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1、第二篇 運 動 學,,點的運動 剛體的基本運動 點的合成運動 剛體的平面運動,,運動學僅從幾何方面來研究物體機械運動的規(guī)律（軌跡、速度、加速度），即研究物體在空間的位置隨時間的變化規(guī)律，而不涉及力和質量等與運動變化有關的物理因素。,運動學研究內容：,點的運動、,剛體的運動,物體的運動都是相對的，因此研究物體的運動必須指明參考體和參考系。,運動學的內容,點的運動,剛體的運動,,點的直線運動,點的曲線運動,,點的合成運動,,,,,,剛體的平行移動,剛體的定軸轉動,剛體的平面運動,剛體的定點運動,剛體的一般運動,點的運動,剛體的運動,點的運動,,第五章,,軌跡或路徑：點在空間所占據(jù)的位置隨時間連續(xù)變

2、化而形成的曲線,軌跡,,曲線,直線,點的運動軌跡,點的運動方程,點的運動速度,點的運動加速度,點的位移,5-1 點的運動的矢量法,點的運動方程,r動點 對于點O的 矢徑或位置矢,矢徑r的矢端線是 點的運動軌跡,,動點的速度等于它的矢徑對于時間的一階導數(shù),,動點的加速度等于它的速度對于時間的一階導數(shù)，也等于它的矢徑對于時間的二階導數(shù)。,,單位,,5-2 點的運動的直角坐標表示法,,點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的一階導數(shù)。,,點的運動方程,,點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的二階導數(shù)。,,點的運動的直角坐標表示法,軌跡方程,,,,,,,y,x,z,

3、F1=(x、y),F2=(y、z),,,,例 一人在路燈下由燈柱起以勻速 u 沿直線背離燈柱行走，設人高AB=l，燈高OL=h，試求頭頂影子M 的速度和加速度。,解：1.建立Ox坐標軸,2. M點的運動方程,3. M點的速度,4. M點的加速度,,u,,,例 半徑是 r 的車輪沿固定水平軌道滾動而不滑動。輪緣上一點M，在初瞬時與軌道上的O點疊合；在任意t時刻，半徑MC與軌道的垂線HC組成交角=t，其中是常量。試求M點的運動方程、速度和加速度。,解：為了求M點的軌跡、速度、加速度須要建立M點的運動方程，以M點與軌道第一次接觸的瞬時作為計算時間的起點（即在該時刻時間t=0）并以該瞬時軌道上與M接觸

4、的點為坐標原點O，x軸為水平向右，y軸為鉛直向上，取M點在任一瞬時t的位置來考察，可見M點的坐標為,x=OB-AB=OB-MD=OB-r sin,y=MA=CB-CD=r-r cos,x=OB-AB=OB-MD=rt-r sin,M點的軌跡曲線，旋輪線或擺線,,,3. M點的速度,任意數(shù)瞬時速度v的大小和方向,4. M點的加速度,方向,,例1：圖示機構中A、B兩滑塊可分別沿互相垂直的兩直槽滑動。已知BA=a，AMb，t+(, 為常量)，求點M的運動軌跡、速度和加速度。,解：,運動方程：,軌跡方程：,速度：,加速度：,,,,,例2：半徑為R的圓輪在水平面上只滾不滑，已知輪心速度為一常量，試求輪緣

5、上一點M的軌跡、速度和加速度。,解：,以M與地面重合的點O為坐標原點，建立xOy系，設M在O處為初時刻。,M點運動方程：,M點速度：,,M0,,例2：半徑為R的圓輪在水平面上只滾不滑，已知輪心速度為一常量，試求輪緣上一點M的軌跡、速度和加速度。,解：,M點加速度：,即a沿MA，指向A,,5-3 點的運動的自然表示法,設已知動點運動的軌跡曲線，在曲線上任選一點O為原點，從點O到動點的位置M量取弧長s，并規(guī)定從點O向某一邊量取的s為正值，向另一邊量取的為負值，則動點的位置可以由s完全確定。這種描述運動的方法稱為自然法,,自然法表示的運動方程,一、運動方程與速度,,,由矢量法知，在瞬時t，速度v的方

6、向沿軌跡的切線并指向前進的方向,,大?。?,（速度的代數(shù)值等于弧坐標對時間的一階導數(shù)）,,自然法表示的點的速度,,二、自然軸系,,曲線在M點的曲率,曲線在M處的曲率半徑,,MT是切線e,在密切面內的法線MN稱為主法線en,垂直于密切面的法線MB稱為副法線eb,以曲線在點M處的切線、主法線和副法線為軸的一組正交軸系稱為自然軸系,,副法線：,,,,法向平面,密切面,,三、加速度,,,,的方向也就是 的極限方向,：沿en的正方向,,,三、加速度,,,沿軌跡在點M處的切線方向，稱為切向加速度,沿主法線方向并指向曲率中心，稱為法向加速度,反映了速度大小的變化,反映了速度方向的變化,動點的加速度等于切

7、向加速度與法向加速度的矢量和,,三、加速度,加速度在自然軸上的投影為:,,,,,加速度在自然軸上的投影為:,速度的代數(shù)值,速度,自然法,,點的運動方程,矢量法,直角坐標法,自然法,點的軌跡,點的運動各種研究方法運動量間的關系,,例3：已知用直角坐標表示的點的運動方程xx（t），yy（t），zz（t），試求在任一瞬時該點的切向加速度和法向加速度的大小及軌跡曲線的曲率半徑。,解：用直角坐標法求任一瞬時的速度和加速度：,,,,,,,,例4：半徑為r的輪子可繞水平軸O轉動，輪緣上繞以不能伸縮的繩索，繩的下端掛一物體A。設物體按 x=ct2/2 規(guī)律下落，其中c為常量。求輪緣上一點M的速度和加速度。,,

8、,,A,O,,M,,解：M點軌跡是半徑為r的圓。采用自然法求解。設物體在A0時，M點在M0，以M0為弧坐標原點。,方向如圖,方向如圖,,例 銷釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動，OA=R=0.1 m。已知擺桿的轉角 （時間以s計，以rad計），試求銷釘在t1=1/4 s和t2=1 s時的加速度。,,由幾何關系知,則B點自然形式的運動方程。,顯然銷釘B的軌跡是圓弧DE。選滑道上O點作為弧坐標的原點，并以OD為正向。則B點在任一瞬時的弧坐標,解：,,B點的速度,B點的切向加速度,法向加速度,,5-4 點的運動的極坐標法,用極坐標表示的點的運動方程,,速度：,,vr徑向速度,v橫向速度(與vr垂直的速度),,速度：,加速度：,,ar徑向加速度,a橫向加速度,例5: 動點M以勻速率v運動，而v與M至固定點O的連線MO之間的夾角保持不變，試求以極坐標表示的動點的運動方程和軌跡方程。設t0時，rr0，0。,解：取Ox為極軸，設動點M的極坐標為（r，）,,,,,(2)改寫成：,,,動點M的軌跡方程:,式(3)和(4)就是動點M的運動方程,,是一條對數(shù)螺旋線,