《2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì)(含解析)(23頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、概率與統(tǒng)計(jì)
1. (2012·遼寧高考卷·T5·5分) 一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為
(A)3×3! (B) 3×(3!)3 (C)(3!)4 (D) 9!
【答案】C
【解析】此排列可分兩步進(jìn)行,先把三個(gè)家庭分別排列,每個(gè)家庭有種排法,三個(gè)家庭共有種排法;再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有種排法。因此不同的坐法種數(shù)為,答案為C
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理,以及分析問題、解決問題的能力,屬于中檔題。
2. (2012·遼寧高考卷·T10·5分)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長分別等于線
2、段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】設(shè)線段AC的長為cm,則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2,
由,解得。又,所以該矩形面積小于32cm2的概率為,故選C
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算,以及分析問題的能力,屬于中檔題。
3.(2012·上海高考卷·T17·5分)設(shè),,隨機(jī)變量取值的概率均為,隨機(jī)變量取值的概率也均為,若記分別為的方差,則( )
A. B.
3、
C. D.與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)
【答案】 A
【解析】 由隨機(jī)變量的取值情況,它們的平均數(shù)分別為:,
且隨機(jī)變量的概率都為,所以有>. 故選擇A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提和基礎(chǔ),本題屬于中檔題.
4.(2012·湖北高考卷·T8·5分)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 ( ?。?
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如下圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,半圓與半圓的交點(diǎn)分別為,則四邊形是
4、正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為,記兩塊白色區(qū)域的面積分別為,兩塊陰影部分的面積分別為.
則, ①
而,即, ②
由①-②,得.
又由圖象觀察可知,
.
故由幾何概型概率公式可得,此點(diǎn)取自陰影部分的概率
.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積,即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.來年需注意幾何概型在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
5.(2011年湖北).如圖,用K、、三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)
5、正常工作且、至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知K、、正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
B
6. (2011年湖北).在30瓶飲料中,有3瓶已過了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到一瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為 。(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
7. (2011年湖北).給個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)時(shí),在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示:
由此推斷,當(dāng)時(shí),黑色正方形互不相鄰的著色方案共有
6、 種,至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有 種,(結(jié)果用數(shù)值表示)
答案:21,43
8. (2011年湖南).通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
男
女
總計(jì)
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計(jì)
60
50
110
由算得,.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
參照附表,得到的正確結(jié)論是
A.再犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.再犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提
7、下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
答案:C
9. (2011年江蘇).從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為______
答案:
10.(2011年安徽)
工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù),每次只派一個(gè)人進(jìn)去,且每個(gè)人只派一次,工作時(shí)間不超過10分鐘,如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出,再派下一個(gè)人?,F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派,他們各自能完成任務(wù)的概率分別,假設(shè)互不相等,且假定各人能否完成任務(wù)的事件相
8、互獨(dú)立.
(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的順序派人,求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序,任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化?
(Ⅱ)若按某指定順序派人,這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為,其中是的一個(gè)排列,求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值(數(shù)字期望);
(Ⅲ)假定,試分析以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小。
分析:本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知識(shí),考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理,分類讀者論論思想,應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).
解:(I)無論以怎樣的順序派出
9、人員,任務(wù)不能被完成的概率都是
,所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無關(guān),
并等于
(II)當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí),隨機(jī)變量X的分布
列為
X
1
2
3
P
所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)EX是
(III)(方法一)由(II)的結(jié)論知,當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí),
根據(jù)常理,優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人,可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.
下面證明:對(duì)于的任意排列,都有
……………………(*)
事實(shí)上,
即(*)成立.
(方法二)(i)可將(II)中所求
10、的EX改寫為若交換前兩人的派出順序,則變?yōu)?由此可見,當(dāng)時(shí),交換前兩人的派出順序可減小均值.
(ii)也可將(II)中所求的EX改寫為,或交換后兩人的派出順序,則變?yōu)?由此可見,若保持第一個(gè)派出的人選不變,當(dāng)時(shí),交換后兩人的派出順序也可減小均值.
序