《（江蘇專用）2013年高考數學總復習 第五章第3課時 等比數列課時闖關（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2013年高考數學總復習 第五章第3課時 等比數列課時闖關（含解析）（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 （江蘇專用）2013年高考數學總復習 第五章第3課時 等比數列 課時闖關（含解析） [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．(2010·高考福建卷)在等比數列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數列的通項公式an＝________. 解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21， ∴a1＝1，∴an＝1·4n－1＝4n－1. 答案：4n－1 2．在等比數列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于________． 解析：a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝a1q10＝a11. ∴m

2、＝11. 答案：11 3．(2012·無錫調研)已知等比數列{an}的公比為正數，且a3·a9＝2a，a2＝2，則a1等于________． 解析：由題意可知，a3·a9＝a＝2a，∴公比q＝， ∴a1＝＝＝. 答案： 4．設Sn為等比數列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則＝________. 解析：由8a2＋a5＝0，∴＝－8，即q3＝－8，q＝－2. ∴＝＝＝＝－11. 答案：－11 5．已知{an}是首項為1的等比數列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數列{}的前5項和為________． 解析：易知公比q≠1，由9S3＝S6得9＝，解得q＝2，

3、 ∴{}是首項為1，公比為的等比數列， ∴其前5項和為＝. 答案： 6．已知各項不為0的等差數列{an}，滿足2a3－a＋2a11＝0，數列{bn}是等比數列，且b7＝a7，則b6b8等于________． 解析：由題意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7. ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. 答案：16 7．在等比數列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，則a99＋a100等于________． 解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，…，a99＋a100＝b10.它們構成以為公比的等比數列．所以a99＋a100＝a·(

4、)9＝. 答案： 8．關于數列有下面四個判斷： ①若a，b，c，d成等比數列，則a＋b，b＋c，c＋d也成等比數列； ②若數列{an}既是等差數列也是等比數列，則{an}為常數列； ③數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，則{an}為等差或等比數列； ④數列{an}為等差數列，且公差不為零，則數列{an}中不會有am＝an(m≠n)． 其中正確判斷的序號是________．(注：把你認為是正確判斷的序號都填上) 解析：①中，若a＝2，b＝－2，c＝2，d＝－2不滿足條件，③中，若a＝0，則Sn＝－1，a1＝－1，an＝0(n≥2)，∴{an}既不是等差也不是

5、等比數列． 答案：②④ 二、解答題 9．(2011·高考江西卷)已知兩個等比數列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求數列{an}的通項公式； (2)若數列{an}惟一，求a的值． 解：(1)設{an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. 由b1，b2，b3成等比數列得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0， 解得q1＝2＋，q2＝2－， 所以{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. (2)設{an}的公比為q，則

6、由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.() 由a>0，得Δ＝4a2＋4a>0，故方程()有兩個不同的實根， 由{an}惟一，知方程()必有一根為0，代入()得a＝. 10．設等差數列{an}的前n項的和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數列{an}的通項an與前n項的和Sn； (2)設bn＝(n∈N*)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列． 解：(1)由條件可知則d＝2, 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋，假設{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r∈N*且互

7、不相等)成等比數列，則b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)． 化簡得(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. 因為p，q，r均為正整數，所以所以()2＝pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r. 故{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列． [B級　能力提升] 一、填空題 1．已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，bn＝，且{bn}的前n項和為Tn，若對一切正整數n都有Sn>Tn，則數列{an}的公比q的取值范圍是________． 解析：由于{an}是等比數列，公比為q，所以bn＝＝an，于是b1＋b2＋…＋bn＝(a1＋a2＋…＋an)， 即Tn＝·Sn. 又Sn

8、>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1. 因為an>0對任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范圍是q>1. 答案：q>1 2．在等差數列{an}中，若a10＝0則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質，相應地：在等比數列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立． 答案： b1b2…bn＝b1b2…b17－n 3．若干個能惟一確定一個數列的量稱為該數列的“基本量”．設{an}是公比為q的無窮等比數列，下列{an}的四組量中，一定能成為該數列“基本量”的是第________組．(寫出所有符合要求的組號) ①S1

9、與S2；②a2與S3；③a1與an；④q與an. (其中n為大于1的整數，Sn為{an}的前n項和) 解析：①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q確定，∴等比數列{an}確定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q，q＋＋1－＝0，即q2＋(1－)q＋1＝0.不能惟一確定q，從而該數列不能惟一確定． ③qn－1＝，n為奇數時，n－1為偶數，q不能惟一確定． ④a1＝惟一確定，即{an}惟一確定． ∴①④滿足題意． 答案：①④ 4．設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若數列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，

10、則6q＝________. 解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1， 而{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{an}有連續(xù)四項在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{an}是公比為q的等比數列，|q|>1. ∴{an}中的連續(xù)四項為－24,36，－54,81， ∵q＝＝－，∴6q＝－9. 答案：－9 二、解答題 5．設等比數列{an}的前n項的和為Sn，求證：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 證明：法一：當q＝1時，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， 則S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)

11、＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，所以q＝1時，等式成立． 當q≠1時，則Sn＝， S2n＝＝(1－qn)(1＋qn)， S3n＝＝(1＋qn＋q2n)． 所以S＋S＝[]2＋[(1＋qn)]2 ＝[1＋(1＋qn)2]＝(2＋2qn＋q2n)． Sn(S2n＋S3n)＝[(1－qn)(1＋qn)＋(1－qn)(1＋qn＋q2n)] ＝(2＋2qn＋q2n)． 所以當q≠1時，等式成立，綜上所述：等式成立． 法二：設數列{an}的公比為q，則S2n＝(a1＋a2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a1qn＋a2qn＋…＋anq

12、n)＝(a1＋a2＋…＋an)(1＋qn)＝Sn(1＋qn)． 同理S3n＝(1＋qn＋q2n)Sn.所以 S＋S－Sn(S2n＋S3n)＝S＋S(1＋qn)2－S[(1＋qn)＋(1＋qn＋q2n)] ＝S＋S(1＋qn)2－S[1＋(1＋qn)2]＝0. 所以S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 6．按所給流程，可打印出一個數列，設這個數列為{xn}． (1)寫出這個數列的前四項； (2)建立數列{xn}的遞推公式； (3)證明{xn＋1－xn}是等比數列； (4)求通項xn. 解：(1)x1＝＝，x2＝＝，x3＝＝，x4＝＝. (2)遞推公式為 (3)證明：由(2)，得＝＝＝－，又x2－x1＝， ∴{xn＋1－xn}是首項為，公比為－的等比數列． (4)由(3)，xn＋1－xn＝(－)n－1. ∴xn＝x1＋(xi＋1－xi)＝＋(－)i－1.