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1、考點(diǎn)42 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.（2011·山東高考理科·Ｔ8）已知雙曲線（a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為 （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】先求出圓C的圓心坐標(biāo)（3,0），半徑r=2，再求出漸近線方程，由圓心到漸近線的距離等于半徑即可得到a,b的關(guān)系，再由雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心知c=2，即可求出結(jié)果. 【精講精析】選A.雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0，圓心為（3,0），半徑r=2.由圓心到直線的距離為所以4a2=5b2又因?yàn)?/p>

2、雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4. 2．（2011·福建卷理科·Ｔ7）設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線上存在點(diǎn)P滿足=4:3:2，則曲線的離心率等于( ) （A） （B）或2 （C）2 （D） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)=4:3:2，設(shè)出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率. 【精講精析】 選A. =4:3:2， 其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，，若圓錐曲線為雙曲線，則 3. （2011·福建卷文科·Ｔ11）設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1， F2

3、，若曲線上存在點(diǎn)P滿足：：= 4:3:2，則曲線的離心率等于（ ） （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)=4:3:2，設(shè)出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率. 【精講精析】選A. =4:3:2， 其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，，若圓錐曲線為雙曲線，則 二、填空題 4.（2011·山東高考文科·Ｔ15）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 . 【思路點(diǎn)撥】先求橢圓

4、焦點(diǎn)，即雙曲線的焦點(diǎn)，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫(xiě)出雙曲線的方程. 【精講精析】由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為（-，0）、（，0），即c=，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為 5.（2011·北京高考理科·T14）曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于. 其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是 . 【思路點(diǎn)撥】寫(xiě)出曲線C的方程，再逐個(gè)驗(yàn)證三個(gè)結(jié)論. 【精講精析】②③.設(shè)P(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，則

5、由得， C:把（0，0）代入方程可得，與矛盾，故①不正確； 當(dāng)M(x,y)在曲線C上時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，也滿足方程，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；，故③正確. 6．（2011·安徽高考理科·Ｔ21）若，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q與x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出Ｐ點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)Ｑ，Ｂ等中間量建立方程，消去中間量，的點(diǎn)Ｐ的軌跡方程． 【精講精析】解：由知Q,M,P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P(x,y),Q(x,),M(x,x),則即

6、 ① 再設(shè)由，即解得 ② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點(diǎn)B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為. 7. （2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y = -3上，M點(diǎn)滿足， ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值. 【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)，求

7、點(diǎn)的軌跡，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用條件得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，得到滿足的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理即得的方程； 第（2）問(wèn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，表示出的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到距離的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求出最值即可. 【精講精析】(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2). 再由題意可知（+）??=0, 即（-x,-4-2y）??(x,-2)=0. 所以曲線C的方程式為y=x-2. (Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x -2上一點(diǎn)，因?yàn)閥=x,所以的斜率為

8、x 因此直線的方程為，即. 則O點(diǎn)到的距離.又，所以 當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為2. 8.（2011·山東高考理科·Ｔ22）（本小題滿分14分） 已知直線l與橢圓C: 交于P（x1,y1），Q(x2,y2)兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值 （Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考察學(xué)生的計(jì)算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學(xué)生的題目.

9、（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論.（2）利用第一問(wèn)的結(jié)論，再應(yīng)用基本不等式容易得出結(jié)論.（3）利用反證法，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，經(jīng)推理得出矛盾，從而證明原結(jié)論成立. 【精講精析】（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，由在橢圓上，則，而，則.于是，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得，即，由得，，化簡(jiǎn)得 ， 則，滿足 ， ， 綜上可知，. （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上可知的最大值為. （Ⅲ）假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)，使得， 由（Ⅰ）知， . 解得,， 因此只能從中選

10、取，只能從中選取， 因此只能從中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個(gè)過(guò)原點(diǎn)，這與相矛盾， 故橢圓上不存在三點(diǎn)，使得. 9.（2011·山東高考文科·Ｔ22）（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn). （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求證：直線過(guò)定點(diǎn)； （ii）試問(wèn)點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考察學(xué)生的計(jì)算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學(xué)生的題目.（I）設(shè)直線

