“直接證明與間接證明”要點講解 一、要點透析 1．綜合法 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法. 用表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： 應(yīng)用綜合法時，應(yīng)從命題的前提出發(fā)，在選定了真實性是無可爭辯的出發(fā)點以后（它基于題設(shè)或已知的真命題），再依次由它得出一系列的命題（或判斷），其中每一個都是真實的（但它們并不一定都是所需求的）且最后一個必須包含我們要證明的命題的結(jié)論時，命題得證.并非一上來就能找到通達命題結(jié)論的思路，只是在證明的過程中對每步結(jié)論進行分析、推敲、比較、選擇后才能得到.當(dāng)然，在較多地積累一些經(jīng)驗，掌握一些證法之后，可較為順利地得到證明的思路. 2．分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法. 用表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為： 得到一個明顯成立的條件 應(yīng)用分析法時，并非一開始就確信由結(jié)論出發(fā)所產(chǎn)生的那些判斷（或命題）都正確，各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都合適.這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系，因而需要從這些關(guān)系中逐個考查，逐個思索，逐個分析，逐個判斷，在得到了所需的確定結(jié)論時（它們是已證的命題或已知的條件），才知道前面各步推理的適當(dāng)與否，從而找出證明的路子. 當(dāng)證題不知從何入手時，有時可運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目，往往更是行之有效. 3．綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件；綜合法的特點是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的必要條件.分析法與綜合法各有其特點，有些具體的特征命題，用分析法和綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種. 4．反證法 一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法. 反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程.用反證法證明命題“若則”的過程，可用下圖所示的框圖表示. 肯定條件 否定結(jié)論 導(dǎo)致邏 輯矛盾 “既又” 為假 “若則” 為真 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟： 第一步：分清命題“”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論相矛盾的假定； 第三步：由和出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：判斷產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真. 第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況. 二、范例點悟 例1 已知、、，求證：. 分析：不等式中的、、為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數(shù)的平均數(shù)定理，再據(jù)不等式性質(zhì)推導(dǎo)出證明的結(jié)論. 證明：∵，、、，∴， ∴，∴. 同理：， 將三式相加得. ∴ . ∴. 評注：在運用綜合法證明不等式時，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運用這些性質(zhì)時，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件. 例2 當(dāng)一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大. 分析：應(yīng)用分析法證題時，語氣總是假定的，通常用“欲證只需證”的語句，在證明過程中一個終結(jié)代替另一個終結(jié)時，必須注意它們間的等價性. 證明：設(shè)圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為，因此本題只需證明. 為了證明成立，只需證明， 兩邊同乘以正數(shù)得，因此，只需證明. 因為上式是成立的，所以. 這就證明了，如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么這個圓的面積比這個正方形的面積大. 評注：在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實.因此，從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個倒推過程可以省略. 例3 已知三個關(guān)于的方程，，中，至少有一個方程有實根，求實數(shù)的取值范圍. 分析：含有至多、至少字樣的問題，往往用反證法去解決. 解析：三個方程都沒有實根的充要條件是 即 解得. ∴使三個方程至少有一個方程有實根的實數(shù)的取值范圍為. 評注：反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若則為真”，該證“若則為假”，因此，反證法的核心是從出發(fā)導(dǎo)出矛盾.