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1、3.4.6一元一次方程與實際問題行程問題------環(huán)形跑道問題,1,運用方程解決實際問題的一般過程是什么？,1、審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系；,2、設(shè)元：選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示（例如x）；,3、列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；,4、解方程：求出未知數(shù)的值；,5、檢驗：檢查求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案。,審,設(shè),列,解,驗,6、答：把所求的答案答出來。,答,一、激發(fā)求知欲,2,用一元一次方程分析和 解決實際問題的基本過程如下:,實際問題,,,,數(shù)學(xué)問題,,,已知量,未知量,等量關(guān)系,,,一元一次方程,,,方程的解,,,解的合理性,,,實際問題答案,,,,,,,抽象

2、,分析,列出,求出,驗證,合理,3,一、相遇問題的基本題型,1、同時出發(fā)（兩段）,二、相遇問題的等量關(guān)系,2、不同時出發(fā) （三段 ）,4,一、追及問題的基本題型,1、不同地點同時出發(fā),二、追及問題的等量關(guān)系,2、同地點不同時出發(fā),,1、追及時快者行駛的路程慢者行駛的路程相距的 路程,2、追及時快者行駛的路程慢者行駛的路程或 慢者所用時間=快者所用時間+多用時間,5,二、展示目標和任務(wù),6,環(huán)形跑道問題,分類,一、環(huán)形跑道上的追及問題,二、環(huán)形跑道上的相遇問題,同向而行，雙方的速度不同（假設(shè)甲快，乙慢），甲追上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的追及問題,背向而行

3、，在跑道的某處相遇，以相同的方式在跑道上多次與乙相遇。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的相遇問題,三、自主合作與交流,7,環(huán)形跑道問題相遇問題,理論依據(jù),,,,,,,,,,,甲,乙,甲乙在同一地點出發(fā)，背向而行（甲快，乙慢），當甲與乙第一次相遇時，甲乙共同跑了一圈。由相遇問題，我們有,甲總路程+乙總路程=跑道周長,同樣，我們可以把他們相遇的地點作為起點來看，第二次相遇的時候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙總共跑了兩圈，有：,甲總路程+乙總路程=跑道周長*2,從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次數(shù)就等于共同跑的圈數(shù)。,甲總路程+乙總路程=跑道周長*N,8,環(huán)形跑道問題追及問

4、題,理論依據(jù),甲乙在同一地點出發(fā)，同向而行（甲快，乙慢），當甲追上乙時，肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）,,,甲,乙,這時，我們可以看做甲乙在同一地點出發(fā)，同向而行，當甲再次追上乙時，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上時）,從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次數(shù)就等于多跑的圈數(shù)。,甲總路程-乙總路程=跑道周長,甲總路程-乙總路程=跑道周長+ 1圈周長,甲總路程-乙總路程=跑道周長*N,9,例1、 運動場的跑道一圈長400m，甲練習騎自行車，平均每分騎350m，乙練習跑步，平均每分250m兩人從同一處同時反向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？,10,分析：圓形跑道中的規(guī)

5、律： (第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程1圈的長度,(第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程2圈的長度,(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程3圈的長度 .,(第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程n圈的長度,解：設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇，則依題意可得 350 x+250 x=400 解得：x= 答：經(jīng)過 分鐘甲、乙相遇。,11,變式1、 若兩人同時反向出發(fā)，且兩人相距100米。問經(jīng)過多少時間兩人首次相遇？1.相遇問題同時反向不同地.gsp,變式2、 若兩人從同一處反向出發(fā)，且乙先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時間兩人首次相遇？2.相遇問題同地反向慢先跑.gsp,變式3、 若兩人從同一處反

6、向出發(fā)，且甲先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時間兩人首次相遇？3.相遇問題同地反向快先跑.gsp,12,例2、 運動場的跑道一圈長400m，甲練習騎自行車，平均每分騎350m，乙練習跑步，平均每分250m兩人從同一處同時同向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？追及問題同時同地同向.gsp,13,分析：圓形跑道中的規(guī)律： (第1次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程1圈的長度,(第2次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程2圈的長度,(第3次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程3圈的長度 .,(第n次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程n圈的長度,解：設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇，則依題意可得 350 x-250 x=400 解

