3、邊形
4、在三角形的內(nèi)角中,至少有一個(gè)角大于或等于 60°
預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生回答命題真 假,并說(shuō)明理由。 1、2、4 為真命題,3 為假命題。命題 3 學(xué)生只需舉出反 例,命題 1、2、4 需 證明。
設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在說(shuō)理過(guò)程中明 確:1、假命題只需要 舉出反例,真命題必 須嚴(yán)格證明；2、對(duì)比 1、2、4 三個(gè)命題的 推理過(guò)程,體會(huì)直接 證法和間接證法的區(qū) 別,引入反證法。
師:根據(jù)大家剛才的推理,第三個(gè)命題是假命題,我們只 學(xué)生敘述三個(gè)命題 需要舉出反例說(shuō)明它錯(cuò)誤。第 1、2、4 三個(gè)命題是真命 證明方法上的區(qū) 題,我們需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。大家對(duì)這三個(gè)命題的證 別。
4、明方法有什么區(qū)別呢？
學(xué)生敘述完后教師總結(jié):1、2 兩個(gè)命題是直接由已知推
導(dǎo)出結(jié)論正確,命題 4 是從命題結(jié)論的反面出發(fā)間接證
明,這種方法就是今天我們要學(xué)習(xí)的反證法。
板書(shū)寫(xiě)出課題
（二）探究問(wèn)題,學(xué)習(xí)新知
師:根據(jù)剛才的推理過(guò)程,你能說(shuō)出什么是反證法嗎？ 學(xué)生敘述后教師給出定義。
定義:像這種先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過(guò)推理 得出矛盾,由矛盾判斷所作假設(shè)不正確,從而得到原命 題成立的方法,就叫反證法。
師:下面我們結(jié)合反證法的定義,用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給 出命題 4 的證明過(guò)程。
例 1、求證:在三角形的內(nèi)角中,至少有一個(gè)角大于或等 于 60°.
師:在對(duì)一個(gè)
5、文字形式的命題進(jìn)行證明時(shí),首先將文字 敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,寫(xiě)出已知求證,如果需要畫(huà)圖還
學(xué)生敘述自己對(duì)反 證法的理解。
讓學(xué)生自己敘述 , 加 強(qiáng)對(duì)定義的理解
1
要畫(huà)出合適的圖形。
已知:∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ是△ＡＢＣ的內(nèi)角. 求證:∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中至少有一個(gè)角大于或等于
60°.
證明:假設(shè)∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中沒(méi)有一個(gè)角大于或等 于 60
即∠Ａ＜60°,∠Ｂ＜60°,∠Ｃ＜60°
則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜180 °.
這與三角形內(nèi)角和等于 180°矛盾,
所以假設(shè)不正確 ,
所以原命題成立
師:根據(jù)例 1 的證明過(guò)程,結(jié)合反證法的定義,請(qǐng)你來(lái)概
6、括反證法的證明過(guò)程。
學(xué)生敘述后教師歸納總結(jié)。
反證法的證明過(guò)程
1、 反設(shè):假設(shè)命題結(jié)論不成立,反面正確
2、 歸謬:由命題的反面出發(fā)推理論證,得出矛盾（與已 知、公理、定理等矛盾）
3、 結(jié)論:由矛盾判斷得出假設(shè)不成立,原命題成立 （三）思考練習(xí),鞏固新知
師:我們已經(jīng)了解了反證法的證明過(guò)程,大家一起來(lái)完 成例 2 中命題的證明。
例 2、用反證法證明:過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓 處理本例題時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知求證,畫(huà)出圖
形,證明過(guò)程要求學(xué)生填空補(bǔ)充完整。
已知:點(diǎn) A、 B、 C 三點(diǎn)在直線 l 上
求證:過(guò) A、 B、 C 三點(diǎn)不能作圓
證明:假設(shè)過(guò) A、 B
7、、 C 三點(diǎn)可以作一個(gè)圓。 設(shè)這個(gè)圓的圓心為 P,那么 PA=PB=PC ∵PA=PB
∴點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線 m 上, ∵PA=PB
∴點(diǎn) P 在線段 BC 的垂直平分線 n 上,
∴點(diǎn) P 為 m 與 n 的交點(diǎn),
學(xué)生跟隨教師一起 口述完成證明過(guò) 程。
練習(xí)用規(guī)范的數(shù)學(xué) 語(yǔ)言完成文字形式 的命題的證明。
學(xué)生嘗試總結(jié)反證 法證明過(guò)程。
學(xué)生在練習(xí)本上填 空將證明過(guò)程補(bǔ)充 完整,選取學(xué)生公 布答案。
在推出矛盾時(shí)學(xué)生 可能會(huì)有不同意 見(jiàn),如:學(xué)生可能會(huì) 推出 m 與 n 平行,與
好好學(xué)習(xí) 天天向上
讓學(xué)生重視對(duì)數(shù)學(xué)證 明 的 規(guī)
8、范 性 與 嚴(yán) 謹(jǐn) 性 , 同時(shí)體會(huì)反證法 的證明過(guò)程。
進(jìn)一步明確反證法的 證明過(guò)程。
這個(gè)例題的證明比較 困難 , 因此采取“挖 空”的形式讓學(xué)生補(bǔ) 充完整 , 降低證明難 度。
而 m⊥l,n ⊥l m、n 交于點(diǎn) P 矛盾。 這與我們以前學(xué)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與
