秋霞电影网午夜鲁丝片无码,真人h视频免费观看视频,囯产av无码片毛片一级,免费夜色私人影院在线观看,亚洲美女综合香蕉片,亚洲aⅴ天堂av在线电影猫咪,日韩三级片网址入口

2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理

上傳人:xian****hua 文檔編號(hào):147664462 上傳時(shí)間:2022-09-02 格式:DOC 頁(yè)數(shù):32 大?。?82KB
收藏 版權(quán)申訴 舉報(bào) 下載
2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理_第1頁(yè)
第1頁(yè) / 共32頁(yè)
2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理_第2頁(yè)
第2頁(yè) / 共32頁(yè)
2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理_第3頁(yè)
第3頁(yè) / 共32頁(yè)

下載文檔到電腦,查找使用更方便

11.8 積分

下載資源

還剩頁(yè)未讀,繼續(xù)閱讀

資源描述:

《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理(32頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、不等式 發(fā)揮經(jīng)典價(jià)值 提高復(fù)習(xí)效率 何為數(shù)學(xué)經(jīng)典題目?數(shù)學(xué)經(jīng)典題目就是經(jīng)過(guò)歷史選擇出來(lái)的最有價(jià)值的經(jīng)久不衰的題目 。每個(gè)經(jīng)典題目,都經(jīng)得起人們的拷問(wèn)和時(shí)間的考驗(yàn);每個(gè)經(jīng)典題目,總是蘊(yùn)含著某種重要的數(shù)學(xué)思想和方法;每個(gè)經(jīng)典題目,總有其獨(dú)特的教育價(jià)值和教學(xué)功能;每個(gè)經(jīng)典題目,都能穿越時(shí)間的深度和厚度而又最終超越時(shí)間經(jīng)久彌新、與時(shí)俱進(jìn)。數(shù)學(xué)教科書(shū)上的例習(xí)題有不少題目堪當(dāng)經(jīng)典,本文以其中一道經(jīng)典題目為例,說(shuō)明經(jīng)典題目在復(fù)習(xí)教學(xué)中的潛能挖掘與應(yīng)用,以期拋磚引玉。 ? 題目? 已知,且,求證。 ? 本題目是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修不等式選講人教版第十頁(yè)習(xí)題第11題。這是一道經(jīng)典的

2、條件不等式證明題,解題入口寬、方法多樣,對(duì)本題進(jìn)行一題多解訓(xùn)練,可達(dá)到舉一反三觸類旁通,解讀一題溝通一片以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)效果。 ? 證法1(配方法)因?yàn)?,所以? 所以 , 所以,當(dāng)且僅當(dāng)且且,即時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法先消元,將表示成只含的二次式,并將此式當(dāng)作是以為主元的二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方,再將配方后余下的部分再次配方,然后用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性,從而使問(wèn)題得到解決。 ? 證法2(構(gòu)造二次函數(shù))因?yàn)椋裕? 于是, 故當(dāng)時(shí),最小,此時(shí), 所以, 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。先消元,將表示成只含的

3、二次式,然后選為主元,將此式當(dāng)作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù),求出的最小值,的最小值就是的最小值,從而使問(wèn)題獲解。 ? 證法3(用重要不等式)因?yàn)? , 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 將已知等式兩邊平方是運(yùn)用重要不等式的關(guān)鍵。 ? 證法4(用等號(hào)成立的條件構(gòu)造平方和)由所證不等式等號(hào)成立的條件得,, 即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法5(用等號(hào)成立的條件構(gòu)造配偶不等式)由所證不等式等號(hào)成立的條件可構(gòu)造如下不等式:,,,三式相加得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 證法4和證法5注意到等號(hào)成立的條件是問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解的關(guān)鍵之所在。 ? 證法6(

4、用柯西不等式)由三元柯西不等式得,即。 ? 證法7(用向量數(shù)量積不等式)構(gòu)造向量,,由向量數(shù)量積不等式得,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法8(利用直線與圓有公共點(diǎn)解題)把當(dāng)作參數(shù)當(dāng)作變量,則即可看作是直角坐標(biāo)系下的一條直線的方程,設(shè)則,此方程可看作是圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為的圓的方程。因?yàn)檫@兩個(gè)方程所組成的方程組有解,所以直線與圓有公共點(diǎn),故圓心到直線的距離不大于半徑。故,即有解,所以,解得則,即。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法需要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識(shí),化靜為動(dòng),動(dòng)中求靜。根據(jù)“方程組有解,則直線與圓有公共點(diǎn),從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式,進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。 ?

