《（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 平面向量總復(fù)習(xí)題 蘇教版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 平面向量總復(fù)習(xí)題 蘇教版必修4（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、平面向量總復(fù)習(xí)題 一、選擇題 1.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的什么條件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：B 2.當(dāng)|a|＝|b|≠0且a、b不共線時，a＋b與a－b的關(guān)系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）． 答案：B 3.下面有五個命題，其中正確的命題序號為 ①單位向量都相等；②長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量；③若a，b滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b；

2、④由于零向量方向不確定，故0不能與任何向量平行；⑤對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b | A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤ 解析：①單位向量方向不確定，故不一定相等，所以命題①錯誤； ②方向相反的向量一定是共線向量，故命題②錯誤； ③兩向量不能比較大小，故命題③錯誤； ④0與任意向量平行，故命題④錯誤； ⑤命題⑤正確. 答案：B 4.下列四式中不能化簡為的是（ ） A. B. C. D. 解析：A選項中， B選項中，＝0，，＋0＝ C選項中，＝0，－＋0＝＋0＝． D選項中，，（∵

3、） 答案：D 5.已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝b，＝c，則a＋b＋c的模等于（ ） A.0 B.2＋ C. D.2 解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2. 答案：D 6.如圖所示，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中不正確的是 A. B.＝0 C. D. 答案：D 7.已知a，b為非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要條件是 A.a∥b B.a，b有共同的起點 C.a與b的長度相等 D.a⊥b 解析：|a＋b|＝|a－b||a

4、＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b 答案：D 8.下面有五個命題，其中正確命題的序號是 ①|(zhì)a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0 A.①②③ B.①④ C.②④ D.②⑤ 解析：② ③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2 ⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，

5、b≠0. 答案：B 9.若點P分有向線段成定比為3∶1，則點P1分有向線段所成的比為 A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：∵，則點P1分有向線段所成的比為－. 答案：A 10.已知點A（x，5）關(guān)于點C（1，y）的對稱點是B（－2，－3），則點P（x，y）到原點的距離是 A.4 B. C. D. 解析：由中點坐標(biāo)公式可得，解得x＝4，y＝1， 再由兩點間距離公式得. 答案：D 11.將點（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到點的坐標(biāo)為 A.（a－h(huán)，b＋k） B.（a－h(huán)，b－k） C.（a＋h，b－k）

6、 D.（a＋h，b＋k） 解析：設(shè)平移后點的坐標(biāo)為（x′，y′），則根據(jù)平移公式可得，∴ 答案：D 12.點A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，則點C坐標(biāo)為 A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1） C.（－1，1）或（1，3） D.無數(shù)多個 解析：由題意|AB|＝， ∴|AC|＝. 故點C分布在以點A為圓心，半徑為的圓上，故點C坐標(biāo)有無數(shù)多個. 答案：D 13.將曲線f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲線的方程為 A.f（x－h(huán)，y＋k）＝0 B.f（x－h(huán)，y－k）＝0 C.f（x＋h，y－k）＝

7、0 D.f（x＋h，y＋k）＝0 解析：設(shè)平移后曲線上任意一點坐標(biāo)為（x′，y′），則根據(jù)平移公式可得， ∴ 又f（x，y）＝0，∴f（x′－h(huán)，y′－k）＝0 即f（x－h(huán)，y－k）為平移后曲線方程. 答案：B 14.設(shè)P點在x軸上，Q點在y軸上，PQ的中點是M（－1，2），則|PQ|等于（ ） A.4 B.2 C.5 D.2 解析：由題意設(shè)P（x，0），Q（0，y），由中點坐標(biāo)公式可得＝－1，＝2 解得x＝－2，y＝4， ∴|PQ|＝. 答案：B 15.下列命題中，正確的是 A.|a·b|＝| a |·|b| B

8、.若a⊥（b－c），則a·b＝a·c C.a2＞|a| D.a（b·c）＝（a·b）c 解析：A．a(chǎn)·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠|(zhì) a ||b| B.若a＝0，則a·b＝a·c， 若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c； 若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0. ∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正確. C.若|a|＝0或1，則a2＝|a|. D.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律. 答案：B 16.函數(shù)y＝4sin2x的圖象可以由y＝4sin（2x－）的圖象經(jīng)過平移變換而得到，則這個平移變換是 A.向左平移

