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1、考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理
一、選擇題
1.(2012·湖南高考理科·T7)在△ABC中,AB=2 AC=3 ·=1,則BC=( )
A B C D
【解題指南】利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式,和余弦定理組成方程組解出BC的值。
【解析】選A.由由余弦定理
2.(2012·湖南高考文科·T8)在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,則BC邊上的高等于( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題考查余弦定理、三角形面積公式,考查方程思想、運(yùn)算能力,是歷年??純?nèi)容.根據(jù)余弦定理和直角三角形中的三角函數(shù)定義,列出方程組,
2、解出答案。
【解析】選B.
設(shè),在△ABC中,由余弦定理知,
即,又
設(shè)BC邊上的高等于,由三角形面積公式,知
,解得.故選B.
3.(2012·廣東高考文科·T6)在中,若=60°, ∠B=45°,BC=3,則AC=( )
A.4 B 2 C. D
【解題指南】已知兩角一邊解三角形,顯然適合采用正弦定理,但在由正弦值求角時(shí),要注意解的個(gè)數(shù)的判斷。
【解析】選B.
在中,由正弦定理知
4.(2012·湖北高考文科·T8)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正
3、整數(shù),且A>B>C,3b=20acosA,則sinA∶sinB∶sinC為( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【解題指南】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是把邊a,c均用b表示出來(lái),再利用余弦定理把已知化簡(jiǎn)求值.
【解析】選D.由題意知: a=b+1,c=b-1, 3b=20a=20(b+1)= 20(b+1) ,整理得:,解之得:b=5,可知:a=6,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案.
二、填空題
5.(2012·湖北高考理科·T11)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C,所對(duì)的邊分別是a,b,c.若(a+
4、b-c)(a+b+c)=ab,則角C=______________.
【解題指南】本題考查余弦定理,把已知條件展開(kāi)整理可得結(jié)果.
【解析】 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,可知.又,所以.
【答案】 .
6.(2012·福建高考文科·T13)在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC=,則AC=_______
【解題指南】本題知兩角一對(duì)邊,選用正弦定理求另一對(duì)邊.
【解析】選由正弦定理,,即.
【答案】.
7.(2012·安徽高考理科·T15)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為;則下列命題正確的是(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))
①若;則 ②
5、若;則
③若;則 ④若;則
⑤若;則
【解題指南】對(duì)于①②用余弦定理判斷; ③用反證法; ④⑤舉反例.
【解析】①
②
③當(dāng)時(shí),與矛盾
④取滿(mǎn)足得:
⑤取滿(mǎn)足得:.
【答案】①②③
8.(2012·陜西高考文科·T13)在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為,b,c,若,B=,c=2,則b=
【解題指南】已知兩邊及其夾角,用余弦定理可求第三邊.
【解析】由余弦定理得:,∴.
【答案】2.
9.(2012·北京高考理科·T11)在△ABC中,若a
6、=2,b+c=7,,
則b=
【解題指南】對(duì)角B利用余弦定理列式求解.
【解析】
由余弦定理得,即,解得.
【答案】4.
10.(2012·北京高考文科·T11)在△ABC中,若a=3,b=,則的大小為_(kāi)________.
【解題指南】利用正弦定理求出B,再利用內(nèi)角和定理求C.
【解析】在中,由正弦定理得,,,.
【答案】.
三、解答題
11.(2012·江蘇高考·T15)(本小題滿(mǎn)分14分)在中,已知.
(1)求證:;
(2)若求A的值.
【解題指南】(1)注意向量積公式的應(yīng)用,和正弦定理的利用(邊角轉(zhuǎn)化)(2)先利用求出再利用兩角和的正切
7、公式構(gòu)造與有關(guān)的方程.
【解析】(1)由得
即為
由正弦定理得
兩邊同除得
即成立.
(2)因所以C為銳角,所以
由(1),且
得
即
即
所以或。
因由內(nèi)角和為知兩角均為銳角,故應(yīng)舍去。
所以所以.
12.(2012·浙江高考理科·T18)(本題滿(mǎn)分14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知cosA=,sinB=C.
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面積.
【解題指南】解三角形問(wèn)題,主要考查正、余弦定理,三角恒等變換的方法,注意同角三角函數(shù)間的互化和邊角之間的互化.
【解析】(1)由cosA=可得sinA=
由si
8、nB=C可得sin(A+C)=C
即
等號(hào)兩邊同除以,可得
,即.
(2)由可得
∴,解得
而sinB=
∴.
13.(2012·浙江高考文科·T18)(本題滿(mǎn)分14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB。
(1)求角B的大?。?
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值。
【解題指南】考查三角形中的正、余弦定理的應(yīng)用,注意其中邊角間的互化。
【解析】(1)由bsinA=acosB可得sinBsinA=sinAcosB
又sinA,可得
,所以.
(2)由sinC=2sinA可得,
在中,,解得,
所以.
9、14.(2012·安徽高考文科·T16)(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,且有
.
(Ⅰ)求角A的大?。?
(Ⅱ) 若,,為的中點(diǎn),求的長(zhǎng).
【解題指南】(1)將代入化簡(jiǎn)得到,從而求出;(2)根據(jù)余弦定理即可求出.
【解析】(Ⅰ)
.
(II)
在中,.
15.(2012·遼寧高考理科·T17)與(2012·遼寧高考文科·T17)相同
在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c。角A,B,C成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)邊a,b,c成等比數(shù)列,求的值.
【解題指南】(1)結(jié)合等差數(shù)列定義和三角形內(nèi)角和定理,求得角B;
(2
10、)利用等比數(shù)列的定義,結(jié)合正弦定理,將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,借助(1)的結(jié)論,解決問(wèn)題
【解析】(Ⅰ)由已知三角形的內(nèi)角和定理,解得
所以.
(Ⅱ)由已知,據(jù)正弦定理,設(shè)
則,代入得
即.
16.(2012·天津高考文科·T16)在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c。已知a=2.c=,cosA=.
(I)求sinC和b的值;
(II)求cos(2A+)的值.
【解題指南】(1)根據(jù)余弦定理求解;
(2)利用三角函數(shù)的兩角和、倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算.
【解析】(1)在中,由可得
,又由,
,故解得,所以.
(2)由得
,,
所以,.
17.(2012·江
11、西高考理科·T17)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知,.
(1)求證:;
(2)若,求△ABC的面積.
【解題指南】(1)選擇將已知條件邊化角,得出;
(2)由(1)中結(jié)論及,求出其他的邊和角,然后選擇合適的面積公式,求出△ABC的面積.
【解析】
(1) 證明:由,應(yīng)用正弦定理,得
,
,
整理得 ,
即 ,
由于,從而.
(2) ∵,因此.
由得
所以的面積
18.(2012·江西高考文科·T16)△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC。
(1)求c
12、osA;
(2)若a=3,△ABC的面積為,求b,c.
【解題指南】(1)選擇將已知條件3cos(B-C)-1=6cosBcosC化簡(jiǎn),先求得,再求得;
(2)結(jié)合余弦定理,選擇合適的的面積公式,建立關(guān)于的方程組,解得的值.
【解析】(1)
則.
(2) 由(1)得,由面積可得bc=6①,則根據(jù)余弦定理
則=13②,①②兩式聯(lián)立可得b=2,c=3或b=3,c=2.
19.(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T17)已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,
(1)求 (2)若,的面積為;求.
【解題指南】(1)選擇將已知條件邊化角,求出角A;
(2)結(jié)合角A的值,選擇合適的的面積公式,建立關(guān)于的方程組,解得的值.
【解析】(1)由正弦定理得:
.
(2)
解得:.