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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用

上傳人:lisu****2020 文檔編號:147632384 上傳時間:2022-09-02 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?99.50KB
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1、考點(diǎn)9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、選擇題 1.(2012·湖北高考理科·T9)函數(shù)f(x)=xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為 A.4 B.5 C.6 D.7 【解題指南】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義,轉(zhuǎn)化成求方程根的個數(shù)問題。 本題考查基本不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵把條件的左邊通分利用基本不等式證明. 【解析】選C.由函數(shù)f(x)=xcosx2=0在區(qū)間[0,4]上的解有 ,共6個零點(diǎn)。 2.(2012·湖北高考文科·T3)函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個數(shù)為( ) A.2

2、 B.3 C.4 D.5 【解題指南】解答本題可先求導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化成求方程根的個數(shù)問題,最后再利用方程與函數(shù)的思想求解. 【解析】選D. f(x)=xcos2x是由y'=x與y″=cos2x,相乘構(gòu)成的函數(shù),當(dāng)x=0時,y'=0,此時f(x)=0,y″=1當(dāng)0

3、的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題,再轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)。 【解析】選B.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個數(shù),是方程的解的個數(shù),是方程的解的個數(shù),也就是函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)。在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象,可得交點(diǎn)個數(shù)為1個。 4.(2012·天津高考理科·T4)函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解題指南】先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再確定零點(diǎn)。 【解析】選B。因?yàn)椋?,所以函數(shù)在(0,1)上遞增,且所以有1個零點(diǎn)。 二、填空題 5.(2012·福建高考理科·T15)對于實(shí)數(shù)和,定義運(yùn)算“﹡”:,設(shè),且關(guān)于

4、的方程為,恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是_______. 【解題指南】根據(jù)新定義,得到一個分段的二次函數(shù)式,通過圖角找出三個實(shí)根的具體位置,同時結(jié)合運(yùn)用根與二次方程系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解 【解析】當(dāng)x≤0時,(2x-1)≤x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x, 當(dāng)x>0時,2x-1>x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x. 畫圖, 可知當(dāng)m∈時,f(x)=m(m∈R)恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3(x1

5、程-x2+x-m=0的根, x1是方程2x2-x-m=0的一個根, 則,, 所以 顯然,該式隨m的增大而減小,因此, 當(dāng)m=0時,;當(dāng)時, . 【答案】. 三、解答題 6.(2012·上海高考理科·T21)海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn),以正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度),則救援船恰好在失事船正南方向12海里處,如圖.現(xiàn)假設(shè):①失事船的移動路徑可視為拋物線;②定位后救援船即刻沿 直線勻速前往救援;③救援船出發(fā)小時后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為. (1)當(dāng)時,寫出失事船所在位置的縱坐標(biāo).若此時兩船恰好會合,求救援船速度的大小和

6、方向; (2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船? 【解題指南】本題考察圓錐曲線中的拋物線知識,以及不等式中的均值不等式知識,更考察考生的識圖能力。 【解析】(1)時,P的橫坐標(biāo)xP=,代入拋物線方程中,得P的縱坐標(biāo)yP=3.由|AP|=,得救援船速度的大小為海里/時.由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度. (2)設(shè)救援船的時速為海里,經(jīng)過小時追上失事船,此時位置為.由,整理得.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)=1時等號成立,所以,即.因此,救援船的時速至少是25海里

7、才能追上失事船. 7.(2012·湖南高考理科·T20)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件)。已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù))。 (Ⅰ)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間; (Ⅱ)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。 【解題指南】本題為函數(shù)的應(yīng)用題,考

8、查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等,考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識分析解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型;第二問利用單調(diào)性與最值來解決,體現(xiàn)分類討論思想. 【解析】(Ⅰ)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間(單位:天)分別為由題設(shè)有 其中均為1到200之間的正整數(shù). (Ⅱ)完成訂單任務(wù)的時間為其定義域?yàn)? 易知,為減函數(shù),為增函數(shù).注意到 于是 (1)當(dāng)k=2時, 此時 , 由函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時取得最小值,解得 .由于. 故當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短,且最短時間為. (2)當(dāng)k>2時,由于為正整數(shù),故,此時 ,記易知為增函數(shù),則. 由函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時取得最小值,解得.由于 此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于. (3)當(dāng)k<2時,由于為正整數(shù),故,此時由函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時取得最小值,解得.類似(1)的討論.此時完成訂單任務(wù)的最短時間為,大于.綜上所述,當(dāng)k=2時完成訂單任務(wù)的時間最短,此時生產(chǎn)A,B,C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.

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