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第2章測試題 一．選擇題（共10小題） 1．（3分）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數為（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 2．（3分）如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（3分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點E．當∠B=30°時，圖中不一定相等的線段有（ ） A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE 4．（3分）等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周長為17，則底BC為（ ） A．5 B．7 C．10 D．9 5．（3分）若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為（ ） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 6．（3分）如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC的度數為何？（ ） A．114 B．123 C．132 D．147 7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數為（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 8．（3分）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，若DE=8，則線段BD+CE的長為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（3分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則BC的長度是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 10．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 二．填空題（共8小題） 11．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在CA延長線上，EP⊥BC于點P，交AB于點F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為 ． 12．（3分）已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數為 ． 13．（3分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°，則頂角的度數是 ． 14．（3分）如圖，△ABC中，∠A=90°，DE是BC的垂直平分線，AD=DE，則∠C的度數是 °． 15．（3分）如圖，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點．若∠PBC=30°，∠ACP=20°，則∠A的度數為 °． 16．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是 cm． 17．（3分）如圖，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為 ． 18．（3分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是 ． 三．解答題（共6小題） 19．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E， 求證：△DBE是等腰三角形． 20．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數； （2）若CD=2，求DF的長． 21．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC． 22．如圖，在△ABC中，DE，FG分別是AB，AC的垂直平分線，連接AE，AF，已知∠BAC=80°，請運用所學知識，確定∠EAF的度數． 23．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 24．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時圖中還有哪幾個等腰三角形？EF與BE、CF間的關系如何？為什么？  參考答案： 一．選擇題（共10小題） 1．（3分）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數為（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 【分析】根據角平分線的性質可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再計算出∠ACB的度數，再根據線段垂直平分線的性質可得BF=CF，進而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度數． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂線交BC于點E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故選：A． 【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質，以及三角形內角和定理，關鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． 2．（3分）如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC． 【解答】解：∵ED是AB的垂直平分線， ∴AD=BD， ∵△BDC的周長=DB+BC+CD， ∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故選C． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形周長的計算，掌握轉化思想的應用是解題的關鍵． 3．（3分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點E．當∠B=30°時，圖中不一定相等的線段有（ ） A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE 【分析】分別根據線段垂直平分線及角平分線的性質對四個答案進行逐一判斷即可． 【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=60°，AC=， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=BE=AB， ∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A、B正確； ∴∠CAD=30°， ∴AD是∠BAC的平分線 ∵CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=DE，故D正確； 故選C． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線及角平分線的性質、直角三角形的性質，涉及面較廣，難度適中． 4．（3分）等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周長為17，則底BC為（ ） A．5 B．7 C．10 D．9 【分析】根據垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，得GB=GA，即△GBC的周長=AC+BC，從而就求得了BC的長． 【解答】解：設AB的中點為D， ∵DG為AB的垂直平分線 ∴GA=GB （垂直平分線上一點到線段兩端點距離相等）， ∴三角形GBC的周長=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17， 又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC， ∴AB+BC=17， ∴BC=17﹣AB=17﹣10=7． 故選B． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質及線段垂直平分線的性質；進行有效的等量代換是正確解答本題的關鍵． 5．（3分）若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為（ ） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和2，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形． 【解答】解：當腰為5時，根據三角形三邊關系可知此情況成立，周長=5+5+2=12； 當腰長為2時，根據三角形三邊關系可知此情況不成立； 所以這個三角形的周長是12． 故選：B． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵． 6．（3分）如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC的度數為何？（ ） A．114 B．123 C．132 D．