3、b？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。
4．已知函數(shù)f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c為常數(shù))
（1）若f(x)在x∈(-∞,x1)及x∈（x2+∞）上單調(diào)遞增，且在x∈（x1,x2）上單調(diào)遞減，又滿足0x1,試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。
難點 3利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值
1．已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上奇函數(shù)，當x=-1時，f(x)取得極值2。
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于x1、x2∈[-1，1]，不等式|f(x1)-f(x2)
4、|≤m，求m的最小值。
2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1，0] ∪[0，1]上奇函數(shù)，當x∈[-1，0]時，f(x)=2ax+(a為實數(shù))
（1）當x∈（0，1）時，求f(x)的解析式；
（2）若a>-1，試判斷f(x)在[0，1]上的單調(diào)性；
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1）時，f(x)有最大值-6。
∵4x+2+1>0,∴x=.
又∵x∈(0, )時，h’(x)<0, x∈(,1)時，h’(x)>0.
∴x=時，h(x)有最小值h()=-
∴a<.
【易錯點點睛】
易錯點 1導數(shù)的概念與運算
1．設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’
5、1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,則f2005(x) ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
2．已知函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)為3，f（x）的解析式可能為 （ ）
A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1
C．f()=2(x-1)2 D．f(x)-x+3
=
=
【特別提醒】
1．理解導數(shù)的概念時應注意導數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導，則 的運用。
6、2．復合函數(shù)的求導，關(guān)鍵是搞清復合關(guān)系，求導應從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏
3．求導數(shù)時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導先化為和或差形式；多項式的積的求導，先展開再求導等等。
【變式訓練】
1 函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3時取得極值，則a= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)-
(1)求導數(shù)f’(x)
答案： f′(x)=
易錯點 2導數(shù)幾何意義的運用
1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直
7、線x=2所圍成的三角形面積為_________.
∴三條直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。
2．設(shè)t≠0,點P（t,0）是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。
（1）用t表示a、b、c；
（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。
【錯誤解答】 （1）∵函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴∴
解得 t≤-9或t≥3.
3.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。
（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小
8、值。
（2）過點A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。
【特別提醒】
設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導數(shù)為f’(x0)，則過此點的切線的斜率為f’(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。
【變式訓練】
1 曲線y=2x-x3在點（1，1）處的切線方程為_________.
（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像C1與函數(shù)g(x)圖像C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行。
4 已知函數(shù)f
9、(x)=|1-|,(x>0)
(1)證明：01;
易錯點 3導數(shù)的應用
1．已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f(x)在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。
【錯解分析】在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大（小）值點，而上面解答題直接用極大（?。┲堤娲畲螅ㄐ。?．已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。
4．設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。
（1）當m為何值
10、時，f(x)≥0;
(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數(shù)m>1時，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個實根。
【錯誤解答】 令f(x)≥0,x≥ln(x+m).
5．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？
【特別提醒】
1．證函數(shù)f(x)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要
11、注意若f(x)在（a、b）內(nèi)個別點上滿足f’(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。
2．函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，f’(x)=0是可導數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導）時可以是不必要條件。
3．函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值的比較，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a、b]上必有一個最大值和一最小
12、值，最多各有一個，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。
4．實際應用問題利用導數(shù)求f(x)在（a、b）的最大值時,f’(x)=0在（a,b）的解只有一個，由題意最值確實存在，就是f’(x)=0的解是最值點。
【變式訓練】
1 已知m∈R,設(shè)P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立。
Q：函數(shù)f(x)=x3+(m+)x+6在（-∞,+ ∞）上有極值。
求使P正確且Q正確的m的取值范圍。
因此，函數(shù)f'(x)在x①=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值．
綜上所述，當且僅當
13、A>0時，函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上有極值．
5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線，要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對充水生產(chǎn)線進行技術(shù)改造，假設(shè)增加值y萬元與技改把風入x萬元之間的關(guān)系滿足①y與（a-x）x2成正比例；
②當x=時，y=;③0≤≤t,其中t為常數(shù)且t∈[0,2].