5、 證法9(三角換元法)設(shè)則,設(shè)。由得,所以,由正弦函數(shù)的有界性得,兩邊平方解得,故。 ? 證法10(構(gòu)造概率模型)設(shè)隨機(jī)變量取值為時(shí)的概率均為,因?yàn)?,所以,所以,即,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法11(用琴生不等式)構(gòu)造函數(shù),因?yàn)槭巧系陌己瘮?shù),由琴生不等式得,,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法12(用點(diǎn)面距離公式)可看作是空間直角坐標(biāo)系下的一個(gè)平面的方程,可看作是這個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方,由垂線段最短知,當(dāng)OP與平面垂直時(shí),OP最短從而最小,由點(diǎn)面距離公式得點(diǎn)O到平面的的距離為:,所以,即。 ? 凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,但與初等函數(shù)關(guān)系密切

6、,是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接處,點(diǎn)面距離公式是大學(xué)空間解析幾何的內(nèi)容,但可當(dāng)作是平面解析幾何點(diǎn)線距離公式在空間的一個(gè)類比拓廣,這些知識(shí)可開(kāi)闊學(xué)生的視野,類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的遷移。 ? 以上從十二個(gè)不同的角度來(lái)思考解決一個(gè)經(jīng)典不等式的證明問(wèn)題,消元法、配方法、構(gòu)造法,函數(shù)和方程思想,化歸和轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想都是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法,在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運(yùn)用多種知識(shí)解決問(wèn)題的能力,有利于拓寬解題思路,有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當(dāng)十,解析一題復(fù)習(xí)一片。對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究 湖北省陽(yáng)新

7、縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū)   人教版高二數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)二元一次不等式確定平面區(qū)域?qū)儆谛略鰞?nèi)容,大綱要求是:了解二元一課次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式(組)。筆者對(duì)這部?jī)?nèi)容作了一些研究,本文將得出的重要結(jié)論及其在解題中的應(yīng)用與大家進(jìn)行交流,希望能對(duì)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)習(xí)有所幫助。   命題1:已知二元一次函數(shù) ①點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0上 ②若B≠0,則有 點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0上方 點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0下方 ③若A≠0,則有 點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0右方 點(diǎn)P1(x1,y1)在

8、直線Ax+By+C=0左方 分析:①易證,②、③證法類似,下面對(duì)②進(jìn)行證明。 證明:②當(dāng)B≠0,直線把坐標(biāo)平面分成上、下兩個(gè)半平面. 設(shè)P1(x1,y1)是坐標(biāo)平面內(nèi)不在l上的任意一點(diǎn),作直線x=x1交l于點(diǎn)P0,設(shè)P0的坐標(biāo)為(x1,y0). ∵ 點(diǎn)???? ∴ ∴ 即?? 由此可知 點(diǎn) 點(diǎn) 根據(jù)這個(gè)命題不難得出直線l同側(cè)上的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的值符號(hào)相同,異側(cè)上的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)值符號(hào)相反,即有如下結(jié)論: 命題2:已知二元一次函數(shù) ①點(diǎn)在直線 ②點(diǎn)在直線   應(yīng)用舉例: 1、快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域. 例1:(人教版高二數(shù)學(xué)第

9、二冊(cè)第64頁(yè)例1)畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域. 解法1:異號(hào),由命題1知不等式表示直線下方的平面區(qū)域,如圖所示 解法2:異號(hào),由命題1知不等式表示直線左方的平面區(qū)域,如圖所示 小結(jié):二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法: ①點(diǎn)判別法:直線定邊界,一點(diǎn)定區(qū)域,合則在,不合則不在; ②B符號(hào)判別法:直線定邊界,符號(hào)定區(qū)域,同上異下; ③A符號(hào)判別法:直線定邊界,符號(hào)定區(qū)域,同右異左. 由例1可知,教材采用點(diǎn)判別法,需要取點(diǎn),計(jì)算函數(shù)值,判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域,而符號(hào)判別法只需由A(或B)的符號(hào)與不等式的符號(hào)的異同直接確定平面區(qū)域,相比之下顯得快速準(zhǔn)確、實(shí)用. 2、巧妙簡(jiǎn)

