2、的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S；
②n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S；
③n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S；
④n個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無(wú)法確定
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
[答案] A
[解析] n個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.∴①正確，②③④錯(cuò)誤，故應(yīng)選A.
3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)
B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1)
C．可以是該區(qū)間內(nèi)任
3、一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正確
[答案] C
[解析] 由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，C正確，故應(yīng)選C.
4．求由拋物線(xiàn)y＝2x2與直線(xiàn)x＝0、x＝t(t>0)、y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間[0，t]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i－1個(gè)區(qū)間為( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 在[0，t]上等間隔插入(n－1)個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[0，t]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，故第i－1個(gè)區(qū)間為，故選D.
5．在求由函數(shù)y＝與直線(xiàn)x＝1、x＝2、y＝0所圍成的平面圖形的面積時(shí)，把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小
4、區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為( )
A．[，] B．[，]
C．[i－1，i] D．[，]
[答案] B
[解析] 把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間后，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，且第i個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)不小于1，排除A、D；C顯然錯(cuò)誤；故選B.
6．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是( )
A．·] B．·]
C． D．·n]
[答案] B
[解析] 將區(qū)間[0,2]n等分后每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為，第i個(gè)小區(qū)間為[，](i＝1,2,3，…，n)，故應(yīng)選B.
二、填空題
7．直線(xiàn)x＝0、x＝2、y＝0與曲線(xiàn)y＝x2＋1圍成的曲
5、邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)梯形面積分別為_(kāi)_______、________.
[答案] 3.92 5.52
8．已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為_(kāi)_______．
[答案] 55
9．在求由直線(xiàn)x＝0、x＝1、y＝0和曲線(xiàn)y＝x3所圍成的曲邊梯形面積時(shí)，若令Δx＝，ξi＝，則曲邊梯形的面積表達(dá)式為_(kāi)_______．
[答案]
三、解答題
10．求直線(xiàn)x＝0、x＝2、y＝0與曲線(xiàn)y＝x2所圍成曲邊梯形的面積．
[解析] 將區(qū)間[0,2]等分成n
6、個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為.
第i個(gè)小區(qū)間的面積ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝.
S＝Sn＝
＝[(1－)(2－)]＝，
∴所求曲邊梯形面積為.
一、選擇題
11．曲線(xiàn)y＝cosx(0≤x≤2π)與y＝1圍成的面積是( )
A．4π B．
C．3π D．2π
[答案] D
[解析] 如圖，求曲線(xiàn)y＝cosx(0≤x≤2π)與y＝1圍成的面積可轉(zhuǎn)化為求由直線(xiàn)y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π圍成的矩形面積．
[點(diǎn)評(píng)] 這里利用了曲線(xiàn)y＝cosx(0≤x≤2π)的圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，將不規(guī)則的
7、圖形轉(zhuǎn)化為矩形求得面積，自己再用求曲邊梯形面積的方法求出所求面積．
12.()·()]的含義可以是( )
A．求由直線(xiàn)x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積
B．求由直線(xiàn)x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x圍成的圖形的面積
C．求由直線(xiàn)x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積
D．求由直線(xiàn)x＝0，x＝5，y＝0及曲線(xiàn)y＝圍成的圖形的面積
[答案] C
[解析] 將區(qū)間[0,5]n等分，則每一區(qū)間的長(zhǎng)度為，各區(qū)間右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y＝，
因此()·()]可以表示由直線(xiàn)x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x圍成的圖形的面積的近似值．
二、填空題
13．由直線(xiàn)x＝0、
8、x＝1、y＝0和曲線(xiàn)y＝x2＋2x圍成的圖形的面積為_(kāi)_______．
[答案]
[解析] 將區(qū)間[0,1]n等分，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為，區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值y＝()2＋2·＝＋.
作和(＋)]＝(＋)
＝2＋
＝×n(n＋1)(2n＋1)＋×
＝＋＝，
∴所求面積S＝ ＝ (＋＋)＝.
三、解答題
14．汽車(chē)以速度v做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車(chē)做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程是多少？
[分析] 汽車(chē)行駛路程等于速度與時(shí)間的乘積，由于是變速運(yùn)動(dòng)，故路程類(lèi)似曲邊梯形面積
9、，根據(jù)曲邊梯形求面積思想，求和后再求極限值．
[解析] 將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)小區(qū)間為.
∴Δsi＝f·.
sn＝·＝
＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.
∴這段時(shí)間行駛的路程為km.
15．求由直線(xiàn)x＝1、x＝2、y＝0及曲線(xiàn)y＝圍成的圖形的面積S.
[解析] (1)分割
在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：
，，…，，記第i個(gè)區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長(zhǎng)度為
Δx＝－＝.
分別過(guò)上述n－1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成n個(gè)小
10、曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSn，則小曲邊梯形面積的和為S＝Si.
