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2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理

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2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理_第1頁(yè)
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《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、"2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專(zhuān)題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問(wèn)題 理 " 主要題型:(1)利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和;(2)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問(wèn)題);(3)利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法解決數(shù)列求和;(4)利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問(wèn)題. 【例6】? (2012·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. [審題路

2、線(xiàn)圖] 2Sn=an-2n+1+1,n∈N*, ?令n=1,n=2, ?再有a1+a3=2(a2+5),聯(lián)立三式可求a1. ?由2Sn=an+1-2n+1+1寫(xiě)出n≥2時(shí)2Sn-1=? ?兩式相減可得an+1與an的關(guān)系式, ?同除2n,構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列. ?利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an,(注意驗(yàn)證n=1時(shí)的情況) ?寫(xiě)出通項(xiàng), ?3n=(2+1)n,利用二項(xiàng)式定理展開(kāi), ?利用放縮法得結(jié)論. [規(guī)范解答](1)當(dāng)n=1時(shí),2a1=a2-4+1=a2-3,① 當(dāng)n=2時(shí),2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7,②(2分) 又a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,所以a1+

3、a3=2(a2+5),③ 由①②③解得a1=1.(4分) (2)∵2Sn=an+1-2n+1+1,∴當(dāng)n≥2時(shí),有 2Sn-1=an-2n+1,(5分) 兩式相減得an+1-3an=2n,則-·=1,即+2=.(8分) 又+2=3,知是首項(xiàng)為3, 公比為的等比數(shù)列,(8分) ∴+2=3n-1,即an=3n-2n,n=1時(shí)也適合此式,∴an=3n-2n.(9分) (3)由(2)得== =<, ∴++…+<1+++…+=1+<.(14分) 搶分秘訣 1.?dāng)?shù)列問(wèn)題第(1)小題一般為求數(shù)列通項(xiàng)公式,在此題中其方向已非常明確,只需構(gòu)造出所給的{an}數(shù)列即可得到解決問(wèn)題的方法,過(guò)

4、程書(shū)寫(xiě)目的較強(qiáng). 2.?dāng)?shù)列問(wèn)題第(2)小題,有數(shù)列求和,也有與其他知識(shí)相互交匯的不等式證明、不等式恒成立等問(wèn)題,但很多數(shù)列試題解題的關(guān)鍵往往是一個(gè)數(shù)列的求和問(wèn)題,因此我們要熟練掌握數(shù)列求和的方法. 【例7】? (2011·天津)已知數(shù)列{an}與{bn}滿(mǎn)足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn=,n∈N*,且a1=2. (1)求a2,a3的值; (2)設(shè)cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,證明:{cn}是等比數(shù)列; (3)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:++…++≤n-(n∈N*). [審題路線(xiàn)圖] 首先破解bn=,即bn=再結(jié)合bn+1an+bnan+1=(-

5、2)n+1就可解出a2,a3; ?對(duì)bn+1an+bnan+1=(-2)n+1關(guān)系式進(jìn)行處理,n分別取奇數(shù)、偶數(shù)可得兩個(gè)關(guān)系式,再抓住cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,即可證明{cn}是等比數(shù)列; ?首先利用cn=a2n+1-a2n-1及累加法求a2n-1,從而可求得a2n,然后求出關(guān)系式+的表達(dá)式,最后利用放縮法證明不等式. [規(guī)范解答](1)由bn=,n∈N*,可得 bn= 又bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 當(dāng)n=1時(shí),a1+2a2=-1,由a1=2,可得a2=-; 當(dāng)n=2時(shí),2a2+a3=5,可得a3=8.(4分) (2)對(duì)任意n∈N*, a2n-

6、1+2a2n=-22n-1+1,① 2a2n+a2n+1=22n+1.② ②-①,得a2n+1-a2n-1=3×22n-1,即cn=3×22n-1, 于是=4.所以{cn}是等比數(shù)列.(8分) (3)a1=2,由(2)知,當(dāng)k∈N*且k≥2時(shí),a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k-1-a2k-3)=2+3(2+23+25+…+22k-3)=2+3×=22k-1, 故對(duì)任意k∈N*,a2k-1=22k-1. 由①得22k-1+2a2k=-22k-1+1, 所以a2k=-22k-1,k∈N*.(10分) 因此,S2k=(a1+a2)+(a3

7、+a4)+…+(a2k-1+a2k)=. 于是S2k-1=S2k-a2k=+22k-1.(12分) 故+=+=-=1--.所以,對(duì)任意n∈N*, ++…++=++…+=++…+=n---…-≤n-=n-.……(14分) 搶分秘訣,本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法,難度較大. 第(2)問(wèn)與第(1)問(wèn)相比,難度有所加大,難點(diǎn)就在歸納出一般的式子及遞推關(guān)系式,第(3)問(wèn)難度更大.在閱卷中發(fā)現(xiàn),幾乎沒(méi)有考生得滿(mǎn)分,少數(shù)考生得前兩問(wèn)的分?jǐn)?shù),部分考生得第(1)問(wèn)的分?jǐn)?shù). [押題5] 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足

8、:a1=1,an+1= (1)求a2,a3; (2)設(shè)bn=a2n-2,n∈N*,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (3)已知cn=log|bn|,求證:++…+<1. (1)解 由數(shù)列{an}的遞推關(guān)系易知: a2=,a3=-. (2)證明 bn+1=a2n+2-2=a2n+1+(2n+1)-2 =a2n+1+(2n-1)=(a2n-4n)+(2n-1) =a2n-1=(a2n-2)=bn. 又b1=a2-2=-,∵bn≠0,∴=, 即數(shù)列{bn}是公比為,首項(xiàng)為-的等比數(shù)列, bn=-n-1=-n. (3)證明 由(2)有cn=log|bn|=logn=n. ∵=-. ∴++…+ =1-+++…+- =1-<1.

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