10、捷地求方程含有參數(shù)的直線與已知線段相交時(shí)參數(shù)的取值范圍. 例2:直線為端點(diǎn)的線段相交,則k的取值范圍是_______. 分析:這是一道一題多解的好題,但有的解法運(yùn)算量大,有的解法容易出錯(cuò),若用命題2的結(jié)論可輕而易舉地得出正確結(jié)果,解法如下: 解:設(shè) 直線   練習(xí)題: 1、表示圖中陰影部分的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)所滿足的約束件是_________. 2、直線在第一象限,則k的取值范圍是_______. 答案:1、???? 2、 錯(cuò)解剖析得真知(十四)不等式的應(yīng)用 一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1.利用均值不等式求最值:如果a1,a2∈R+,那么. 2.求函數(shù)定義

11、域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,確定參數(shù)的取值范圍等.這些問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,或證明不等式. 3.涉及不等式知識(shí)解決的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,這些問(wèn)題大體分為兩類:一是建立不等式解不等式;二是建立函數(shù)式求最大值或最小值. ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具,在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問(wèn)題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用,特別是近幾年來(lái),高考試題帶動(dòng)了一大批實(shí)際應(yīng)用題問(wèn)世,其特點(diǎn)是: 1.問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題,如“物價(jià)、稅收、銷

12、售收入、市場(chǎng)信息”等,題目往往篇幅較長(zhǎng). 2.函數(shù)模型除了常見(jiàn)的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)形式外,又出現(xiàn)了以“函數(shù)” 為模型的新的形式. ? 三 經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1]求y=的最小值. 錯(cuò)解: y==2 y的最小值為2. 錯(cuò)因:等號(hào)取不到,利用均值定理求最值時(shí)“正、定、等”這三個(gè)條件缺一不可. 正解:令t=,則t,于是y= 由于當(dāng)t時(shí),y=是遞增的,故當(dāng)t=2即x=0時(shí),y取最小值. [例2]m為何值時(shí),方程x2+(2m+1)x+m2-3=0有兩個(gè)正根. 錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得,因此當(dāng)時(shí)

13、,原方程有兩個(gè)正根. 錯(cuò)因:忽視了一元二次方程有實(shí)根的條件,即判別式大于等于0. 正解:由題意: 因此當(dāng)時(shí),原方程有兩個(gè)正根. [例3]若正數(shù)x,y滿足,求xy的最大值. 解:由于x,y為正數(shù),則6x,5y也是正數(shù),所以 當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時(shí),取“=”號(hào). 因,則,即,所以的最大值為. [例4]?已知:長(zhǎng)方體的全面積為定值S,試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí),它的體積最大,求出這個(gè)最大值. 分析:經(jīng)過(guò)審題可以看出,長(zhǎng)方體的全面積S是定值.因此最大值一定要用S來(lái)表示.首要問(wèn)題是列出函數(shù)關(guān)系式.設(shè)長(zhǎng)方體體積為y,其長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,則y=abc.由于a+b+c

14、不是定值,所以肯定要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形.可以利用平均值定理先求出y2的最大值,這樣y的最大值也就可以求出來(lái)了. 解:設(shè)長(zhǎng)方體的體積為y,長(zhǎng)、寬、高分別是為a,b,c,則 y=abc,2ab+2bc+2ac=S. 而 y2=(abc)2=(ab)(bc)(ac) 當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac,即a=b=c時(shí),上式取“=”號(hào),y2有最小值 答:長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都等于時(shí)體積的最大值為. 說(shuō)明:對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的處理,要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,列好函數(shù)關(guān)系式是求解問(wèn)題的關(guān)健. ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果

15、池底每1m2的造價(jià)為150元,池壁每1m2的造價(jià)為120元,問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元? 2.證明:通過(guò)水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管截面的周長(zhǎng)相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 3.在四面體P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,各棱長(zhǎng)的和為m,求這個(gè)四面體體積的最大值. 4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x,y=-x,均不相 交,試證明對(duì)一切R都有. 5.青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗,欲使其用料最省,問(wèn)漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例? 6.輪船每小時(shí)使用燃料費(fèi)用(單位:元)和輪船速度

16、(單位:海里/時(shí))的立方成正比.已知某輪船的最大船速是18海里/時(shí),當(dāng)速度是10海里/時(shí)時(shí),它的燃料費(fèi)用是每小時(shí)30元,其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時(shí)480元,如果甲、乙兩地相距1000海里,求輪船從甲地行駛到乙地,所需的總費(fèi)用與船速的函數(shù)關(guān)系,并問(wèn)船速為多少時(shí),總費(fèi)用最低? 尋求二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的方法 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題是高考必考知識(shí)點(diǎn),而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式(組)所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域.下面介紹一些方法來(lái)快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域. ? 方法一:直線定界,特殊點(diǎn)定域 找出一個(gè)二元一次不等式(組)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所表示的平面

