（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 知能優(yōu)化訓(xùn)練 1．已知實(shí)數(shù)m，n和向量a，b，給出下列命題： ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na(a≠0)，則m＝n. 其中正確的命題是__________． 解析：若m＝0，則ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故③不正確． 答案：①②④ 2．在△ABC中，＝c，＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，則＝__________. 解析：由＝2知＝.又∵＝b－c，∴＝(b－c)，∴＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c. 答案：b＋c 3．若|a|＝3，b與a的方向相反，且|b|＝5，則a＝________b. 解析：b與a方向相反，設(shè)a＝λb(λ＜0)，所以λ＝－＝－，所以a＝－b. 答案：－ 4．若2(y－a)－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝__________. 答案：a－b＋c 一、填空題 1．若O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，＝2e1，＝3e2，則＝__________. 解析：結(jié)合題目畫(huà)出圖形如圖 ＝＝(－) ＝(3e2－2e1)＝e2－e1. 答案：e2－e1 2．點(diǎn)C在線段AB上，且＝，則＝__________，＝__________. 解析：∵＝，∴點(diǎn)C為線段AB的5等分點(diǎn)， ∴＝，＝－. 答案：?。? 3．已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為_(kāi)_________． 解析：由原式可得解得∴x－y＝3. 答案：3 4．若G是△ABC的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則＋＋＝__________. 解析：如圖所示，令GB的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP、PE，得?GDPE.＝＋＝＝－，則＋＋＝0. 答案：0 5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝__________. 解析：由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，結(jié)合＝＋λ，知λ＝. 答案： 6．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則＋＝__________. 解析：∵＋＝2，∴P為線段AC的中點(diǎn)，∴＝－，∴＋＝0. 答案：0 7．△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則等于__________． 解析：如圖所示，∠1＝∠2， ∴＝＝， ∴＝＝(－)＝(b－a)， ∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 答案：a＋b 8．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是________． 解析：通過(guò)觀察，＝＋＝2a＋4b，與a＋2b有2倍關(guān)系，即2＝.符合向量共線定理，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故填A(yù)，B，D. 答案：A，B，D 二、解答題 9．設(shè)兩個(gè)向量a與b不共線． (1)試證：起點(diǎn)相同的三個(gè)向量a，b,3a－2b的終點(diǎn)在同一條直線上(a≠b)； (2)求實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與2a＋kb共線． 解：(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝3a－2b.因?yàn)椋剑?3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，所以＝－2，故，共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以A，B，C在同一直線上． (2)因?yàn)閗a＋b與2a＋kb共線， 所以設(shè)ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb， 又a與b不共線，所以所以k＝±. 10．如圖所示，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，＝c，＝d，求向量. 解：法一：連結(jié)AF. ∵＝＋＝a＋b，E是AC的中點(diǎn)， ∴＝＝(a＋b)． 又∵＝＋＝b＋c，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)， ∴＝＝(b＋c)． ∴＝＋＝a＋(b＋c)， ∴＝－＝a＋(b＋c)－(a＋b)＝(a＋c)． 法二：連結(jié)AF. ∵＝＋＝a＋b，E是AC的中點(diǎn)， ∴＝＝(a＋b)． ∵＝＋＝d＋a，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)， ∴＝＝(d＋a)． ∴＝－＝(d＋a)－d＝(a－d)， ∴＝－＝(a－d)－(a＋b)＝－(b＋d)． 11．設(shè)a，b，c為非零向量，其中任意兩向量不共線，已知a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則b與a＋c是否共線？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 解：b與a＋c共線．證明如下： ∵a＋b與c共線，∴存在惟一實(shí)數(shù)λ，使得a＋b＝λc.① ∵b＋c與a共線，∴存在惟一實(shí)數(shù)μ，使得b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a與c不共線，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c， 即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b. 故a＋c與b共線．