(2)近似代替
記f(x)＝.當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f()．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線(xiàn)段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲邊梯形的面積和Sn＝Si≈Si′
＝＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.
(4)取極限
S＝Sn＝.
∴由直線(xiàn)x
11、＝1、x＝2、y＝0及曲線(xiàn)y＝圍成的圖形的面積S為.
選修2-2 第一章 1.5
一、選擇題
1．已知 f(x)dx＝6，則6f(x)dx等于( )
A．6 B．6(b－a)
C．36 D．不確定
[答案] C
[解析] 6f(x)dx＝6 f(x)dx＝36.故應(yīng)選C.
2．設(shè)f(x)＝則－1f(x)dx的值是( )
A．x2dx B．2xdx
C．x2dx＋2xdx D．2xdx＋x2dx
[答案] D
[解析] 由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過(guò)求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積
12、分來(lái)實(shí)現(xiàn)，顯然D正確，故應(yīng)選D.
3．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，則[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3
C．－1 D．4
[答案] C
[解析] [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
4．由函數(shù)y＝－x的圖象，直線(xiàn)x＝1、x＝0、y＝0所圍成的圖形的面積可表示為( )
A．(－x)dx B．|－x|dx
C．－1xdx D．－xdx
[答案] B
[解析] 圍成圖形如圖，由定積分的幾何意義可知，所求圖形面積S＝－(－x)dx＝|－x|dx，故選B.
5．∫cosxdx＝( )
A
13、．0 B．π
C．－π D．2π
[答案] A
[解析] 作出[0,2π]上y＝cosx的圖象如圖，由y＝cosx圖象的對(duì)稱(chēng)性和定積分的幾何意義知，陰影部分在x軸上方和下方部分的面積相等，積分值符號(hào)相反，故∫cosxdx＝0.
6．下列命題不正確的是( )
A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則f(x)dx＝0
B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上連續(xù)且f(x)dx>0，則f(x)在[a，b)上恒正
[答案] D
[解析] 本題考查定積分的幾何意義，對(duì)A：因
14、為f(x)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A正確．對(duì)B：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故圖象都在x軸下方(或上方)且面積相等，故B正確．C顯然正確．D選項(xiàng)中f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)>0的曲線(xiàn)圍成的面積比f(wàn)(x)<0的曲線(xiàn)圍成的面積大．
二、填空題
7．由y＝sinx、x＝0、x＝、y＝0所圍成的圖形的面積可以寫(xiě)成________．
[答案] sinxdx
[解析] 由定積分的幾何意義可得．
8.(2x－4)dx＝________.
[答案] 12
[解析]
如圖A(0，－
15、4)，B(6,8)，M(2,0)，
S△AOM＝×2×4＝4，
S△MBC＝×4×8＝16，
∴(2x－4)dx＝16－4＝12.
9．設(shè)y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分f(x)dx.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿(mǎn)足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分f(x)dx的近似值為_(kāi)_______．
[答案]
[分析] 本題考查了幾何概型、積分的定義等知識(shí)，難
16、度不大，但綜合性較強(qiáng)，很好的考查了學(xué)生對(duì)積分等知識(shí)的理解和應(yīng)用，題目比較新穎．
[解析] 因?yàn)?≤f(x)≤1且由積分的定義知：f(x)dx是由直線(xiàn)x＝0，x＝1及曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸所圍成的面積．又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形面積為1，且滿(mǎn)足yi≤f(xi)的有N1個(gè)點(diǎn)，即在函數(shù)f(x)的圖象上及圖象下方有N1個(gè)點(diǎn)，所以用幾何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上與x軸圍成的面積為×1＝，即f(x)dx＝.
三、解答題
10．利用定積分的幾何意義，解釋下列等式．
(1)2xdx＝1；(2)－1dx＝.
[解析] (1)2xdx表示由直線(xiàn)y＝2x，直線(xiàn)x＝0、x
17、＝1、y＝0所圍成的圖形的面積，如圖所示，陰影部分為直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.
(2) dx表示由曲線(xiàn)y＝，直線(xiàn)x＝－1、x＝1、y＝0所圍成的圖形面積(而y＝表示圓x2＋y2＝1在x軸上方的半圓)，如圖所示陰影部分，所以S半圓＝，
故dx＝.
一、選擇題
11．設(shè)f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則f(x)dx－f(t)dt的值( )
A．小于零 B．等于零
C．大于零 D．不能確定
[答案] B
[解析] f(x)dx和f(t)dt都表示曲線(xiàn)y＝f(x)與x＝a，x＝b及y＝0圍成的曲邊梯形面積，不因曲線(xiàn)中變量字母不同而改變曲線(xiàn)的
18、形狀和位置．所以其值為0.
12．定積分xdx與dx的大小關(guān)系是( )
A．xdx＝dx B．xdx>dx
C．xdx0，若(2x－2)dx＝8，則t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
[答案] D
[解析] 作出函數(shù)f(x)＝2x－2的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵
19、(2t－2)dx＝8，且(2t－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故選D.
