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1、2015高中數(shù)學 2.2直接證明與間接證明練習 新人教A版選修2-2
一、選擇題
1．(2013·陜西理，7)設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
[答案] B
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
2．(2013·浙江理，3)已知x、y為正實數(shù)，則( )
A．2
2、lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
[答案] D
[解析] 2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.
3．設a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有( )
A．1≤ab≤ B．a(chǎn)b<1<
C．a(chǎn)b<<1 D．<1
3、b－c＝(1＋x)－＝＝－＜0，所以b2x>0，所以b＝1＋x>＝a，所以ax>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<x>0，且x＋y＝1，∴設y＝，x＝，則＝，2xy＝.所以有x<2xy<
4、
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ≥≥，又函數(shù)f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f()≤f()≤f()．
二、填空題
7．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m與n的大小關系為________．
[答案] m>n
[解析] 因為(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
8．設a＝，b＝－，c＝－，則a、b、c的大小關系為________．
[答案] a>c>b
[解析] b＝，c＝，顯然bc.
也可用a－c＝2－＝－>0顯然成立，即a>c
5、.
9．如果a＋b>a＋b，則實數(shù)a、b應滿足的條件是________．
[答案] a≠b且a≥0，b≥0
[解析] a＋b>a＋b?a＋b－a－b>0?a(－)＋b(－)>0?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
三、解答題
10．(2013·華池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求證：>－.
[證明] 要證>－，
即證1>n－，
只需證>n－1，
∵n≥2，∴只需證n(n－1)>(n－1)2，
只需證n>n－1，只需證0>－1，
最后一個不等式顯然成立，故原結論成立．
一、選擇題
11．(2013·大慶實驗中學
6、高二期中)設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f ′(x)，對任意x∈R都有f ′(x)>f(x)成立，則( )
A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)
C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)與2f(ln3)的大小不確定
[答案] B
[解析] 令F(x)＝(x>0)，則F′(x)＝，∵x>0，∴l(xiāng)nx∈R，∵對任意x∈R都有f ′(x)>f(x)，∴f′(lnx)>f(lnx)，∴F′(x)>0，∴F(x)為增函數(shù)，∵3>2>0，∴F(3)>f(2)，即>，∴3f(ln2)<2f(ln3)．
12．要使－<成立，a、b應滿足的條件是( )
7、A．a(chǎn)b<0且a>b B．a(chǎn)b>0且a>b
C．a(chǎn)b<0且a0且a>b或ab<0且a0時，有<，即b，即b>a.
13．(2014·哈六中期中)若兩個正實數(shù)x、y滿足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等號在y＝4x，即x＝2，
8、y＝8時成立，∴x＋的最小值為4，要使不等式m2－3m>x＋有解，應有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故選B.
14．(2014·廣東梅縣東山中學期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且對任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；給出下列三個結論：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正確的結論個數(shù)是( )個．
( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] A
[解析] ∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，
9、n)組成首項為f(m,1)，公差為2的等差數(shù)列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)構成首項為f(1,1)，公比為2的等比數(shù)列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正確，故選A.
二、填空題
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
則cos(α－β)＝________.
[答案]?。?
[解
10、析] 由題意sinα＋sinβ＝－sinγ ①
cosα＋cosβ＝－cosγ ②
①，②兩邊同時平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos(α－β)＝－1，
cos(α－β)＝－.
三、解答題
16．已知a、b、c表示△ABC的三邊長，m＞0，
求證：＋＞.
[證明] 要證明＋＞，
只需證明＋－＞0即可．
∵＋－＝
，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－a
11、bc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2
＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，
∵△ABC中任意兩邊之和大于第三邊，
∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，
∴＋＞.
17．求證：－2cos(α＋β)＝.
