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1、三角恒等變形及應(yīng)用
一.課標(biāo)要求:
1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用;
2.能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系;
3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)。
二.命題走向
從近幾年的高考考察的方向來(lái)看,這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多,有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn),它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察,主要題型有三角函數(shù)求值,通過(guò)三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。
本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一,
2、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問(wèn)題。歷年高考中,在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí),還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性,以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。
三.要點(diǎn)精講
1.兩角和與差的三角函數(shù)
;
;
。
2.二倍角公式
;
;
。
3.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
常用方法:①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);②切割化弦,異名化同名,異角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化簡(jiǎn)要求:①能求出值的應(yīng)求出值;②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;③使項(xiàng)數(shù)盡量少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。
(1)降冪公式
;;。
(2)輔助角公
3、式
,
。
4.三角函數(shù)的求值類型有三類
(1)給角求值:一般所給出的角都是非特殊角,要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系,利用三角變換消去非特殊角,轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題;
(2)給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解時(shí)要注意角的范圍的討論;
(3)給值求角:實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題,由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。
5.三角等式的證明
(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征,通過(guò)三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法,使等式兩端化“異”為“同
4、”;
(2)三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系,采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。
四.典例解析
題型1:兩角和與差的三角函數(shù)
例1.已知,求cos。
分析:因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督?,因而可得到下面的兩種解法。
解法一:由已知sin+sin=1…………①,
cos+cos=0…………②,
①2+②2得 2+2cos;
∴ cos。
①2-②2得 cos2+cos2+2cos()=-1,
即2cos()〔〕=-1。
∴。
解法二:由①得…………③
由②得…………④
④÷③得
點(diǎn)評(píng):此題是給出單角的三角函數(shù)方程,求復(fù)角的余弦值
5、,易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos,但未知數(shù)有四個(gè),顯然前景并不樂(lè)觀,其錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化,“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。
例2.已知
求。
分析:由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值,再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。
解法一:由韋達(dá)定理得tan,
所以tan
解法二:由韋達(dá)定理得tan,
所以tan
,
。
點(diǎn)評(píng):(1)本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷,好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu),從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式,我們不僅要記
6、住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的關(guān)系,次數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用,而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征,有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到相應(yīng)的公式,從而找到解題的切入點(diǎn)。(3)對(duì)公式的逆用公式,變形式也要熟悉,如
題型2:二倍角公式
例3.化簡(jiǎn)下列各式:
(1),
(2)。
分析:(1)若注意到化簡(jiǎn)式是開(kāi)平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口;(2)由于分子是一個(gè)平方差,分母中的角,若注意到這兩大特征,,不難得到解題的切入點(diǎn)。
解析:(1)因?yàn)椋?
又因,
所以,原式=。
7、(2)原式=
=。
點(diǎn)評(píng):(1)在二倍角公式中,兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換。(2)化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn),其中的降次,消元,切割化弦,異名化同名,異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。(3)公式變形,。
例4.若。
分析:注意的兩變換,就有以下的兩種解法。
解法一:由,
解法二:,
點(diǎn)評(píng):此題若將的左邊展開(kāi)成再求cosx,sinx的值,就很繁瑣,把,并注意角的變換2·運(yùn)用二倍角公式,問(wèn)題就公難為易,化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問(wèn)題時(shí),要
8、善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系,一般方法是拼角與拆角,
如,
,
等。
題型3:輔助角公式
例5.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。
分析:從方程 的觀點(diǎn)考慮,如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a,則已知等式可化為關(guān)于程,從而可求出由,若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu),可考慮引入輔助角求解。
解法一:由題設(shè)得
解法二:
解法三:
點(diǎn)評(píng):以上解法中,方法一用了集中變量的思想,是一種基本解法;解法二通過(guò)模式聯(lián)想,引入輔助角,技巧性較強(qiáng),但輔助角公式,,或
在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的,應(yīng)加以關(guān)注;解法三利用了換元法,但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法
9、二的解法優(yōu)點(diǎn),所以解法三最佳。
例6.已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?
(理)(1)解析:y=cos2x+sinxcosx+1
=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+
=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
y取得最大值必須且只需2x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z。
所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}。
10、
(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象;
綜上得到函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1的圖象。
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。
已知函數(shù)y=sinx+cosx,x∈R.
(1)
11、當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?
解析:(1)y=sinx+cosx=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),x∈R
y取得最大值必須且只需x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+2kπ,k∈Z。
所以,當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+2kπ,k∈Z}
(2)變換的步驟是:
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
②令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到函數(shù)
y=2sin(x+)的圖象;
經(jīng)過(guò)這樣的變換
12、就得到函數(shù)y=sinx+cosx的圖象。
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。
題型4:三角函數(shù)式化簡(jiǎn)
例7.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。
解析:原式=(1-cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°-sin30°)
=1+(cos100°-cos40°)+sin70°-
=-sin70°sin30°+sin70°
=-sin70°+sin70°=。
點(diǎn)評(píng):本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力。
例8.已知函數(shù).
(Ⅰ)求的定義域;
(Ⅱ)設(shè)的第四象限的角,且,求的值。
解析:(Ⅰ
13、)由 得,
故在定義域?yàn)?
(Ⅱ)因?yàn)?,且是第四象限的?
所以
a 故
。
題型5:三角函數(shù)求值
例9.設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中>0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為,求a的值。
解析:(I)
依題意得 .
(II)由(I)知,。
又當(dāng)時(shí),,故,從而在區(qū)間上的最小值為,故
例10.求函數(shù)=2+的值域和最小正周期。
解析:y=cos(x+
14、) cos(x-)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+),
∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x-)+sin2x的值域是[-2,2],最小正周期是π。
題型6:三角函數(shù)綜合問(wèn)題
例11.已知向量
(I)若求 (II)求的最大值。
解析:(1);
當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí),最大值為。
點(diǎn)評(píng):本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn):1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0;2,特殊角的三角函數(shù)值;3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性;4.已知向量的坐標(biāo)表示求模,難度中等,計(jì)算量不大。
例12.設(shè)0<θ<,曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個(gè)不同的
15、交點(diǎn)。
(1)求θ的取值范圍;
(2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍。
解析:(1)解方程組,得;
故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為,(0<θ<)0<θ<。
(2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,3,4),則:xi2+yi2=2cosθ∈(,2)(i=1,2,3,4)。
故四個(gè)交點(diǎn)共圓,并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈().
點(diǎn)評(píng):本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問(wèn)題,這也是曲線與方程的基本方法,同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查。
題型7:三角函數(shù)的應(yīng)用
例13.有一塊扇形鐵板,半徑為R,圓心角為60°,從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形
16、,即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上,求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積.
分析:本題入手要解決好兩個(gè)問(wèn)題,
(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況,如圖2-19所示,應(yīng)該分別予以處理;
(2)求最大值問(wèn)題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù),怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。
解析:如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ,則FG=Rsinθ,
,
。
又設(shè)矩形EFGH的面積為S,那么
又∵0°<θ<60°,故當(dāng)cos(2θ-60°)=1,即θ=30′時(shí),
如圖2-19 (2),設(shè)∠FOA=θ,則EF=2Rsin(30°-θ),在△OFG中,∠OGF=150°
設(shè)矩形的面積為S.
那么S=EFFG=4R2sinθsin(30°-θ)
=2R2[cos(2θ-30°)-cos30°]
又∵0<θ<30°,故當(dāng)cos(2θ-30°)=1
。