17、區(qū)域的基本方法是: ①畫(huà)直線②取特殊點(diǎn)③代值定域④求公共部分 ①畫(huà)直線──作出各不等式對(duì)應(yīng)方程表示的直線(原不等式帶等號(hào)的作實(shí)線,否則作虛線); ②取特殊點(diǎn)──平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線要么過(guò)原點(diǎn),要么不過(guò)原點(diǎn);當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)我們選取特殊點(diǎn)或(坐標(biāo)軸上的點(diǎn)),當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)我們選取原點(diǎn)做特殊點(diǎn); ③代值定域──將選取的特殊點(diǎn)代入所給不等式:如果不等式成立,則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在的區(qū)域;如果不等式不成立,則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在區(qū)域的另一邊. ④求公共部分──不等式組所確定的平面區(qū)域,是各個(gè)二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分. 例1 畫(huà)出不等式組所

18、表示的平面區(qū)域. 解析:①畫(huà)直線:不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是;不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是;在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與(如圖). ? ? ?? ? ②取特殊點(diǎn):直線過(guò)原點(diǎn),可取特殊點(diǎn);直線不過(guò)原點(diǎn),可取特殊點(diǎn). ? ③將代入,即,不等式不成立,直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域;將代入,即,不等式成立,則原點(diǎn)所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域.(圖一) ? ④求公共部分:如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域. ? 方法二:法向量判定法 由平面解析幾何知識(shí)知道直線(不同時(shí)為0)的一個(gè)法向量為.以坐標(biāo)原點(diǎn)作為法向量的始點(diǎn),可以利用向量?jī)?nèi)積證明如下結(jié)論: (1)不等

19、式(),不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域;(大于同向) (2)不等式(),不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域;(小于反向) ? 例2 畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域.? 解析:①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是,法向量;不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是,法向量;在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量(如圖). ? ? ?? ? ②由于不等式(),平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域(圖一);不等式(),平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域(圖二). ? ③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域. 方法三:未知數(shù)系數(shù)化正法 直線(不同時(shí)為0)含有兩個(gè)未知數(shù),于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為

20、兩類:項(xiàng)系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)來(lái)研究. (1)項(xiàng)系數(shù)化正法:顧名思義就是利用不等式性質(zhì),不等號(hào)兩邊同時(shí)(移項(xiàng))將項(xiàng)系數(shù)化為正值,然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來(lái)確定區(qū)域位置(規(guī)定:軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的上方;反之為下方)有結(jié)論: 項(xiàng)系數(shù)正值化:上;下. 例3 畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域. ? 解析:①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是;不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是;在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與(如圖). ? ?? ? ②將不等式組中每個(gè)不等式項(xiàng)系數(shù)正值化,得或(移項(xiàng)). ③關(guān)于的不等式()即(或者),直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域(圖一);關(guān)于的不等式()即,直線下方的區(qū)域就是

21、該不等式所表示的平面區(qū)域(圖二). ? ④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域. (2)項(xiàng)系數(shù)化正法:同(1)一樣,不等號(hào)兩邊同時(shí)(或移項(xiàng))將項(xiàng)系數(shù)化為正值,然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來(lái)確定區(qū)域位置(規(guī)定:軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的右方;反之為左方)有結(jié)論: 項(xiàng)系數(shù)正值化:右;左. 可結(jié)合例3來(lái)對(duì)項(xiàng)系數(shù)化正法進(jìn)行理解. 上述方法中,方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法,思維回路較長(zhǎng),適合對(duì)理論的學(xué)習(xí),但要快速準(zhǔn)確地解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題就必須掌握方法二或方法三中之一. 目標(biāo)函數(shù)幾何意義在變化 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它是本質(zhì)是“以形

22、助數(shù)”即主要利用形的直觀性來(lái)解決問(wèn)題.由于目標(biāo)函數(shù)在不斷地變動(dòng),呈現(xiàn)出多樣性和隱蔽性,所以我們要認(rèn)真研究目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,使目標(biāo)函數(shù)具體化和明朗化.下面舉例說(shuō)明: ? 一、目標(biāo)距離化. ? 例1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值是?????????? ? 分析,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方,畫(huà)出可行域可求得 ? 解:如圖,作出可行域,則可知行域內(nèi)點(diǎn)(4,1)到可點(diǎn)(1,1)的距離最大,從圖形中可只是3,故. ? ? 例2.已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值. ? 分析:這個(gè)目標(biāo)函數(shù)就顯得有點(diǎn)“隱蔽”了,注意到目標(biāo)函數(shù)有個(gè)絕對(duì)值符號(hào),聯(lián)想到