[證明] 要證明原等式成立．
即證明sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sinβ，
又因為sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)＋α]－2sinαcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2sinαcos(α＋β)
12、
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
所以原命題成立．
選修2-2 第二章 2.2
一、選擇題
1．(2014·微山一中高二期中)用反證法證明命題“如果a>b>0，那么a2>b2”時，假設的內(nèi)容應是( )
A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2
13、為，故三個數(shù)中至少有一個大于或等于.假設a、b、c都小于，則a＋b＋c<1，與已知矛盾．
3．(2013·浙江余姚中學高二期中)用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設中正確的是( )
A．假設a、b、c都是偶數(shù)
B．假設a、b、c都不是偶數(shù)
C．假設a、b、c至多有一個偶數(shù)
D．假設a、b、c至多有兩個是偶數(shù)
[答案] B
[解析] “至少有一個”的對立面是“一個都沒有”．
4．實數(shù)a、b、c不全為0等價于( )
A．a(chǎn)、b、c均不為0 B．a(chǎn)、b、c中至多有一個為0
C．a(chǎn)、b、c
14、中至少有一個為0 D．a(chǎn)、b、c中至少有一個不為0
[答案] D
[解析] “不全為0”的含義是至少有一個不為0，其否定應為“全為0”．
[點評] 要與“a、b、c全不為0”加以區(qū)別，“a、b、c全不為0”是指a、b、c中沒有一個為0，其否定應為“a、b、c中至少有一個為0”．
5．(2013·大慶實驗中學高二期中)設a、b、c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c＋( )
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一個不大于－2 D．至少有一個不小于－2
[答案] C
[解析] 假設都大于－2，則a＋＋b＋＋c＋>－6，
但(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝(a＋)＋(b＋
15、)＋(c＋)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
6．若m、n∈N*，則“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] D
[解析] am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0?或，不難看出a>b?/ am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman?/ a>b.
二、填空題
7．“x＝0且y＝0”的否定形式為________．
[答案] x≠0或y≠0
[解
16、析] “p且q”的否定形式為“?p或?q”．
8．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關系是________．
[答案] 異面
[解析] 假設AC與BD共面于平面 α，則A，C，B，D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB，CD異面相矛盾，故AC與BD異面．
9．在空間中有下列命題：①空間四點中有三點共線，則這四點必共面；②空間四點，其中任何三點不共線，則這四點不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是________________．
[答案]?、?
[解析] 四點中若有三點共線，則這條直線與另外一點必在同一
17、平面內(nèi)，故①真；四點中任何三點不共線，這四點也可以共面，如正方形的四個頂點，故②假；正方體交于同一頂點的三條棱所在直線中，一條與另兩條都垂直，故③假；空間四邊形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起構成空間四邊形，這時它的兩組對邊仍保持相等，故④假．
三、解答題
10．(2013·泰州二中高二期中)已知n≥0，試用分析法證明：－<－.
[證明] 要證上式成立，需證＋<2，
需證(＋)2<(2)2，
需證n2＋2n，
需證n2＋2n＋1>n2＋2n，
只需證1>0，
因為1>0顯然成立，所以原命題成立．
18、
一、選擇題
11．設a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時大于零的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
[答案] C
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因為當PQR>0時，若P、Q、R不同時大于零，則P、Q、R中必有兩個負數(shù)，一個正數(shù)，不妨設P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.
12．若x、y>0且x＋y>2
19、，則和的值滿足( )
A．和中至少有一個小于2
B．和都小于2
C．和都大于2
D．不確定
[答案] A
[解析] 假設≥2和≥2同時成立．
因為x>0，y>0，
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
兩式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，這與x＋y>2相矛盾，
因此和中至少有一個小于2.
13．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為( )
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
[答案] C
[解析] 假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能
20、是平行直線．故應選C.
二、填空題
14．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一個三角形中不能有兩個直角；
③假設∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.
正確順序的序號排列為________．
[答案]?、邰佗?
[解析] 由反證法證明的步驟知，先反設即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.
三、解答題
15．求證：1、、2不能為同一等差數(shù)列的三項．
[證明] 假設
21、1、、2是某一等差數(shù)列的三項，設這一等差數(shù)列的公差為d，
則1＝－md,2＝＋nd，其中m，n為兩個正整數(shù)，
由上面兩式消去d，得n＋2m＝(n＋m)．
因為n＋2m為有理數(shù)，而(n＋m)為無理數(shù)，
所以n＋2m≠(n＋m)，矛盾，因此假設不成立，
即1，，2不能為同一等差數(shù)列的三項．
16.如圖所示，在△ABC中，AB>AC，AD為BC邊上的高，AM是BC邊上的中線，求證：點M不在線段CD上．
[證明] 假設點M在線段CD上，則BD
22、2AC矛盾，故假設錯誤．所以點M不在線段CD上．
17．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.
(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．
[解析] (1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.
∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(a)≥f(－b)．
同理，a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．
兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.
下面用反證法證之．
假設a＋b<0，那么：
?f(a)＋f(b)
2015高中數(shù)學 2.2直接證明與間接證明練習 新人教A版選修2-2
