《(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第9課時 導(dǎo)數(shù)的概念及運算課時闖關(guān)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第9課時 導(dǎo)數(shù)的概念及運算課時闖關(guān)(含解析)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第9課時 導(dǎo)數(shù)的概念及運算 課時闖關(guān)(含解析)
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.一質(zhì)點沿直線運動,如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s=t3-t2+2t,那么速率為零的時刻是________.
解析:s′=t2-3t+2,令s′=0,則t=1或t=2.
答案:1秒末和2秒末
2.函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于________.
解析:y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1.
∴y′=3x2+2x-1,∴y′|x=1=3+2-1=4.
答案:4
3.曲線y=xex+2x
2、+1在點(0,1)處的切線方程為________.
解析:y′=ex+x·ex+2,y′|x=0=3,
∴切線方程為y-1=3(x-0),
∴y=3x+1,即3x-y+1=0.
答案:3x-y+1=0
4.曲線y=x3+x在點(1,)處的切線和坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為________.
解析:f′(x)=x2+1,故k切=f′(1)=2,
∴切線方程為y-=2(x-1),
即y=2x-,切線和x軸、y軸交點為(,0),(0,-).
故所求面積為S=××=.
答案:
5.若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0,則點P的坐標(biāo)為________.
解析:
3、∵f′(x)=4x3-1,由題意4x3-1=3,
∴x=1,故切點P(1,0).
答案:(1,0)
6.已知函數(shù)f(x)的圖象在M(1,f(1))處的切線方程為y=x+2,則f(1)+f′(1)=________.
解析:∵f(1)=,f′(1)=,∴f(1)+f′(1)=3.
答案:3
7.已知曲線f(x)=xlnx的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標(biāo)為________.
解析:f′(x)=lnx+1,∴l(xiāng)nx+1=2.∴x=e.
答案:e
8.若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析:f′(x)=2ax+,∵f(x
4、)存在垂直于y軸的切線,
∴f′(x)=0有解,即2ax+=0有解,∴a=-,
∴a∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
二、解答題
9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=x(x2++);(2)y=(+1)(-1);
(3)y=xtan x;(4)y=x-sincos;
(5)y=3lnx+ax(a>0,且a≠1).
解:(1)∵y=x(x2++)=x3+1+,∴y′=3x2-.
(2)∵y=·-+-1=-x+x-,
∴y′=(-x+x-)′=-x--x-=-(1+).
(3)y′=(xtan x)′=()′
=
=
=.
(4)y′=(x-sincos)′=(x-
5、sin x)′=1-cos x.
(5)y′=(3ln x+ax)′=+axln a.
10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2lnx(a∈R),設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為l,若l與圓C:x2+y2=相切,求a的值及切線l的方程.
解:依題意有f(1)=a,
f′(x)=2ax+,∴f′(1)=2a+2.
∴直線l的方程為y-a=(2a+2)(x-1),
即(2a+2)x-y-a-2=0.*
∵l與圓C相切,∴=,解得a=-.
把a=-代入*并整理得切線l的方程為6x+8y+5=0.
[B級 能力提升]
一、填空題
1.(2012·蘇北四市質(zhì)檢)
已
6、知函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則曲線y=f(x)在點P處的切線方程是________.
解析:由圖可知,f′(2)=1,所以切線方程為y=x-2,即x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
2.已知f(x)=f′()cosx+sinx,則f()的值為________.
解析:因為f′(x)=-f′()sinx+cosx,所以f′()=-f′()·sin()+cos?f′()=-1,
故f()=f′()cos+sin?f()=1.
答案:1
3.(2010·高考遼寧卷改編)已知點P在曲線y=上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是_______
7、_.
解析:y′=-=-.
設(shè)t=ex∈(0,+∞),
則y′=-=-,
∵t+≥2,∴y′∈[-1,0),α∈[,π).
答案:[,π)
4.(2010·高考江蘇卷)函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(ak,a)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為ak+1,其中k∈N*.若a1=16,則a1+a3+a5的值是________.
解析:∵y′=2x,∴在點(ak,a)處的切線方程為
y-a=2ak(x-ak),
又該切線與x軸的交點為(ak+1,0),
所以ak+1=ak,
即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列,首項a1=16,其公比q=,
∴a3=4,a5=1,
∴a1+a3+a5=2
8、1.
答案:21
二、解答題
5.已知函數(shù)f(x)=x3-x.
(1)求曲線y=f(x)在點M(t,f(t))處的切線方程;
(2)設(shè)a>0,如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,證明:-a
9、有三個相異的實數(shù)根,
記g(t)=2t3-3at2+a+b,則g′(t)=6t2-6at=6t(t-a)
當(dāng)t變化時,g(t),g′(t)變化情況如下表:
t
(-∞,0)
0
(0,a)
a
(a,+∞)
g′(t)
+
0
-
0
+
g(t)
↗
極大值a+b
↘
極小值b-f(a)
↗
由g(t)的單調(diào)性,當(dāng)極大值a+b<0或極小值b-f(a)>0時,方程g(t)=0最多有一個實數(shù)根;
當(dāng)a+b=0時,解方程g(t)=0得t=0,t=,
即方程g(t)=0只有兩個相異的實數(shù)根;
當(dāng)b-f(a)=0時,解方程g(t)=0,得
t=-,t=
10、a,即方程g(t)=0只有兩個相異的實數(shù)根.
綜上,如果過(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,
即g(t)=0有三個相異的實數(shù)根,則
即-a
11、2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x.①
函數(shù)y=-x2+a的導(dǎo)函數(shù)為y′=-2x,曲線C2在點Q(x2,-x+a)的切線方程是y-(-x+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x+a.②
如果直線l是過P和Q的公切線,則①式和②式都是l的方程,
所以
消去x2得方程2x+2x1+1+a=0,
若判別式Δ=4-4×2(1+a)=0,
即a=-時,解得x1=x2=-,此時P、Q重合,
即a=-時,C1和C2有且僅有一條公切線.
由①得公切線方程為:y=x-.
(2)證明:由(1)可知,當(dāng)Δ>0,即a<-時,C1和C2有兩條公切線.
設(shè)一條公切線上切點為P(x1,y1),Q(x2,y2),
其中P在C1上,Q在C2上,則有x1+x2=-1,
y1+y2=x+2x1+(-x+a)
=x+2x1-(x1+1)2+a=a-1.
線段PQ的中點為(-,),
同理,另一條公切線段P′Q′的中點也是(-,).
所以公切線段PQ和P′Q′互相平分