23、點(diǎn)到直線的距離公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),那么就可順利解決了.,也是說(shuō)表示為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的倍. ? 解:作出可行域,(如上圖)可知可行域內(nèi)的點(diǎn)(7,9)到直線的距離最大,所以 ? 二、目標(biāo)角度化. ? 已知為直角坐標(biāo)系原點(diǎn),的坐標(biāo)均滿足不等式組,則的最小值等于????????? . ? ? ? ? 分析:作出相應(yīng)的可行域,可知越大,則越小,所以可知在(1,7)(4,3)此時(shí)與原點(diǎn)O的張角最大 ? 解:畫(huà)出可行域,不失一般性,不妨設(shè)P(1,7),Q(4,3);則,,則,所以. ? 三、目標(biāo)斜率化. ? 例4.已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是_____.

24、? 分析,觀察的結(jié)構(gòu)特征,令人想到平面內(nèi)的兩點(diǎn)間的斜率公式,可得表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的斜率,結(jié)個(gè)可行域可得其取值范圍是,具體的過(guò)程留給聰明的讀者. ? 四、目標(biāo)投影化. ? 例5.已知點(diǎn)(O為原點(diǎn))的最大值為????????????? . ? ? 分析:這個(gè)目標(biāo)函數(shù)更為隱蔽了,表示的是是方向上的投影. ? 解:作出可行域,則可知P(5,2),則=(5,2),則在上的投影是PQ,可看作點(diǎn)P到直線是距離 ? 五、目標(biāo)面積化. ? 例6已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值. ? 分析:表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(正好在第一象限)到兩坐標(biāo)軸距離的乘積的兩倍,即過(guò)該點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂

25、線,長(zhǎng)線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積的2倍,可知當(dāng)時(shí)取得最大值,最大值是 ? 同學(xué)們應(yīng)該知道目標(biāo)函數(shù)是直線的截距的這種類型的基礎(chǔ)上,還要知道距離、投影、斜率、角度、面積等幾種常見(jiàn)的形式.這樣我們的在解決線性規(guī)劃問(wèn)題上才能心中有“形”.下面提供部分習(xí)題請(qǐng)同學(xué)們完成. ? (1)若函數(shù)是定義在上的函數(shù),則函數(shù)的值域是(??? ) ? ??????????????????????????????? A.???????????? B.?????????? C.?? D. ? (2)約束條件,目標(biāo)函數(shù)的最小值是??????????? ? (3)已知(是坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為???????

26、??? ? 答案:(1)D??? (2)? 0?????? (3)5 錯(cuò)解剖析得真知(十三)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 ? 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1. 目標(biāo)函數(shù): P =2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變 量 x 和y 的 函數(shù),稱為目標(biāo)函數(shù). 2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域. 3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn). 4.線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決. 5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃. ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 線性規(guī)劃是一門研究如何

27、使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用:一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下,如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù);二是給一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù). 1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域,要將邊界畫(huà)成虛線. 2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法,常用的一種方法是“選點(diǎn)法”:任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn),檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式,若適合,則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域;否則,直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.若直 線 不 過(guò) 原點(diǎn),通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入

28、檢驗(yàn). 3. 平 移 直 線 y=-kx +P時(shí),直線必須經(jīng)過(guò)可行域. 4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題,可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域,此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn). 5.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出,其求解的格式與步驟是不變的:(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. ? 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1] .畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域. 錯(cuò)解:如圖(1)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.

29、 錯(cuò)因一是實(shí)虛線不清,二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯(cuò)了. 正解:如圖(2)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域. ? ?[例2] 已知1x-y2,且2x+y4,求4x-2y的范圍. 錯(cuò)解:由于 1x-y2 ?、? 2x+y4  ?、? ①+② 得32x6???? ③ ①×(-1)+② 得:02y3? ④. ③×2+④×(-1)得. 34x-2y12 錯(cuò)因:可行域范圍擴(kuò)大了. 正解:線性約束條件是: 令z=4x-2y, 畫(huà)出可行域如圖所示, 由得A點(diǎn)坐標(biāo)(1.5,0.5)此時(shí)z=4×1.5-2×0.5=5. 由得B點(diǎn)坐標(biāo)(3,1)此時(shí)z=4×3-2×1=1