147 【分析】先根據等腰三角形的性質得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的內角和進行分析解答即可． 【解答】解：∵BD=CD=CE， ∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE， ∵∠ADC+∠ACD=114°， ∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°， ∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°， ∴∠DCB+∠CDE=57°， ∴∠DFC=180°﹣57°=123°， 故選B． 【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵是利用等邊對等角和三角形內角和分析解答． 7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數為（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 【分析】先根據角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據三角形外角性質得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質得到∠D=∠A，然后把∠A的度數代入計算即可． 【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=∠A=×30°=15°． 故選A． 【點評】本題考查了三角形內角和定理，關鍵是根據三角形內角和是180°和三角形外角性質進行分析． 8．（3分）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，若DE=8，則線段BD+CE的長為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根據角平分線的性質，可得∠DBF與∠FBC的關系，∠ECF與∠FCB的關系，根據兩直線平行，可得∠DFB與∠FBC的關系，∠EFC與∠FCB的關系，根據等腰三角形的判定，可得BD與DF的關系，EF與EC的關系，可得答案． 【解答】解：OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB． ∵DE∥BC， ∴∠FBC=∠DFB，∠EFC=∠FCB． ∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF． ∴DB=DF，EF=EC， DE=DF+EF=DB+EC=8， 故選：D． 【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質平行線段性質的理解和掌握，此題關鍵是求證DB=DO，OE=EC，難度不大，是一道基礎題． 9．（3分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則BC的長度是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【分析】作出輔助線后根據等腰三角形的性質得出BE=6，DE=2，進而得出△BEM為等邊三角形，△EMD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案． 【解答】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEM為等邊三角形， ∴BE=EM ∵BE=6，DE=2， ∴DM=EM﹣DE═6﹣2=4， ∵△BEM為等邊三角形， ∴∠EMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=8， 故選B． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質和等邊三角形的性質，能求出MN的長是解決問題的關鍵． 10．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【分析】根據已知條件分別求出圖中三角形的內角度數，再根據等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形． 【解答】解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是△ABC的角平分線， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴圖中的等腰三角形有5個． 故選D． 【點評】此題考查了等腰三角形的判定，用到的知識點是等腰三角形的判定、三角形內角和定理、三角形外角的性質、三角形的角平分線定義等，解題時要找出所有的等腰三角形，不要遺漏． 二．填空題（共8小題） 11．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在CA延長線上，EP⊥BC于點P，交AB于點F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為 7 ． 【分析】根據等邊對等角得出∠B=∠C，再根據EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，從而得出∠D=∠BFP，再根據對頂角相等得出∠E=∠AFE，最后根據等角對等邊即可得出答案． 【解答】證明：在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°， ∴∠E=∠BFP， 又∵∠BFP=∠AFE， ∴∠E=∠AFE， ∴AF=AE， ∴△AEF是等腰三角形． 又∵AF=2，BF=3， ∴CA=AB=5，AE=2， ∴CE=7． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明∠E=∠AFE，注意等邊對等角，以及等角對等邊的使用． 12．（3分）已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數為 120°或20° ． 【分析】設兩個角分別是x，4x，根據三角形的內角和定理分情況進行分析，從而可求得頂角的度數． 【解答】解：設兩個角分別是x，4x ①當x是底角時，根據三角形的內角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角為30°，頂角為120°； ②當x是頂角時，則x+4x+4x=180°，解得，x=20°，從而得到頂角為20°，底角為80°； 所以該三角形的頂角為120°或20°． 故答案為：120°或20°． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．已知中若有比出現，往往根據比值設出各部分，利用部分和列式求解． 13．（3分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°，則頂角的度數是 110°或70° ． 【分析】本題要分情況討論．當等腰三角形的頂角是鈍角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況． 【解答】解：此題要分情況討論：當等腰三角形的頂角是鈍角時，腰上的高在外部． 根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°； 當等腰三角形的頂角是銳角時，腰上的高在其內部， 故頂角是90°﹣20°=70°． 故答案為：110°或70°． 【點評】考查了等腰三角形的性質，注意此類題的兩種情況．其中考查了直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和． 14．（3分）如圖，△ABC中，∠A=90°，DE是BC的垂直平分線，AD=DE，則∠C的度數是 30 °． 【分析】根據角平分線性質求出∠ABD=∠DBE，根據線段垂直平分線求出CD=BD，推出∠C=∠DBE=∠ABD，根據三角形內角和定理求出即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，AD=DE， ∴∠ABD=∠DBE， ∵DE是BC的垂直平分線， ∴CD=BD， ∴∠C=∠DBE， ∵∠A=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， 故答案為：30． 【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，角平分線性質，等腰三角形性質，三角形內角和定理的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． 15．（3分）如圖，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點．若∠PBC=30°，∠ACP=20°，則∠A的度數為 70 °． 【分析】根據角平分線得出∠ABC=60°，再根據線段垂直平分線得出∠PCB=30°，利用三角形的內角和解答即可． 【解答】解：∵射線BM為∠ABC的平分線，∠PBC=30°， ∴∠ABC=60°， ∵直線PL為BC的垂直平分線， ∴∠PCB=30°， ∴∠A的度數=180°﹣60°﹣30°﹣20°=70°， 故答案為：70． 【點評】此題考查線段垂直平分線性質，關鍵是根據角平分線得出∠ABC=60°，再根據線段垂直平分線得出∠PCB=30°進行分析． 16．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是 19 cm． 【分析】由已知條件，根據垂直平分線的性質得到線段相等，進行線段的等量代換后可得到答案． 