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1、第17講直角三角形與銳角三角函數(shù),考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)及判定,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)二解直角三角形 1.銳角三角函數(shù) (1)三角函數(shù)的定義及關(guān)系,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,(2)特殊角的三角函數(shù)的值:,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,2.解直角三角形及其應(yīng)用 (1)解直角三角形的類型:,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,(2)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用:,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,30角所對直角邊是斜邊的一半 含30角的直角三角形具有特殊的性質(zhì):在直角三角形中,30角所對的直角邊等于斜邊的一半. 此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出,它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角

2、的度數(shù). 注意:該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30)的特殊性質(zhì),在非直角三角形或一般直角三角形中不能應(yīng)用;應(yīng)用時,要注意找準(zhǔn)30的角所對的直角邊,以及斜邊.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例1(2018廣西)如圖,從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30,從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45,已知甲樓的高AB是120 m,則乙樓的高CD是 m(結(jié)果保留根號),解析:由題意可得:BDA=45, 則AB=AD=120 m, 又CAD=30, 在RtADC中,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的

3、直角邊等于斜邊的一半.本性質(zhì)適用的大前提是“在直角三角形中”.在題中如果有一個30的角,而無直角時,必須依條件構(gòu)造符合性質(zhì)特征的直角三角形,才能由角的大小關(guān)系,得出邊的倍分關(guān)系.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,直角三角形的性質(zhì)和判定 例2(2018廣西柳州)如圖,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,則sin B= =(),答案:A 解析:C=90,BC=4,AC=3, AB=5,,故選A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥直角三角形中線段和角之間的數(shù)量關(guān)系 (1)邊:直角三角形的三邊滿足勾股定理,是計(jì)算線段長度的重要工具,有時也用于證明線段

4、相等;(2)角:直角三角形的兩銳角互余,可用來計(jì)算角的大小,也是證明角相等的重要工具;(3)斜邊中線:直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半也是幾何證明或計(jì)算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定義,即證明一個角是直角.另外還有兩種方法:一是勾股定理的逆定理,即證明“a2+b2=c2”,則C=90;二是利用“若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形”這一判定方法,但這一方法不常用.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,銳角三角函數(shù)值的求法 例3(2018山東德州)如圖,在44的正方形方格圖形中,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則BAC的正弦值是.

5、,解析:AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5, AC2+BC2=AB2, ABC為直角三角形,且ACB=90,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥格點(diǎn)圖中求某個角的三角函數(shù)值的方法 通常的做法是構(gòu)造合適的直角三角形,然后根據(jù)格點(diǎn)來表示出各邊的長,從而求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.在構(gòu)造直角三角形時需注意,通常我們要去求的邊或角不要分割,另外就是構(gòu)造的直角三角形的邊盡可能的是整個的格點(diǎn)數(shù),這樣便于我們求值.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,有關(guān)特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算,=5. 方法點(diǎn)撥1.本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)冪、絕對值、特殊角

6、的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法.這是核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本要求. 2.特殊角的銳角三角函數(shù)值要記熟,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相關(guān)定理與性質(zhì)直接推導(dǎo)計(jì)算也可;,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,銳角三角函數(shù)的應(yīng)用 例5(2018重慶)如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=10.75、坡長為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D,然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E(A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)).在E處測得建筑物頂端A的仰角為24,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):s

7、in 240.41,cos 240.91,tan 24=0.45)() A.21.7米B.22.4米 C.27.4米D.28.8米,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:A 解析:作BMED交ED的延長線于點(diǎn)M,CNDM于點(diǎn)N. 在RtCDN中,,CD=10,(3k)2+(4k)2=100, k=2,CN=8,DN=6, 四邊形BMNC是矩形, BM=CN=8,BC=MN=20, EM=MN+DN+DE=66,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥求直角三角形中某銳角的三角函數(shù)值,常需利用勾股定理求出有關(guān)邊長,有時還要通過作高把非直角三角形中的邊和角轉(zhuǎn)化到

