《2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用
一、選擇題
1.(2012·山東高考理科·T10)已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為( )
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】本題關(guān)鍵利用橢圓的對(duì)稱性及雙曲線的漸近線為,找出雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),然后加上條件離心率為,即可求得橢圓的方程.
【解析】選D.由于雙曲線的漸近線為,以及橢圓的對(duì)稱性可知漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,因?yàn)樗倪呅蚊娣e為16,所以邊長(zhǎng)為4,所以橢圓過(guò)點(diǎn)(2,2).所以,解得,所以橢圓的方程為.
2、
二、解答題
2.(2012·湖北高考理科·T21)與(2012·湖北高考文科·T21)相同
設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線上,且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,且它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題指南】本題考查求軌跡的方法和直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系,解答本題的關(guān)鍵是把點(diǎn)M的坐
3、標(biāo)設(shè)出,代入法求軌跡,再結(jié)合一定的運(yùn)算能力求解。
【解析】
(1)如圖1.設(shè),則由得①.又A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),則②.把①代入②得曲線C的方程為:.
當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓; 當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.
(2)如圖2,3, 對(duì)任意的K>0 ,設(shè),直線QN的方程為: 將其帶入橢圓方程并整理得:.
依題意設(shè)此方程的兩根為: ,則
.又點(diǎn)H在直線QN上,所以,于是.又PQ⊥PH,則,即,也就是.
故存在m=,使得對(duì)任意的K>0,都有PQ⊥PH.
3.(2012·遼寧高考文科·T20)如圖,
動(dòng)圓,1
4、別為的左,右頂點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;
(Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.
【解題指南】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱性,可設(shè)出它們的坐標(biāo),利用坐標(biāo)的某個(gè)變量來(lái)表示矩形面積,建立函數(shù),求最值;(2)利用點(diǎn)的坐標(biāo),據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程,求交點(diǎn)坐標(biāo),用交軌法求軌跡方程.
【解析】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱性,
設(shè)
則矩形ABCD的面積為,
由點(diǎn)在橢圓上,所以
從而,故時(shí),取得最大值。
從而取得最大值6.此時(shí).
(2)由可得
直線的方程:--------------------①
直線的方
5、程:--------------------②
設(shè)直線與直線的交點(diǎn)
由①②得----------------------------③
由(1)知------------------------------------④
④代入③整理得
因此點(diǎn)M的軌跡方程為.
4.(2012·遼寧高考理科·T20)如圖,橢圓:,a,b為常數(shù)),動(dòng)圓,。點(diǎn)分別為的左,右頂點(diǎn),與相交于A,B,C,D四點(diǎn).
(Ⅰ)求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn),其中,
。若矩形與矩形的面積相等,證明:為定值.
【解題指南】(1)由于A,B點(diǎn)的對(duì)稱性,可設(shè)出它們的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo)
6、,據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程,求交點(diǎn)坐標(biāo),用參數(shù)法求軌跡方程(2)利用坐標(biāo)的變量來(lái)表示矩形面積,建立等量關(guān)系.
【解析】(Ⅰ)設(shè),
直線的方程:-------------------- ①
直線的方程:-------------------- ②
設(shè)直線與直線的交點(diǎn)
由①②得----------------------------③
由在橢圓上,故
從而,代入③整理得
(Ⅱ)證明:設(shè),由矩形ABCD和矩形面積相等得,
即,-------------------- ④
因?yàn)辄c(diǎn),均在橢圓上,
所以,
代入④得,進(jìn)一步得到
,由于,所以
從而,
故 為定值.