(1)設(shè)y=f(x),求出f(x)的表達式，并求其定義域；
答案： f(x)=8a2x2—12x3=(0≤x≤，≤t≤2)．
（2）求出增加值y的最大值，并求出此時的技改投入x值。
解析：y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π,-)時，y′>0.
3
14、已知函數(shù)f(x)=在（1，+∞）上為減函數(shù)，則a的取值范圍為 （ ）
A．01ln恒成立，
∵x>
4 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分別是 （ ）
6 函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是 （ ）
A．相切 B．相交且過圓心
C．相交但不過圓心 D．相離
7．設(shè)集合A＝[0,1)，B＝[1
15、,2]，函數(shù)f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取值范圍是( )
A. B．(log32,1)
C. D.
8． 函數(shù)f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，有下列命題：
①f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；
②f(x)的最小值是2；
③f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
④f(x)沒有最大值．
其中正確命題的序號是________．(請?zhí)钌纤姓_命題的序號)
方法二：①當n＝0時，f(x)＝－1，x∈[0,1)，則log2x＝－1?x＝∈[0,1)；
10．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)
16、求a，b的值；
11．已知函數(shù)f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導函數(shù)，它們在同一坐標系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，則( )
A．h(1)
17、)＝e－x－ex切線斜率的最大值是2
C．已知函數(shù)f(a)＝sinxdx，則f＝1＋cos1
D．函數(shù)y＝3·2x＋1的圖象可以由函數(shù)y＝2x的圖象僅通過平移變換得到
13．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[－2,6]，則函數(shù)g(x)在[－12,12]上的值域為( )
A．[－2,6] B．[－20,34]
C．[－22,32] D．[－24,28]
14．由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B.
C. D．1
答案
18、：C
解析：直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為
cosxdx＝.
15．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(1,0)，(2,0)，如圖所示，則下列說法中不正確的是________．
①當x＝時，函數(shù)f(x)取得極小值；②f(x)有兩個極值點；③當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值；④當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極大值．
16. 函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.
答案：(0,)
解析：令f′(x)=lnx+1<0,得x∈(0, ).
17.曲線y=2-x2與y=x3-2
19、在交點處的切線夾角是__________.
答案： 解析：聯(lián)立
又∵（）′=-x,( )′=.
∴兩函數(shù)在x=2處導數(shù)分別為-2、3.
∴k1=-2,k2=3.tanθ=||=
可求得θ=.
18. 已知函數(shù)f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。
19.求函數(shù)f(x)=在[，3]上的最大值和最小值。
∴f(3)=
f()=-ln2-ln=-ln2-(ln3-ln2)
（2）當a取最大值時，存在t∈R，使x∈[1，m]（m>1）時，f’(t-x) ≤恒成立，試求m的最大值。
21.已知函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在[-∞，0]上
20、單調(diào)遞減，在[0，6]上單調(diào)遞增，且方程f(x)=0有3個實根：m、n、1。
（1）求f(4)的取值范圍。
∵AB=9，AC=3，BC=由A到C所需要時間為t，
23. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導，導函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f’(x)>0，設(shè)x0∈（0，+∞），y=kx+m是y=f(x)在點[x0,f(x0)]得的切線方程，并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m;
（1）用x0、f(x0)、f’(x0)表示m;
（3）若關(guān)于x的不等式a2+1≥ax+b≥在[0，+∞]上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求x的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。
答案：0≤b≤01 a>0是不等式成立的必要條件肥下討論設(shè)此條件成立.
X2+1≥ax+b,即x2-ax+1(1-b)。
令（x）=ax+b-,于是ax+b≥對任意x∈[0，+∞]成立的充要條件是（x）≥0,
2013年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題15 導數(shù)及其應用