9、個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位 解析：∵用x－替換掉函數(shù)y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－）， 故可將原函數(shù)圖象向左平移個單位得到. 答案：A 17.已知m，n是夾角為60°的兩個單位向量，則a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夾角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝， ∴|a|＝，|b|＝ ∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－ ∴cosα＝，∴α＝

10、120° 答案：C 18.將函數(shù)y＝的圖象按a平移后，函數(shù)解析式為y＝－1，則a等于（ ） A.（－2，1） B.（2，－1） C.（1，－1） D.（－1，1） 解析：y＝－1，即y＋1＝ ∴用x－2，y＋1分別替換了原函數(shù)解析式中的x，y 即，∴即 ∴a＝（2，－1） 答案：B 19.在直角三角形中，A、B為銳角，則sinA·sinB A.有最大值和最小值0 B.有最大值，但無最小值 C.既無最大值，也無最小值 D.有最大值1，但無最小值 解析：∵△ABC為直角三角形，∴B＝－A ∴sinA·sinB＝sinA·s

11、in（－A）＝sinA·cosA＝sin2A 當(dāng)A＝B＝時，有最大值，但無最小值. 答案：B 20.α、β是銳角三角形的三個內(nèi)角，則 A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinα B.cosα＜sinβ且cosβ＜sinα C.cosα＞sinβ且cosβ＜sinα D.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα 解析：∵α、β是銳角三角形兩內(nèi)角， ∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0， ∴sinα＞sin（－β） 即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα 答案：B 21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的 A.充分不必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條

12、件 D.既不充分也不必要條件 解析：由正弦定理可得，∴ 由sinA＜sinB可得a＜b 根據(jù)三角形小邊對小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB 故sinA＜sinB是A＜B的充要條件. 答案：C 22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，則△ABC為 A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同時為鈍角，∴tanA＞0，tanB＞0， ∴tan（A＋B）＝＜0， ∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°， ∴△ABC為銳角三角形.

13、答案：A 23.在△ABC中，A、B、C相應(yīng)對邊分別為a、b、c，則acosB＋bcosA等于 A.2cosC B.2sinC C. D.c 解析：由正弦定理得：＝2R 得a＝2RsinA，b＝2RsinB ∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c 答案：D 24.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，則cosC等于 A. B. C.或 D.－ 解析：由sinB＝，得 cosB＝±＝± 但當(dāng)cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C無解

14、 ∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B） ＝－（cosAcosB－sinAsinB） ＝sinAsinB－cosBcosA＝·· 答案：A 25.在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a2＜b2＋c2，則A的取值范圍是（ ） A.90°＜A＜180° B.45°＜A＜90° C.60°＜A＜90° D.0°＜A＜90° 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0， ∴cosA＝＞0，∴A＜90°， 又∵a邊最大，∴A角最大 ∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°， ∴A＞60°，∴60°＜A＜90° 答案：C 26.

15、已知點A分的比為2，下列結(jié)論錯誤的是 A.B分的比為－ B.C分的比為－3 C.A分的比為2 D.C分的比為－ 解析：數(shù)形結(jié)合可得C選項錯誤. 答案：C 27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積為 A.2 B. C.2或 D.2或4 解析：sinC＝， ∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30° ∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2或. 答案：C 28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，則△ABC是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形

16、 解析：∵sinB·sinC＝ 又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC） ∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC， ∴cosBcosC＋sinBsinC＝1 ∴cos（B－C）＝1，∴B＝C， ∴△ABC是等腰三角形. 答案：A 二、解答題 1.設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三點共線，求k的值. 分析：由于A、B、D三點共線，因此存在實數(shù)λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，將、的e1、e2表達(dá)式代入上式，再由向量

17、相等的條件得到關(guān)于λ、k的方程組，便可求得k的值. 解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2， ∵A、B、D三點共線，∴存在實數(shù)λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2） 于是可得，解得k＝－8. 評述：此題解答關(guān)鍵是應(yīng)用兩個向量共線的充要條件，要注意兩個向量共線和三點共線的區(qū)別和聯(lián)系. 2.已知a、b是兩個非零向量，當(dāng)a＋tb（t∈R）的模取最小值時， （1）求t的值； （2）求證b⊥（a＋tb）. 分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可討論有關(guān)|a＋tb|的最小值問題，若能算得b·（a＋tb）＝0，則證明了b⊥（a＋tb）.