30、0. ? 54x-2y10 ? ?[例3] 已知,求x2+y2的最值. 錯(cuò)解:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界), 令z= x2+y2 由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1), 此時(shí)z=x2+y2=42+12=17, 由得B點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-6), 此時(shí)z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37, 由得C點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2), 此時(shí)z=x2+y2=(-3)2+22=13, ? 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37,當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值13. 錯(cuò)因:誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值. 正解:不等式組表示的平面

31、區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界), 令z= x2+y2,則z即為點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方. 由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1), 此時(shí)z=x2+y2=42+12=17, 由得B點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-6), 此時(shí)z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37, 由得C點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2), 此時(shí)z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原點(diǎn)處,,此時(shí)z=x2+y2=02+02=0, ? 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37,當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值0. ? [例4]某家具廠有方木料90m3,五合板600m2,準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)

32、每個(gè)書(shū)櫥需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌,可獲利潤(rùn)多少?如果只安排生產(chǎn)書(shū)櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大? 分析: 數(shù)據(jù)分析列表 ? 書(shū)桌 書(shū)櫥 資源限制 木料(m3) 0.1 0.2 90 五合板(m2) 2 1 600 利潤(rùn)(元/張) 80 120 ? 計(jì)劃生產(chǎn)(張) x y ? 設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張,書(shū)櫥y張,利潤(rùn)z元,則約束條件為 目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y 作出上可行域: 作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(100,400)時(shí),即

33、合理安排生產(chǎn),生產(chǎn)書(shū)桌100張,書(shū)櫥400張,有最大利潤(rùn)為 zmax=80×100+400×120=56000(元) 若只生產(chǎn)書(shū)桌,得0

34、每張鋼板的面積,第一種為1m2,第二種為2 m2,今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊,請(qǐng)你們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下,應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少?gòu)垼梢缘玫剿璧娜N規(guī)格成品,而且使所用鋼板的面積最?。恐挥玫谝环N鋼板行嗎? ?? 解:設(shè)需要截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,所用鋼板面積為z m2,則 ??? 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y 作出可行域如圖 作一組平行直線x+2y=t, 由 可得交點(diǎn), 但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn),其附近的整點(diǎn)(4,8)或(6,7)可都使z有最小值,且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20 若只截第一種鋼板,由上可知x≥27,所用鋼板面

35、積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板,則y≥15,最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大,因此都不行. 答:略 ?[例6]設(shè),式中滿足條件,求的最大值和最小值. 解:由引例可知:直線與所在直線平行,則由引例的解題過(guò)程知, 當(dāng)與所在直線重合時(shí)最大,此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè), 當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)最小,∴,. 說(shuō)明:1.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得; ????? 2.線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得,即滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè). ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1.畫(huà)出不等式-+2y-4<0表示的平面區(qū)域. ?

36、 2.畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域? 3.求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件 4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品,若采用甲種原料,每噸成本1000元,運(yùn)費(fèi)500元,可得產(chǎn)品90千克;若采用乙種原料,每噸成本為1500元,運(yùn)費(fèi)400元,可得產(chǎn)品100千克,如果每月原料的總成本不超過(guò)6000元,運(yùn)費(fèi)不超過(guò)2000元,那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品? 5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí),漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí);又知木工、漆工每天工作分別不得超過(guò)8

37、小時(shí)和9小時(shí),而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元,試問(wèn)工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少?gòu)垼拍塬@得利潤(rùn)最大? 6.(06年高考廣東)在約束條件下,當(dāng)時(shí),目標(biāo)函數(shù) ?? 的最大值的變化范圍是 ?? A.[6,15]?????????? ?????? B.[7,15] C.[6,8]??????????????????? D.[7,8] ?線性規(guī)劃解法賞析 “最優(yōu)化”問(wèn)題中的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是高考??贾R(shí)點(diǎn),屬于不等式模塊,重點(diǎn)考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力。隨著新課程改革的全面施行,現(xiàn)有的人教版教材把不等式內(nèi)容進(jìn)行了很大程度的推廣和深化。高中數(shù)學(xué)的教學(xué),不是把已有的簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜

38、化,而是應(yīng)該在比學(xué)生理解掌握的知識(shí)水平更低的層次來(lái)思考解決問(wèn)題的方法,讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)不是高不可攀的。因此,有必要對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解法做一下梳理強(qiáng)化,結(jié)合例題多策略求解,以便學(xué)生參考選擇適合自己的方法。 ? (人教B版)例3 兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生,利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng),兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元,每人可為5位老人服務(wù);小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元,每人可為3位老人服務(wù)。如果要求區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)多,且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過(guò)37元。怎樣安排兩區(qū)參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù),才能使受到服務(wù)的老人最多?受到服務(wù)的老人最多是多