已知直線垂直”相矛盾。
所以,過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓。
教師在學(xué)生補(bǔ)充完整后再次總結(jié)強(qiáng)調(diào)反證法的證明過(guò)
程。
歸納總結(jié):反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),反設(shè)的正確與否直接
影響反證法的后續(xù)步驟；歸謬是關(guān)鍵,是反證法的核心
部分；結(jié)論是我們的最終目的。
加深學(xué)生對(duì)反證法證 明過(guò)程的理解記憶
9、。
練一練
1、思考:說(shuō)出下列結(jié)論的反面:
前三個(gè)問(wèn)題較簡(jiǎn)
單,學(xué)生齊答,4、5、 強(qiáng)調(diào)反設(shè)的重要性
（1）. a⊥b a 不垂直于 b 6 提問(wèn),并由學(xué)生敘
（2）. a ∥ b a 不平行于 b
（3）. a ≥0 a ＜0
（4）. d 是正數(shù) d 不是正數(shù),即 d ≤0 （5）.至少有一個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有
（6）.至多有 n 個(gè) 至少有（n+1）個(gè)
述原因。
（5）、（6）是難點(diǎn), 教給學(xué)生如何正確找 出命題結(jié)論的反面
2
教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)似（5）（6)這樣的形式先將文字轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)符號(hào)表示,再找結(jié)論反面。
師:大家已經(jīng)熟悉了反證
10、法的證明過(guò)程,下面獨(dú)立完成 練習(xí) 2。
2、求證:若 a+b+c>0,則 a、b、c 中至少有一個(gè)為正數(shù)。
教師在學(xué)生完成后通過(guò)板演學(xué)生的證明過(guò)程,講解糾正 學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題。
師:反證法不僅可以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,一些實(shí)際問(wèn)題的解 決過(guò)程中也有反證法的影子,請(qǐng)看第 3 個(gè)練習(xí)。 3、你來(lái)做偵探:A、B、C三個(gè)人,A 說(shuō) B 撒謊,B 說(shuō) C 撒謊,C 說(shuō) A、B 都撒謊。則 C 必定是在撒謊,為什么？
學(xué)生討論結(jié)束后教師組織學(xué)生分享討論結(jié)果
師:雖然我們今天剛剛學(xué)習(xí)了反證法的定義,但是通過(guò) 學(xué)習(xí)你有沒(méi)有覺(jué)得它并不陌生？在你過(guò)去解決的一些 問(wèn)題中有沒(méi)有用到過(guò)反證法的思維方法？
11、
試一試
你能想一個(gè)用反證法解決問(wèn)題的例子嗎？ 請(qǐng)與你的 同桌交流,互答互評(píng)
在活動(dòng)過(guò)程中教師可適當(dāng)給予學(xué)生指點(diǎn),可以參與到學(xué) 生活動(dòng)中,幫助活動(dòng)組織困難的小組舉幾個(gè)例子。 活動(dòng)結(jié)束后教師選擇部分同學(xué)分享自己小組的問(wèn)題和 解決辦法。
（四）課堂總結(jié),升華認(rèn)識(shí)
師:今天學(xué)習(xí)的反證法和我們過(guò)去所用的證明方法有什 么不同？
總結(jié):
綜合法
直接證法
學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú) 立完成,并找兩名 學(xué)生在黑板上演示
學(xué)生分組討論后展 示討論結(jié)果
學(xué)生以互問(wèn)互答的 形式結(jié)組參與活 動(dòng)。
學(xué)生思考尋找過(guò)去 所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中可 通過(guò)反證法證明的 知識(shí)點(diǎn),或者在生 活中用反證法的思
12、 想解決的實(shí)際問(wèn) 題,互相交流解決 辦法。
學(xué)生自由闡述本節(jié) 課學(xué)習(xí)后對(duì)反證法 的認(rèn)識(shí)。
好好學(xué)習(xí) 天天向上
學(xué)生熟練反證法的過(guò) 程 , 體會(huì)規(guī)范的數(shù)學(xué) 證明過(guò)程。
通過(guò)討論讓學(xué)生體會(huì) 反證法的思維過(guò)程。
學(xué)生可以找數(shù)學(xué)知識(shí) 中的例子 , 也可以找 生活中的實(shí)例 , 將反 證法轉(zhuǎn)化為一種思維 方式,開(kāi)拓學(xué)生思維, 提 高 解 決 問(wèn) 題 的 能 力 , 實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的 目的。
總結(jié)學(xué)生學(xué)過(guò)的證明 方法 , 通過(guò)對(duì)比強(qiáng)調(diào) 反證法的證明過(guò)程 , 以及反證法代表的思
證明方法
結(jié)論）
分析法
間接證法 ---- 反證法 （反設(shè)、歸謬、
維方
13、式 , 提升學(xué)生能 力。
數(shù)學(xué)是思維的體操,反證法更體現(xiàn)了一種思維的藝 術(shù),我們要能夠從不同的角度去思考問(wèn)題,正向思維和 逆向思維都是我們解決問(wèn)題不可缺少的思維方式。
英國(guó)近代數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱(chēng)贊它:“反證法是 數(shù)學(xué)家最有利的一件武器,比起象棋開(kāi)局時(shí)犧牲一子以 取得優(yōu)勢(shì)的讓棋法,它還要高明。象棋對(duì)弈者,不外犧牲 一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓予對(duì)方?！?