7、得：x=4 答：經(jīng)過4分鐘甲、乙相遇。,14,變式1、 甲在后，乙在前，且兩人相距100米。若兩人從同時同向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？1.追及問題同時同向不同地.gsp,變式2、 甲在前，乙在后，且兩人相距100米。若兩人從同時同向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？2追及問題同時同向不同地.gsp,變式3、 兩人從同一處同向出發(fā)，若乙先跑1分鐘，經(jīng)過多少時間首次相遇？3.追及問題同地反向慢先跑.gsp,變式4、 兩人從同一處同向出發(fā)，若甲先跑1分鐘，經(jīng)過多少時間首次相遇？4.追及問題同地反向快先跑.gsp,15,找等量關(guān)系的方法：,1.從題中的關(guān)鍵語句入手尋找等量關(guān)系。 2.利用某些基本公式尋找等

8、量關(guān)系。 3.從變化的關(guān)系中尋找不變的量，進而找到等量關(guān)系。 4.還可以借助圖形、表格、線段圖等分析較復(fù)雜問題中的等量關(guān)系。,四、成果展示，教師點撥,16,【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。 （1）若兩人同時同地反向出發(fā)，多長時間兩人首次相遇？,,,（1）反向,相等關(guān)系： 小王路程 + 叔叔路程 = 400,叔叔,小王,17,【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。 （2）若兩人同時同地同向出發(fā)，多長時間兩人首次相遇？,,（2）同向,,相等關(guān)系： 小王路程 + 400 = 叔叔路程,叔叔,小王

9、,18,1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)形跑道的周長是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。,（1）他們從同一地點同時同向起跑，當小明第三次追上爺爺?shù)臅r候，小明笑著對爺爺說：爺爺，我都追上了你三次了，爺爺笑著說：我知道我們跑了多長時間了！聰明的你，知道從起跑的時候算起，到小明第三次追上爺爺后，一共用了多長時間嗎？,五、知識驗證提升,19,解：（1）設(shè)小明第三次追上爺爺時，總共用的時間為X分鐘,300X-200X=4003,解得：X=12,答：小明第三次追上爺爺，總共用的時間為12分鐘,20,1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)

10、形跑道的周長是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。,（2）這次比賽后，小明疑惑的問爺爺：爺爺，要是我們向相反的方向跑，沒有表，你能知道我們跑了多長時間嗎？爺爺笑著說：我們就按照平時跑的速度，只要我知道我們相遇的次數(shù)，我就知道我們能跑多少時間你能幫小明解決這個疑惑么？,21,（2）解：假設(shè)第三次相遇，設(shè)小明與爺爺?shù)谙嘤龅臅r間為X分鐘,300X+200X=4003,解得：X=2.4,答：小明和爺爺首次相遇，相遇時間為2.4分鐘,當然，我們也可以利用多次相遇公式甲總路程+乙總路程=跑道周長*N來求相遇的時間。,22,2. 運動場一圈為40

11、0米，張森和丁爍一同參加學(xué)校運動會的長跑比賽。已知丁爍然平均每分鐘跑230米，張森每分鐘跑150米。 （1）若兩人從同一處同時同向起跑，問經(jīng)過多長時間兩人可以首次相遇？ （2）若兩人從同一處同向起跑，且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時間兩人可以首次相遇？ （3）若兩人從同一處同時反向起跑，問經(jīng)過多長時間兩人可以首次相遇？ （4）若兩人從同一處反向起跑，且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時間兩人可以首次相遇？,23,2.小結(jié)： 行程問題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問題其基本關(guān)系是：路程=時間速度,相遇問題的等量關(guān)系：甲行距離+乙行距離=總路程,追擊問題的等量關(guān)系： 1）同時不同地 ： 慢者行的距離+兩者之間的距離=快者行的距離 2）同地不同時： 甲行距離=乙行距離 或 慢者所用時間=快者所用時間+多用時間,順水逆水的問題的等量關(guān)系： 1）順水的路程 = 逆水的路程 2）順速 逆速 = 2水速；順速 + 逆速 = 2船速,24,