39、少? ? 解:依題意可列表如下: 地區(qū) 往返車費(fèi)(元) 服務(wù)人數(shù)(人) 區(qū) 區(qū) 要求 不超過(guò) ? 設(shè)兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為、,則受到服務(wù)的老人的人數(shù)為 ? ? 其中滿足下列條件 ? ? 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,在滿足上述約束條件下,求式子的最大值。 ? 【解法一】線定界,點(diǎn)定域,距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線:不等式、與對(duì)應(yīng)的直線方程分別為、與;在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線(實(shí)線)、(實(shí)線)與(實(shí)線)。 ? ②取特殊點(diǎn)確定約束條件表示的可行域:平面直角坐標(biāo)系中的直線分為過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩類,不過(guò)原

40、點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn);過(guò)原點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn)或。 ? ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解:作出直線:,結(jié)合圖中所示可行域,容易看出點(diǎn)到直線的距離最大,若是整點(diǎn),則是最優(yōu)解。 ? 【解法二】線定界,號(hào)定域,距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線。(同解法一) ? ②將約束條件中各不等式的項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù):。由下列結(jié)論,通過(guò)不等號(hào)來(lái)確定約束條件表示的可行域: ? (或),且,則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€上方(大于上); ? (或),且,則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€下方(小于下)。 ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定

41、最優(yōu)解:作出直線:,結(jié)合圖中所示可行域,容易看出點(diǎn)到直線的距離最大,若是整點(diǎn),則是最優(yōu)解。 ? 【解法三】線定界,方向定域,距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線。(同解法一) ? ②約束條件化為:,直線(不同時(shí)為0)的一個(gè)法向量為(設(shè)其以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)),由下列結(jié)論確定約束條件表示的可行域: ? (或),則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橥颍ù笥谕颍? ? (或),則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)榉聪颍ㄐ∮诜聪颍? ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解:作出直線:,結(jié)合圖中所示可行域,容易看出點(diǎn)到直線的距離最大,若是整點(diǎn),則是最優(yōu)解。 §5

42、.3 基本不等式的證明 ? 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1.比較法:比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法). (1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì):“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步驟為:①作差:考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式,將其看作一個(gè)整體;②變形:把不等式兩邊的差進(jìn)行變形,或變形為一個(gè)常數(shù),或變形為若干個(gè)因式的積,或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等,其中變形是求差法的關(guān)鍵,配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷:根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果,判斷不等式兩邊

43、差的正負(fù)號(hào),最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍:當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法. (2)商值比較法的理論依據(jù)是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步驟為:①作商:將左右兩端作商;②變形:化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式;③判斷商與1的大小關(guān)系,就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍:當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí),一般使用商值比較法. 2.綜合法:利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理,最后推出所要證明的不等式,其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?,逐步推出?/p>

44、結(jié)論”.即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B. 3.分析法:是指從需證的不等式出發(fā),分析這個(gè)不等式成立的充分條件,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備,其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”.用分析法證明書(shū)寫(xiě)的模式是:為了證明命題B成立,只需證明命題B1為真,從而有…,這只需證明B2為真,從而又有…,……這只需證明A為真,而已知A為真,故B必為真.這種證題模式告訴我們,分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件. 4.反證法:有些不等式的證明,從正面證不好說(shuō)清楚,可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設(shè)A≤B,由題設(shè)及其它性質(zhì),推出矛盾,

45、從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí),可以考慮用反證法. 5.換元法:換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,變量較多,變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換,以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通,給證明帶來(lái)新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法:多用于條件不等式的證明,當(dāng)所給條件較復(fù)雜,一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示,這時(shí)可考慮三角代換,將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示.此法如果運(yùn)用恰當(dāng),可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系,將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題; (2)增量換元法:在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母,代數(shù)

46、式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式,考慮用增量法進(jìn)行換元,其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元,使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn).如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進(jìn)行換元. ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 1.在用商值比較法證明不等式時(shí),要注意分母的正、負(fù)號(hào),以確定不等號(hào)的方向. 2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面,前者執(zhí)果索因,利于思考,因?yàn)樗较蛎鞔_,思路自然,易于掌握;后者是由因?qū)Ч擞诒硎?,因?yàn)樗鼦l理清晰,形式簡(jiǎn)潔,適合人們的思維習(xí)慣.但是,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的書(shū)寫(xiě)形式,因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁,如果把“只需證明

