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1、第十四章 推理與證明 第79課 推理與證明 1．(2012江西高考)觀察下列事實的不同整數(shù)解的個數(shù)為4 ，的不同整數(shù)解的個數(shù)為8， 的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，…，則的不同整數(shù)解的個數(shù)為（ ） A．76 B．80 C．86 D．92 【答案】B 【解析】個數(shù)為首項為4，公差為4的等差數(shù)列， ∴，，選B． 2．（2011江西高考）觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ）A．01 B．43 C．07 D．49 【答案】B 【解析】設（， ∵

2、 ∴當時，末兩位數(shù)字為07； 當時，末兩位數(shù)字為49； 當時，末兩位數(shù)字為43； 當時，末兩位數(shù)字為01； ∵，故選B． 3．（2012房山一模）設函數(shù)，，，（）,則方程有___個實數(shù)根，方程有___個實數(shù)根． 【答案】， 【解析】，∴或，有4個解． ∵可推出，根個數(shù)分別為， ∴通過類比得出有個實數(shù)根． 4．(2012湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．則 （1）位回文數(shù)有

3、 個； （2）位回文數(shù)有 個． 【答案】， 【解析】（1）位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定， 但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況， ∴位回文數(shù)有種． 5．(2012湖北高考)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)： … 將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，可以推測： （1）是數(shù)列中的第______項； （2） ______．（用表示） 【答案】（1）；（2）

4、【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…，的一個通項公式為， 寫出其若干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110, 故． ∴可猜想：（為正整數(shù)）， ， 故， 即是數(shù)列中的第項． 【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力．歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想．來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查． （2）由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，位回文數(shù)和位回文數(shù)的個數(shù)相同， ∴可以算出位回文數(shù)的個數(shù)． 位回文數(shù)只用看前位的排列情況， 第一位不能為0，有9種情況， 后面項每項有10種情況， ∴個數(shù)為． 6．證明 ：已知,求證：. 【證明】 要證：, 只要證. ∵,故只要證， 即， 即， 從而只要證, 只要證， 即，而該不等式顯然成立， 故原不等式成立.