14．下列等式不成立的是( )
A．[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B．[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C．f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D．sinxdx＝－2πsinxdx＋∫sinxdx
[答案] C
[解析] 利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷，選項(xiàng)C不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝.
但x3dx≠xdx·x2dx.故選C.
二、填空題
15
20、．已知f(x)是一次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)(3,4)且f(x)dx＝1，則f(x)的解析式為_(kāi)______．
[答案] f(x)＝x＋
[解析] 設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)圖象過(guò)(3,4)點(diǎn)，∴3a＋b＝4.
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1.
解方程組得
∴f(x)＝x＋.
16．比較大小：exdx________xdx.
[答案] >
[解析] exdx－－2xdx＝ (ex－x)dx，
令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，則f ′(x)＝ex－1≤0，
∴f(x)在[－2,0]上為減函數(shù)，
又f(0)＝1>0，∴f(x
21、)>0，由定積分的幾何意義又知f(x)dx>0，則由定積分的性質(zhì)知，－2exdx>－2xdx.
17．利用定積分的幾何意義，計(jì)算：dx＝________.
[答案]?。?
[解析] 由定積分的幾何意義知，所求積分是圖中陰影部分的面積．
易知AB＝，∠AOB＝，
∴S＝×4π－×1×＝－.
三、解答題
18．已知函數(shù)f(x)＝求f(x)在區(qū)間[－2,2π]上的積分．
[解析] 由定積分的幾何意義知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
∫cosxdx＝0，由定積分的性質(zhì)得
f(x)dx＝－2x3dx＋2xdx＋∫cosxdx＝π2－4.
選修2-2 第一章
22、1.6
一、選擇題
1．(2013·華池一中高二期中)2xdx等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
[答案] D
[解析] 2xdx＝x2|＝3.
2．(2013·景德鎮(zhèn)市高二質(zhì)檢)若曲線(xiàn)y＝與直線(xiàn)x＝a、y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則正實(shí)數(shù)a為( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由題意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
3. dx＝( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] dx
＝
＝(x3－x－3)
＝－
23、＝.
故應(yīng)選A.
4．設(shè)f(x)＝則f(x)dx等于( )
A． B．
C． D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，
取F1(x)＝x3，F(xiàn)2(x)＝2x－x2，
則F ′1(x)＝x2，F(xiàn) ′2(x)＝2－x，
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝－0＋2×2－×22－＝.故應(yīng)選C.
5.|x2－4|dx＝( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝.
6．dθ的值為( )
A．－ B．－
24、
C． D．
[答案] D
[解析] ∵1－2sin2＝cosθ，
∴dθ＝cosθdθ
＝故應(yīng)選D.
二、填空題
7．計(jì)算定積分：
①x2dx＝________
②dx＝________
③|x2－1|dx＝________
④－|sinx|dx＝________
[答案]?、佟、凇、??、?
[解析] ①x2dx＝x3＝.
②dx＝＝.
③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
8.從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_(kāi)_______．
[答案]
[解析] 長(zhǎng)方形的面積為S1＝3
25、，S陰＝3x2dx＝x3＝1，則P＝＝.
9．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________.
[答案]?。?或
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(xiàn)(1)＝3，F(xiàn)(－1)＝－1，
∴－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
三、解答題
10．計(jì)算下列定積分：
(1)(4－2x)(4－x2)dx; (2)dx.
[解析] (1)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝
＝32－16－＋8＝.
(2)dx＝
26、dx
＝＝－3ln2.
一、選擇題
11．函數(shù)F(x)＝costdt的導(dǎo)數(shù)是( )
A．F′(x)＝cosx B．F′(x)＝sinx
C．F′(x)＝－cosx D．F′(x)＝－sinx
[答案] A
[解析] F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故應(yīng)選A.
12．由曲線(xiàn)y＝x2、y＝x3圍成的封閉圖形面積為( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由得交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
13．(2013·江西理，6)若S1＝x2dx
27、，S2＝dx，S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為( )
A．S12.7，∴S3>3>S1>S2.故選B.
二、填空題
14．(2014·紹興模擬) (x＋cosx)dx＝________.
[答案] 2
[解析] (x＋cosx)dx＝(x2＋sinx)－＝2.
三、解答題
15．已知f(x)＝cx2＋cx＋c(c≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求c、c、c的值．
[解析] ∵f(－1)＝2，∴c－c＋c＝2. ①
又∵f ′(x)＝2cx＋c，∴f ′(0)＝c＝0 ②
而f(x)dx＝(cx2＋cx＋c)dx，
取F(x)＝cx3＋cx2＋cx，
則F′(x)＝cx2＋cx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝c＋c＋c＝－2 ③
解①②③得c＝6，c＝0，c＝－4.
2015高中數(shù)學(xué) 1.5-1.6積分練習(xí) 新人教A版選修2-2