47、”等字眼不寫(xiě),就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式,它掩蓋了分析、探索的過(guò)程.因而證明不等式時(shí),分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式,難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑,之后用綜合法形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程,以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大,需一邊分析,一邊綜合,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn),綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn). 3.分析法證明過(guò)程中的每一步不一定“步步可逆”,也沒(méi)有必要要求“步步可逆”,因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件,而不是充要條件.如果非要“步步可逆”,則

48、限制了分析法解決問(wèn)題的范圍,使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問(wèn)題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ). 4.反證法證明不等式時(shí),必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾. 5.在三角換元中,由于已知條件的限制作用,可能對(duì)引入的角有一定的限制,應(yīng)引起高度重視,否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn),也是難點(diǎn),且要注意整體思想的應(yīng)用.   ? 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1] 已知a>b(ab),比較與的大小. 錯(cuò)解: a>b(ab),<. 錯(cuò)因:簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小,小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是:當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí),大數(shù)

49、的倒數(shù)必定小,小數(shù)的倒數(shù)必定大. 正解:,又 a>b(ab), (1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí),即a>b>0或b0,b-a<0, ,<. (2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí),則a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),下列各式中最小的是( ?。? A.   B.   C.   D. 錯(cuò)解:所以選B. 錯(cuò)因是由于在、、中很容易確定最小,所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者,并不一定是四者中最小者,要得到正確的結(jié)論,就需要全面比較,不可遺漏與前三者的大小比較. 正解:由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中,最小,而=,由當(dāng)ab時(shí),a+b>2,

50、兩端同乘以,可得(a+b)·>2ab, <,因此選D. [例3] 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值. 錯(cuò)解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 錯(cuò)因:上面的解答中,兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=,顯然,這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此,8不是最小值. 正解:原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 ???????????? = (

51、1-2ab)(1+)+4, 由ab≤()2= 得:1-2ab≥1-=, 且≥16,1+≥17, ∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立), ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是. [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1,試比較的大小. 解法一: ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1,? ???∴ ????? ∴ 解法二: ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, ?1 + x > 1,? ∴ ????? ∴?? ∴ 解法三:∵0 < x < 1,? ∴0 < 1 - x < 1,? 1

52、 < 1 + x < 2, ????? ∴ ????? ∴左 - 右 = ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1? ∴ ????? ∴ ?? [例5]已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均為正,求證:xy≥ac + bd 證:證法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ?????????????? ∴要證:xy≥ac + bd ??????????????? ?只需證:(xy)2≥(ac + bd)2 ???????????????? 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2

53、 + 2abcd ???????????????? 展開(kāi)得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd ???????????????? 即:a2d2 + b2c2≥2abcd???? 由基本不等式,顯然成立 ?????????????? ∴xy≥ac + bd 證法二(綜合法)xy = ???????????????? ≥ 證法三(三角代換法) ????? ∵x2 = a2 + b2,∴不妨設(shè)a = xsina,? b = xcosa y2 = c2 + d2??????????????? c = ysinb,? d = yco

54、sb ??????????? ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy [例6] 已知x > 0,求證: 證:構(gòu)造函數(shù) 則, 設(shè)2≤a 0,? ab - 1 > 0,? ab > 0? ∴上式 > 0 ∴f (x)在上單調(diào)遞增,∴左邊 ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小. 2.已知a,b,c,d都是正數(shù),求證: 3.已知x > 0 , y > 0,2x + y = 1,求證: 4.若,求證: 5.若x > 1,y > 1,求證: 6.證明:若a > 0,則

展開(kāi)閱讀全文
溫馨提示:
1: 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

相關(guān)資源

更多
正為您匹配相似的精品文檔
關(guān)于我們 - 網(wǎng)站聲明 - 網(wǎng)站地圖 - 資源地圖 - 友情鏈接 - 網(wǎng)站客服 - 聯(lián)系我們

copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 裝配圖網(wǎng)版權(quán)所有   聯(lián)系電話:18123376007

備案號(hào):ICP2024067431號(hào)-1 川公網(wǎng)安備51140202000466號(hào)


本站為文檔C2C交易模式,即用戶上傳的文檔直接被用戶下載,本站只是中間服務(wù)平臺(tái),本站所有文檔下載所得的收益歸上傳人(含作者)所有。裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。若文檔所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng),我們立即給予刪除!