《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究6 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究6 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 理(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、"2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究6 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 理 "
主要題型:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與證明等問題;(3)以函數(shù)為載體的建模問題.
【例9】? (2011·江西)設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.
[審題路線圖]
函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),對稱軸為x=,要使f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,必需滿足f′>0;
令f′(x) =0得x1,x2
2、,確定x1,x2所在的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性求f(x)的最值.
[規(guī)范解答](1)由f′(x)=-x2+x+2a
=-2++2a,(2分)
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)的最大值為f′=+2a.
令+2a>0,得a>-.(5分)
所以,當(dāng)a>-時(shí),f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間.(6分)
即f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間時(shí),a的取值范圍為.
(2)令f′(x)=0,得兩根x1=,
x2=.
所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增.(8分)
當(dāng)0<a<2時(shí),有x1<1<x2<4,
所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x2),
又f(4)-f
3、(1)=-+6a<0,即f(4)<f(1).(10分)
所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8a-=-.
得a=1,x2=2,從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)=.
(12分)
搶分秘訣,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值是歷年必考內(nèi)容,尤其是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題成為高考命題的熱點(diǎn),近幾年新課標(biāo)高考卷中發(fā)現(xiàn):若該內(nèi)容的題目放在試卷壓軸題的位置上,試題難度較大;若放在試卷前幾題的位置上,難度不大.
【例10】? (2012·湖南)已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取
4、定兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.
[審題路線圖]
(1)將f(x)≥1恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值f(x)min≥1.
?利用導(dǎo)數(shù)f(x)的最小值的表達(dá)式.
?即f(x)min=f(ln a)=a-aln a.
?構(gòu)造g(t)=t-tln t(t>0).
?再利用導(dǎo)數(shù)判斷g(t)的單調(diào)性.
?可得當(dāng)t=1時(shí),g(t)max=g(1)=1,即可得a值.
(2)首先利用斜率公式表示斜率k,
?構(gòu)造函數(shù)φ(x)=f′(x)-k.
?利用導(dǎo)數(shù)判斷φ(x)在(x1,x2)
5、端點(diǎn)的函數(shù)值φ(x1)、φ(x2)一正一負(fù).
根據(jù)零點(diǎn)判定定理知存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,即f′(x0)=k成立.
[規(guī)范解答] (1)f′(x)=ex-a,令f′(x)=0得x=ln a.
當(dāng)x<ln a時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln a時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=ln a時(shí),f(x)取最小值f(ln a)=a-aln a.
于是對一切x∈R,f(x)≥1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)a-aln a≥1.①
令g(t)=t-tln t,則g′(t)=-ln t.
當(dāng)0<t<1時(shí),g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t>1時(shí),g′(t)<0,
6、g(t)單調(diào)遞減.
故當(dāng)t=1時(shí),g(t)取最大值g(1)=1.因此,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),①式成立.
綜上所述,a的取值集合為{1}.(5分)
(2)由題意知,k==-a,
令φ(x)=f′(x)-k=ex-,則
φ(x1)=-[ex2-x1-(x2-x1)-1],
φ(x2)=[ex1-x2-(x1-x2)-1].
令F(t)=et-t-1,則F′(t)=et-1.
當(dāng)t<0時(shí),F(xiàn)′(t)<0,F(xiàn)(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>0時(shí),F(xiàn)′(t)>0,F(xiàn)(t)單調(diào)遞增.(9分)
故當(dāng)t≠0時(shí),F(xiàn)(t)>F(0)=0,即et-t-1>0.
從而ex2-x1-(x2-x1)-1>0,ex1
7、-x2-(x1-x2)-1>0.
又>0,>0,
所以φ(x1)<0,φ(x2)>0.
因?yàn)楹瘮?shù)y=φ(x)在區(qū)間[x1,x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,即f′(x0)=k成立.(12分)
搶分秘訣
1.過程書寫要干凈利落,條理分明,突出解法的邏輯關(guān)系.
2.要用數(shù)學(xué)語言,尤其借助于符號(hào)語言來進(jìn)行說明可省去大篇的文字.
3.在說明函數(shù)的單調(diào)性與極值時(shí),要習(xí)慣于用表格來說明,表格中容納了大量的無需再表述的信息,使問題的解決清晰明了,并且與占有一定的分?jǐn)?shù),倘若用其他方式說明就不到位.
4.本題為試卷的壓軸題,對不少考生來說,難度也
8、較大,可能會(huì)放棄,但是還要把能得到的分拿下來,比如求f′(x)以及函數(shù)定義域等思維含量較低的知識(shí),在閱卷中這都可得到2~3分.
[押題7] 已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論a=1時(shí),f(x)的單調(diào)性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
(1)解 由題知當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=1-=,
因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí),f ′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)1<x<e時(shí),f ′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.
9、
所以f(x)的極小值為f(1)=1.
(2)證明 因?yàn)閒(x)的極小值為1,即f(x)在(0,e]上的最小值為1.
令h(x)=g(x)+=+,h′(x)=,
當(dāng)0<x<e時(shí),h′(x)>0,h(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,
所以h(x)max=h(e)=+<+=1=f(x)min,
所以在(1)的條件下,f(x)>g(x)+.
(3)解 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3,f ′(x)=a-=.
①當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤∈(0,e],所以f ′(x)<0,
而f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,
所以f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=(舍去),
此時(shí)無滿足條件的a;
②當(dāng)0<<e時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f=1+ln a=3,a=e2,滿足條件;
③當(dāng)≥e時(shí),因?yàn)閤∈(0,e],所以f ′(x)<0,
所以f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=(舍去),
此時(shí)無滿足條件的a.
綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)有最小值3.