)，rr0，0。,解：取Ox為極軸，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（r，）,,,,,(2)改寫(xiě)成：,,,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程:,式(3)和(4)就是動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程,,是一條對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn),