《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破12 三視圖及空間幾何體的計算問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破12 三視圖及空間幾何體的計算問題 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 必考題12　三視圖及空間幾何體的計算問題 1．(2012·福建)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．球 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱 答案：D　[球的三視圖都是圓；三棱錐的三視圖可以都是全等的三角形；正方體的三視圖都是正方形；圓柱的底面放置在水平面上，則其俯視圖是圓，正視圖是矩形，故應(yīng)選D.] 2．(2012·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是(　　)． A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 答案：B　[該三棱錐的

2、直觀圖，如圖所示， 其中側(cè)面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC.故S△PAC＝×5×4＝10；S△ABC＝×5×4＝10；PC＝5，所以S△PBC＝×4×5＝10；由于PB＝＝＝，而AB＝＝，故△BAP為等腰三角形，取底邊AP的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥PA，又AE＝PA＝，所以BE＝＝6，所以S△PAB＝×2×6＝6.所以所求三棱錐的表面積為10＋10＋10＋6＝30＋6.] 3．(2012·新課標(biāo)全國)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　)．

3、 A. B. C. D. 答案：A　[在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，則△ABD的面積為×1×＝，則三棱錐的體積為××2＝.] 4．(2012·遼寧)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析　利用三視圖得幾何體，再求表面積．由三視圖可知，該幾何體是一個長方體中間挖去一個圓柱，其中長方體的長、寬、高分別是4、3、1，中間被挖

4、去的是底面半徑為1，母線長為1的圓柱，所以幾何體的表面積等于長方體的表面積減去圓柱兩個底面的面積，再加上圓柱的側(cè)面積，即為2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38. 答案　38 在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開，考查空間幾何體三視圖的識別判斷，考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計算等問題．試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進(jìn)行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題． 該部分要牢牢抓住各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過對各種空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的了解，認(rèn)識各種空間幾何體的三視圖和直觀圖，通過三視圖和直觀圖判斷空間

5、幾何體的結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上掌握好空間幾何體的表面積和體積的計算方法. 必備知識 正棱錐的性質(zhì) 側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也構(gòu)成一個直角三角形；某側(cè)面的斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個直角三角形；側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面內(nèi)的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個直角三角形． 三視圖 (1)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高． (2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視

6、圖的下面，長度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． 幾何體的切接問題 (1)球的內(nèi)接長方體、正方體、正四棱柱等關(guān)鍵是把握球的直徑即棱柱的體對角線長． (2)柱、錐的內(nèi)切球找準(zhǔn)切點(diǎn)位置，化歸為平面幾何問題． 必備方法 1．幾何體中計算問題的方法與技巧：①在正棱錐中，正棱錐的高、側(cè)面等腰三角形的斜高與側(cè)棱構(gòu)成兩個直角三角形，有關(guān)計算往往與兩者相關(guān)；②正四棱臺中要掌握對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上底、下底及梯形高的計算，另外，要能將正三棱臺、正四棱臺的高與其斜高，側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來；③研究圓柱、圓錐、圓臺等問題，主要方法是研究其軸截

7、面，各元素之間的關(guān)系，數(shù)量都可以在軸截面中得到；④多面體及旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段． 2．求體積常見技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． (2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補(bǔ)臺成錐是常見的

8、解決臺體側(cè)面積與體積的方法． (3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素. 常考查：①三視圖的識別與還原問題；②以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積、體積等問題．主要考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算能力，是近幾年高考的熱點(diǎn)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是(　　)． A. cm3 B. cm3 C．2 000 cm3 D．4 000 cm3 [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)]

9、畫出直觀圖后求解． B　[此幾何體的圖為SABCD，且平面SCD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，邊長為20 cm，S在底面的射影為CD的中點(diǎn)E，SE＝20 cm，VSABCD＝S?ABCD·SE＝ cm3.故選B.] 解答此類題目時： (1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗證其他視圖是否正確； (2)視圖中標(biāo)注的長度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚； (3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長對正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等． 【突破訓(xùn)練1】 如圖是一個幾何體的三視圖．若它的體積是3，則a＝________. 解析　由三視圖可知幾何體為一個直三棱柱，底面三角形中邊

10、長為2的邊上的高為a，∴V＝3×＝3?a?. 答案　 此類問題常以三視圖、空間幾何體、組合體為載體，來求解幾何體的表面積或體積，試題以客觀題為主，多為容易題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 如圖所示， 四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD. (1)求線段PD的長； (2)若PC＝R，求三棱錐P -ABC的體積． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)利用BD是圓的直徑可知∠BAD＝90°，再利用△ADP∽△BAD求解． (2)先通過

11、計算證明PD2＋CD2＝PC2，則可知PD⊥面ABCD，再由S△ABC＝AB·BCsin ∠ABC.可求解． 解　(1)∵BD是圓的直徑，∴∠BAD＝90°， 又∵△ADP∽△BAD，∴＝， DP＝＝＝＝3R. ∴DP的長為3R. (2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos 45°＝R， ∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2， ∴PD⊥CD，又∠PDA＝90°，AD∩CD＝D， ∴PD⊥底面ABCD， 則S△ABC＝AB·BCsin(60°＋45°) ＝R·R×＋×＝R2， 所以三棱錐PABC的體積為 VPABC＝·S△ABC·PD＝·R2·3R＝R3.

12、 求幾何體的體積問題，可以多角度、全方位地考慮問題，常采用的方法有“換底法”、“分割法”、“補(bǔ)體法”等，尤其是“等積轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)高度重視． 【突破訓(xùn)練2】 (2012·巢湖二模)如圖是某三棱柱被削去一個底面后的直觀圖與側(cè)(左)視圖、俯視圖．已知CF＝2AD，側(cè)(左)視圖是邊長為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．求該幾何體的體積． 解　 如圖，取CF的中點(diǎn)P，過P作PQ∥CB交BE于Q，連接PD，QD，AD∥CP，且AD＝CP. 四邊形ACPD為平行四邊形，∴AC∥PD. ∴平面PDQ∥平面ABC，該幾何體可分割成三棱柱PDQCAB和四棱錐DPQEF

13、， ∴V＝V三棱柱PDQCAB＋VDPQEF＝×22sin 60°×2＋××＝3. 該類問題命題背景寬，常以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接形式考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題較容易．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為(　　)． A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 確定球心的位置，尋找直角三角形，通過直角三角形求球的半徑． B　[設(shè)三棱柱上底面所在圓的半徑為r，球的半徑為R，由已知r＝·a＝a.

14、 又∵R2＝r2＋a2＝a2＋a2＝a2， ∴S球＝4πR2＝4π·a2＝πa2，故選B.] 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系． 【突破訓(xùn)練3】 設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C，若圓C的面積等于，則球O的表面積等于________． 【突破訓(xùn)練3】 解析　 如圖，設(shè)O′為截面圓的圓心，設(shè)球的半徑為R，則OM＝，又∠O′MO＝45°，∴OO′＝R.在Rt△O′OB中，OB2＝O′O2＋O′B2，∴R2＝＋，∴R2＝2

15、，∴S球＝4πR2＝8π. 答案　8π 等價與轉(zhuǎn)化在求幾何體體積中的應(yīng)用 1．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解． 2．求幾何體的體積問題，有時使用轉(zhuǎn)換底面的方法使其高易求． 【示例】? 如圖，在三棱錐P -ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°. (1)證明：AB⊥PC； (2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P -ABC的體積． [滿分解答]　(1)因為△PAB是等邊三角形， 所以PB＝PA. 因為∠PAC＝∠P

16、BC＝90°， PC＝PC， 所以Rt△PBC≌Rt△PAC， 所以AC＝BC. 如圖，取AB中點(diǎn)D，連接PD、CD， 則PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD＝D， 所以AB⊥平面PDC，PC?平面PDC， 所以AB⊥PC.(6分) (2)作BE⊥PC，垂足為E，連接AE. 因為Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE. 由已知，平面PAC⊥平面PBC， 故∠AEB＝90°.(8分) 因為∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB， 所以Rt△AEB≌Rt△BEP， 所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形． 由

17、已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面積S＝2. 因為PC⊥平面AEB. 所以三棱錐P -ABC的體積 V＝·S·PC＝.(12分) 老師叮嚀：本題難度中檔，第(1)問要證線線垂直，則需轉(zhuǎn)化為證線面垂直；第(2)問求三棱錐P -ABC的體積，可轉(zhuǎn)化為求以△ABE為底，PC為高的兩個三棱錐的體積. 【試一試】 (2011·遼寧) 如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：PQ⊥平面DCQ； (2)求棱錐Q -ABCD的體積與棱錐P -DCQ的體積的比值． (1)證明　由條件知四邊形PDAQ為直角梯形． 因為QA⊥平面ABCD， 所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD. 又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD. 又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ. (2)解　設(shè)AB＝a. 由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高， 所以棱錐QABCD的體積V1＝a3. 由(1)知PQ為棱錐PDCQ的高， 而PQ＝a，△DCQ的面積為a2， 所以棱錐PDCQ的體積V2＝a3. 故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1. 10