【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂線， ∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm， ∴△ABD得周長=AB+AD+BD=AB+BC=13 ① 則△ABC的周長為AB+BC+AC=AB+BC+6 ② 把②代入①得△ABC的周長=13+6=19cm 故答案為：19． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質；解答此題時要注意利用垂直平分線的性質找出題中的等量關系，進行等量代換，然后求解． 17．（3分）如圖，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為 2.1 ． 【分析】由將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案． 【解答】解：由旋轉的性質可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴BD=AB， ∵AB=1.8，BC=3.9， ∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1． 故答案為：2.1． 【點評】此題考查了旋轉的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用． 18．（3分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是 400 ． 【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據此求出第100個圖形中等邊三角形的個數． 【解答】解：如圖① ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC， ∴B′O=AB，CO=AC， ∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形． 又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個， 第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個， 第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，… 依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個． 故第100個圖形中等邊三角形的個數是：2×100+2×100=400． 故答案為：400． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質及平移的性質，解題的關鍵是據圖找出規(guī)律． 三．解答題（共6小題） 19．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E， 求證：△DBE是等腰三角形． 【分析】首先根據等腰三角形的兩個底角相等得到∠A=∠C，再根據等角的余角相等得∠FEC=∠D，同時結合對頂角相等即可證明△DBE是等腰三角形． 【解答】證明：在△ABC中，BA=BC， ∵BA=BC， ∴∠A=∠C， ∵DF⊥AC， ∴∠C+∠FEC=90°， ∠A+∠D=90°， ∴∠FEC=∠D， ∵∠FEC=∠BED， ∴∠BED=∠D， ∴BD=BE， 即△DBE是等腰三角形． 【點評】此題主要考查等腰三角形的基本性質及綜合運用等腰三角形的性質來判定三角形是否為等腰三角形． 20．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數； （2）若CD=2，求DF的長． 【分析】（1）根據平行線的性質可得∠EDC=∠B=60°，根據三角形內角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據直角三角形的性質即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 21．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC． 【分析】根據EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可． 【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB于H， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 【點評】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并證明出等腰直角三角形是解題的關鍵． 22．如圖，在△ABC中，DE，FG分別是AB，AC的垂直平分線，連接AE，AF，已知∠BAC=80°，請運用所學知識，確定∠EAF的度數． 【分析】在△ABC中，利用三角形內角定理易求∠B+∠C，再根據線段垂直平分線的性質易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再結合三角形內角和定理進而可得∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠EAF． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC=80°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=100°， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴EB=EA， ∴∠BAE=∠B， 同理可得∠CAF=∠C， ∴∠EAF=∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠B+∠C﹣∠BAC=20°． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是先求出∠B+∠C． 23．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 【分析】（1）先根據線段垂直平分線的性質得出AD=BD，AE=CE，再根據AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出結論； （2）先根據線段垂直平分線的性質得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周長為16cm求出OC的長，進而得出結論． 【解答】解：（1）∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=CE， ∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC， ∵△ADE的周長為6cm，即AD+DE+AE=6cm， ∴BC=6cm； （2）∵AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E， ∴OA=OC=OB， ∵△OBC的周長為16cm，即OC+OB+BC=16， ∴OC+OB=16﹣6=10， ∴OC=5， ∴OA=OC=OB=5． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等． 24．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時圖中還有哪幾個等腰三角形？EF與BE、CF間的關系如何？為什么？ 【分析】（1）根據EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個等腰三角形；根據等腰三角形的性質，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關系． （2）根據EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個等腰三角形的性質即可得出EF與BE，CF的關系． （3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形． 【解答】解：（1）有5個等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， 又∠B、∠C的平分線交于O點， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=CF， ∴EF=OE+OF=BE+CF． 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC， ∴EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有2個等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF； 第一問中的EF與BE，CF的關系是：EF=BE+CF． （3）有，還是有2個等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長線上的一點） 又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線 ∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE， ∠FCO=∠FOC， ∴CF=FO， 又∵EO=EF+FO， ∴EF=BE﹣CF． 【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解和掌握，此題難度并不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題，還有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯題．要求學生在證明此題時一定要仔細，認真．