數(shù)學(xué)上有許多經(jīng)典證明,比如,質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的 證明,就采用了反證法,生活中也還有很多可以用反證 法的思維模式解決的問(wèn)題。
（五）推薦作業(yè)
1、課后實(shí)踐:收集一兩個(gè)反證法在生活中應(yīng)用的例子, 并相互交流 .
將
14、學(xué)習(xí)延伸至課下 , 激發(fā)學(xué)生興趣。 但本節(jié)課在課本中要 求不高 , 沒(méi)有作業(yè)及 練習(xí) , 因此以推薦作 業(yè)的方式試圖達(dá)到兩 個(gè)目的:1、培養(yǎng)學(xué)生
3
2、閱讀拓展:查找資料,閱讀更多反證法解決問(wèn)題的經(jīng) 典實(shí)例.
好好學(xué)習(xí) 天天向上 的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣；2、 開(kāi)拓思維,提高能力。
板書(shū)設(shè)計(jì)
反證法
反證法的證明過(guò)程 1、 反設(shè)
2、 歸謬
3、 結(jié)論
舉反例
直接證明
間接證明
敎學(xué)反思
1、對(duì)反證法地位的認(rèn)識(shí):反證法不僅能提高學(xué)生的演繹推理能力,而且在后繼的學(xué)習(xí)中有著不可 忽視的作用,雖然在初中教材中所占篇幅很少,但本人
15、認(rèn)為不應(yīng)輕視,應(yīng)讓學(xué)生掌握其精髓,合理的去 運(yùn)用。
2、敎學(xué)目標(biāo)和敎學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì):在設(shè)計(jì)敎學(xué)目標(biāo)時(shí),我從三個(gè)方面即知識(shí)技能目標(biāo)、過(guò)程性目標(biāo)和 情感態(tài)度目標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)準(zhǔn)確的定位,體現(xiàn)了“立足雙基,著眼發(fā)展”的教育理念。本節(jié)課的敎學(xué)內(nèi) 容以課本的基本內(nèi)容為藍(lán)本 ,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和生活經(jīng)驗(yàn) ,改造和充實(shí)所教的內(nèi)容 ,體現(xiàn)了學(xué)數(shù) 學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想,努力使課堂敎學(xué)充滿(mǎn)趣味性、挑戰(zhàn)性,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,同時(shí)又服務(wù)于 生活,讓他們感受到反證法思想離自己很近,反證法很有用。
3、課堂活動(dòng)組織:課堂上教師把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生學(xué)會(huì)參與、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)應(yīng)用、 學(xué)會(huì)創(chuàng)新。在組織討論時(shí)應(yīng)把足夠的時(shí)間給學(xué)生,不僅僅是為了討論而討論,學(xué)生應(yīng)在討論中體會(huì)問(wèn) 題的實(shí)質(zhì),并最終形成自己的認(rèn)識(shí)。練習(xí)時(shí)要求學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范,培養(yǎng)良好的做題習(xí)慣。
4、抓住重點(diǎn),突破難點(diǎn):反證法的重點(diǎn)是能寫(xiě)出結(jié)論的反面,同時(shí)也是難點(diǎn)。在用反證法證明的 命題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)文字命題 ,一定要先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出“已知”和“求證” , 然后再按一般步驟證 明。讓學(xué)生學(xué)會(huì)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)命題進(jìn)行證明也是本節(jié)課敎學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。
4
人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)初三上冊(cè) 反證法 名師教學(xué)教案 教學(xué)設(shè)計(jì)反思