8、直角三角形中.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 例6(2018山東煙臺)汽車超速行駛是交通安全的重大隱患,為了有效降低交通事故的發(fā)生,許多道路在事故易發(fā)路段設(shè)置了區(qū)間測速,如圖,學(xué)校附近有一條筆直的公路l,其間設(shè)有區(qū)間測速,所有車輛限速40千米/小時.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動小組設(shè)計(jì)了如下活動:在l上確定A,B兩點(diǎn),并在AB路段進(jìn)行區(qū)間測速,在l外取一點(diǎn)P,作PCl,垂足為點(diǎn)C.測得PC=30米,APC=71,BPC=35.上午9時測得一汽車從點(diǎn)A到點(diǎn)B用時6秒,請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明該車是否超速.(參考數(shù)據(jù):sin 350.57,cos 350.82,tan 3

9、50.70,sin 710.95,cos 710.33,tan 712.90),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解:在RtAPC中,AC=PCtan APC=30tan 71302.90=87, 在RtBPC中,BC=PCtan BPC=30tan 35300.70=21,則AB=AC-BC=87-21=66,,又40 km/h11.1 m/s, 該車沒有超速.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥1.解決此類問題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當(dāng)圖形中沒有直角三角形時,要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形,當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時

10、,要善于讀懂題意,把實(shí)際問題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決. 2.一般過程是:(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).(2)先根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)(或邊角關(guān)系)去解直角三角形,得到數(shù)學(xué)問題的答案,再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.,,2.(2014甘肅天水)如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上,則cos A= .,,3.(2017甘肅武威)如圖是一張三角形紙片ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm.現(xiàn)將紙片折疊:使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則折痕長等于_

11、__cm.,解析:取AB的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MNAB交AC于點(diǎn)N,因?yàn)锳C=8 cm,BC=6 cm, 所以AB=10 cm,,,4.(2017甘肅天水)一艘輪船位于燈塔P南偏西60方向的A處,點(diǎn)A與燈塔P的距離為20海里,它向東航行到達(dá)燈塔P南偏西45方向上的B處,求輪船航行的距離AB.(結(jié)果保留根號),解:如圖,過P作PCAC交AB延長線于點(diǎn)C,則APC=60,BPC=45,AP=20,,在PBC中,BPC=45, PBC為等腰直角三角形, BC=PC=10,,5.(2018甘肅)隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高,中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時空距離,改變了人們的出行方式.

12、如圖,A,B兩地被大山阻隔,由A地到B地需要繞行C地,若打通穿山隧道,建成A,B兩地的直達(dá)高鐵可以縮短從A地到B地的路程.已知CAB=30,CBA=45,AC=640公里,求隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短多少公里?(參考數(shù)據(jù):,解:過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D,在RtADC和RtBCD中,,1 088-864=224(公里), 答:隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短224公里.,6.(2015甘肅甘南州)如圖,從熱氣球C上測得兩建筑物A,B底部的俯角分別為30和60.如果這時氣球的高度CD為90米.且點(diǎn)A,D,B在同一直線上,求建筑物A,B間的距離.,解:由已知,

13、得ECA=30,FCB=60,CD=90, EFAB,CDAB于點(diǎn)D. A=ECA=30,B=FCB=60.,7.(2015甘肅白銀)如圖所示,將直尺擺放在三角板ABC上,使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)D,E,F,G,量得CGD=42. (1)求CEF的度數(shù); (2)將直尺向下平移,使直尺的邊緣通過三角板的頂點(diǎn)B,交AC邊于點(diǎn)H,如圖所示.點(diǎn)H,B在直尺上的讀數(shù)分別為4,13.4,求BC的長(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90),解:(1)CGD=42,C=90, CDG=90-42=48, DGEF,CEF=CDG=48. (2)

14、點(diǎn)H,B的讀數(shù)分別為4,13.4, HB=13.4-4=9.4, BC=HBcos 429.40.746.96 答:BC的長為6.96.,8.(2016甘肅白銀)如圖是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景.圖是小明鍛煉時上半身由ON位置運(yùn)動到與地面垂直的OM位置時的示意圖.已知AC=0.66米,BD=0.26米,=20(參考數(shù)據(jù):sin 200.342,cos 200.940,tan 200.364). (1)求AB的長;(精確到0.01米) (2)若測得ON=0.8米,試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)的路徑,解:(1)過點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F.AF=AC-BD=0.4(米), AB=AFsin 201.17(米). (2)MON=90+20=110,,