11、，聯(lián)立方程，在由韋達(dá)定理得出中點(diǎn)E的坐標(biāo)，由3點(diǎn)共線，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的關(guān)系，再由交點(diǎn)直線系方程得出l過(guò)定點(diǎn). （ii）可先假設(shè)對(duì)稱，然后通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證這樣的圓是否存在. 【精講精析】（Ⅰ）由題意:設(shè)直線, 由消y得:, 設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即,, 所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為, 因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上， 所以，即， 解得， 所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 即的最小值為2. （Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為, 所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為, 又因?yàn)?,且?，所以, 又由（Ⅰ）

12、知: ,所以解得,所以直線的方程為, 即有, 令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān), 所以直線過(guò)定點(diǎn)(-1,0). （ii）假設(shè)點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱,則有的外接圓的圓心在x軸上, 又在線段AB的中垂線上, 由（i）知點(diǎn)G,所以點(diǎn)B, 又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(-1,0),所以直線的斜率為， 又因?yàn)?，所以解得或? 又因?yàn)?所以舍去,即， 此時(shí)k=1，m=1，E（），. AB的中垂線為2x+2y+1=0， 圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓的方程為. 綜上所述, 點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱,此時(shí)的外接圓的方程為: . 10.（2011·遼寧高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸

13、左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D． （I）設(shè)，求與的比值； （II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】（I）先利用離心率相同設(shè)出的方程和直線的方程，再求出的坐標(biāo)，然后計(jì)算與的長(zhǎng)度就可求出比值；（II）先考慮直線過(guò)原點(diǎn)的情況，再考慮直線不過(guò)原點(diǎn)的情況，此時(shí)利用斜率相等（即＝）建立等式關(guān)系，再考慮的因素，可得到關(guān)于的不等式，求解說(shuō)明即可． 【精講精析】(Ⅰ)因?yàn)榈碾x心率相同，故依題意可設(shè) ：，：，（， 設(shè)直線：

14、，分別與，的方程聯(lián)立，求得 ……4分 當(dāng)時(shí)，，分別用表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 :=. ……6分 （Ⅱ）時(shí)的不符合題意．時(shí)，∥當(dāng)且僅當(dāng)?shù)男甭? 與的斜率相等，即， 解得 ， 因?yàn)?，又，所以，解得? 所以當(dāng)時(shí)，不存在直線，使得∥；當(dāng)時(shí)，存在直線， 使得∥. ……12分 11．（2011·湖南高考理科·T21）（13分） 如圖7，橢圓x軸被曲線：-b截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng). （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設(shè)與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

15、的直線l與相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與相交于點(diǎn)D，E. （i）證明：MD； （ii）記的面積分別為.問(wèn)：是否存在直線l，使得 ？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】本題以橢圓和拋物線為載體，考查兩曲線的基本知識(shí).題中通過(guò)求曲線的方程考查兩曲線的基本知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系.第二問(wèn)通過(guò)證明的考查考查邏輯思維能力和探索參數(shù)的存在考查方程.解決本題需要較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和方程思想. 【精講精析】（I）由題意知，從而，又，解得。 故，的方程分別為。 （II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為. 由得， 設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。

16、 又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以 故，即。 （ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 又直線的斜率為 ，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 于是 由得， 解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為； 又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo) 于是 因此 由題意知，解得 或。 又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，，所以 故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。 12．（2011·湖南高考文科T21）（本小題滿分13分）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1. （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，與軌跡C相交

17、于點(diǎn)D，E，求的最小值. 【思路點(diǎn)撥】本題考查求曲線的方程，考查利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基本方法，考查數(shù)形結(jié)合思想.考查運(yùn)算能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 【精講精析】 （I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為 化簡(jiǎn)得 當(dāng)、 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為 （II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為． 由，得 設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 ． 因?yàn)?，所以的斜率為? 設(shè)則同理可得 故 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16． 13．（2011·陜西高考理科·T17）（本小題滿分12分） 如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在軸上投影， M為PD上一點(diǎn)，且．

18、 （Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度． 【思路點(diǎn)撥】（1）動(dòng)點(diǎn)M通過(guò)點(diǎn)P與已知圓相聯(lián)系，所以把點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算． 【精講精析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，P的坐標(biāo)是， 因?yàn)辄c(diǎn)D是P在軸上投影， M為PD上一點(diǎn)，且，所以，且， ∵P在圓上，∴，整理得， 即C的方程是． （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程是， 設(shè)此直線與C的交點(diǎn)為，， 將直線方程代入C的方程得： ，化簡(jiǎn)得，∴，， 所以線段AB的長(zhǎng)度是 ，即所截線段的長(zhǎng)度是．