18、 （1）解：設(shè)a與b的夾角為θ 則|a＋tb|2＝（a＋tb）2 ＝a2＋2a·tb＋t2b2 ＝|a|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|b|2 ＝|b|2t2＋（2|a||b|cosθ）t＋|a|2 ＝|b|2（t＋ cosθ）2＋|a|2sin2θ ∴當(dāng)t＝－cosθ＝－時，|a＋tb|有最小值. （2）證明：b·（a＋tb）＝b·（a－·b）＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0 ∴b⊥（a＋t b）. 評述：對|a＋tb|變形，可以從兩個角度進(jìn)行思考，一是通過|a＋t b |2＝（a＋t b）2的數(shù)量積運算；二是通設(shè)坐標(biāo)化思想，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算，從而達(dá)到求解求證

19、目的. 3.如圖所示，OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形，又BM＝BC，CN＝CD，試用a，b表示. 解：＝a－b ∵（a－b） ∴=b+（a－b）＝a＋b 又由＝a＋b，得 a＋b a＋b）－（a＋b）＝a－b 評述：由于a，b不共線，因此a，b構(gòu)成平行四邊形OADB所在平面的一組基底，用它們可以表示出這個平面內(nèi)的任何向量，將所要用a，b表示的向量連同a，b設(shè)法放在一個三角形或平行四邊形內(nèi)，是解決此類問題的常見方法. 4.已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足 ． 求證：O點是△ABC的垂心 證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝c－b，＝a－c，＝b－a. ∵|

20、|2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2 ∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2 即c·b＝a·c＝b·a， 故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0 ·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0 ∴⊥，⊥， ∴點O是△ABC的垂心. 5.如圖所示，圓O內(nèi)兩弦AB、CD垂直相交于P點，求證：. 證明：設(shè)M、N分別為圓O的兩弦AB、CD的中點，連OM、ON，則OM⊥AB，ON⊥CD. ∵ 而AB⊥CD，∴四邊形MPNO為矩形 ∴， ∴ 6.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC邊上的高為AD，求點D和向量AD的坐標(biāo).

21、解：設(shè)點D坐標(biāo)（x，y），由AD是BC邊上的高可得⊥，且B、D、C共線， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴點D坐標(biāo)為（1，1），＝（－1，2） 7.已知a、b、c分別為△ABC三內(nèi)角A、B、C所對的邊，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2（sinB－sinC）成等比數(shù)列. 求證：2b＝a＋c. 證明：要證2b＝a＋c，由正弦定理只要證： sinB－sinA＝sinC－sinB即可： 由已知可得：（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB） （sinB－sinC）＝0，且sinA≠sinB，構(gòu)造方程： （sinA－sinB）x2－（sinA－sinC）x＋（

22、sinB－sinC）＝0，且x＝1是方程的根 Δ＝（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）·（sinB－sinC）＝0，∴方程有兩相等實根 由韋達(dá)定理可知：＝1 ∴sinB－sinC＝sinA－sinB，故結(jié)論得證. 8.設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸，y軸正方向上的兩個單位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，證明△ABC是直角三角形，并求它的面積. 解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j 又i⊥j，∴i·j＝0 ∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥ ∴△ABC是直角三角形， ∴S＝|·||＝×2×＝5 9.已知△AB

23、C中三內(nèi)角滿足A＋C＝2B，，求cos的值. 解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120° 設(shè)＝α，則A－C＝2α， ∴A＝60°＋α，C＝60°－α， ∴ 將B=60°代入得 ∴2cos2α＋cosα－＝0 ∴（2cosα－）（2cosα＋3）＝0 ∴2cosα＋3＞0 ∴cosα＝ 即cos 10.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，求證： 證明：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，，C＝π－（A＋B） ∴ 故原等式成立. 11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c為最大邊，若accosA＋bccosB＜4S，其中S為

24、△ABC的面積. 求證：△ABC為銳角三角形. 證明：由余弦定理及三角形面積公式accosA＋bccosB＜4S 即ac·＋bc·＜2absinC＜2ac ∴a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＜4a2b2 即（a2＋b2）c2＜a4＋2a2·b2＋b4＝（a2＋b2）2， ∴c2＜a2＋b2， ∵cosC＝＞0，∴C為銳角 又c為最大邊，故C為最大角， ∴△ABC為銳角三角形. 12.在△ABC中，sinA＝，判斷這個三角形的形狀. 解：由正弦定理、余弦定理可得： ∴＝b＋c ∴b（a2－b2）＋c（a2－c2）＝bc（b＋c） ∴（b＋c）a2＝（b3＋c3）＋bc（b＋c）， ∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形.