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線 性 代 數(shù),Linear Algebra,第 二 章 行 列 式,1,第 二 章 行列式,行列式 （Determinant）是線性代數(shù)中的一個最基 本、最常用的工具，最早出現(xiàn)于求解線性方程組.它被 廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域 .,2,第 二 章 行列式,設(shè) 二元線性方程組,用消元法知：,當(dāng) 時，,（1）,方程組(1)有解,,且,把由四個數(shù)排成兩行兩列,并定義為數(shù) 的式子 , 叫做二階行列式 .,行列式是一個數(shù),數(shù) 稱為行列式的元素，元素 第一個下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第 i 行；第二個 下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第 j 列 .,,,+,,,--,,主對角線,§1 n 階行列式,一、二階與三階行列式,3,§1 n 階行列式,由二階行列式的定義，得：,稱為 方程組（1）的 系數(shù)行列式,Example 2,便于表示、記憶和推廣,求解二元線性方程組,由于,Solution:,4,第 二 章 行列式,類似地，定義三階行列式,,+,,,,,,,-,,,,,,計(jì)算（定義）規(guī)則稱為對角線規(guī)則（或沙流氏規(guī)則）.,Example 3,計(jì)算三階行列式,= -5,+12,-2,-5,+8,+3,=11,Solution:,5,§1 n 階行列式,二、 n 階行列式,用遞歸的方法來定義 n 階行列式 .,由 n2 個元素 aij ( i , j = 1,2,…,n ) 排成 n 行 n 列，,稱為 n 階行列式 .,數(shù),,行數(shù)與列數(shù)相等,特點(diǎn)？,6,第 二 章 行列式,,,,,,,,,,,,,M11,M12,M13,Definition 1,在 n 階行列式 D 中，將 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，余下的元素按原相對位置構(gòu)成的一 個 n -1 階行列式，稱為 aij 的余子式，記作 Mij .,稱 Aij = (-1)i+jMij，稱為元素 aij 的代數(shù)余子式 .,7,§1 n 階行列式,Definition 2,當(dāng) n = 1 時，定義一階行列式 , 若定義了 n-1 ( n ≥2) 階行列式，則定義 n 階行列式為,Dn = a11A11 + a12A12 + …+a1nA1n,也稱 (3) 為 n 階行列式關(guān)于第一行的展開式 .,數(shù) aij 稱為行列式 Dn 的第 i 行第 j 列元素 .,Note :,當(dāng) n ≥ 4 時，對角線法則不再 適用 Dn 的計(jì)算 .,如 4 階行列式：,按對角線法共有 8 項(xiàng)代數(shù)和；,4! = 24 項(xiàng) .,但按定 義，共有,n 階行列式？,在 (2) 式中，a11,a22,…,ann 所在的對角線稱為行列式的主對角線 .,8,第 二 章 行列式,Example 4,證明 n 階下三 角行列式 (當(dāng) i j 時，aij = 0， 即主對角線以上元素全為零 ),Proof :,對 n 作數(shù)學(xué)歸納法，n = 2 時，結(jié)論顯然成立,,假設(shè)結(jié)論對 n-1 階下三角行列式成立，則由定義得,右端行列式是 n-1 階下三角行列式，根據(jù)歸納假設(shè)得,Dn = a11a22…ann,特別地，主對角行列式,,9,§1 n 階行列式,Example 5,證明 n 階行列式,Proof :,對 n 作數(shù)學(xué)歸納法，n = 2 時，結(jié)論顯然成立,,假設(shè)結(jié)論對 n-1 階行列式成立，則由定義得,,根據(jù)歸納假設(shè)得,,特別地，,10,第 二 章 行列式,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,行列式的計(jì)算是一個重要問題，也是一個很麻煩 的問題 .,n 階行列式共有 n! 項(xiàng)，計(jì)算它需要 n!(n-1) 次乘法, 直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的 .,因此，有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì)，利用這 些性質(zhì)簡化行列式的計(jì)算 .,11,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,一、行列式按行（或列）展開定理,一般說來，低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì) 算更簡便，所以，是否可用低階行列式表示高階行列 式，行列式定義已表示n 階行列式可按第一行展開.,12,第 二 章 行列式,,,,,,,,,,此式說明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開 .,13,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,,,,,,,,,,此式說明三階行列式也可以關(guān)于第二行展開 .,Theorem 1,行列式等于它的某一行（或列）的元素與 其對應(yīng)的代數(shù)與子式的乘積之和，即,或,可用數(shù)學(xué)歸納法 證明之,14,第 二 章 行列式,利用 Th . 1 可降低行列式的階數(shù)，便于計(jì)算 .,Example 6,計(jì)算,Solution:,按第一列展開,= 12,15,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,二、行列式的性質(zhì),記,(6),(7),稱行列式 DT 為行列式 D 的轉(zhuǎn)置(Transposition)行列式 .,Definition 3,將 D 中的行與列互換,,也記 D’,Property 1,行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,Proof,由 Pro.1 可知，在行列式中，行與列具有相等的 地位 . 因而，行列式對其行具有的性質(zhì)，對列也成立 .,16,第 二 章 行列式,Property 1 的證明,Proof :,對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.,階數(shù)為 2，結(jié) 論顯然成立 .,假設(shè) 階數(shù)為 n – 1 時，結(jié)論成立 .,當(dāng)階數(shù)為 n 時，,Dn = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n,按定義（按第一行展開）得,由歸納假設(shè),按 Th.1，上式右端是 按第一列展開式，即,因此，,,17,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 7,Solution:,計(jì)算上三角行列式 （ i j 時，aij = 0）,利用 Pro . 1 和 Ex . 4 得,= a11a22 … ann .,Property 2,互換行列式的兩行(列)，行列式值變號.,18,第 二 章 行列式,Property 2 的證明,Proof :,對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.,階數(shù)為 2，結(jié) 論顯然成立 .,假設(shè) 階數(shù)為 n – 1 時，結(jié)論成立 .,當(dāng)階數(shù)為 n 時，設(shè),交換第 i 行與第 j 行為,其中 bi1 = aj1，bj1 = ai1，bk1 = ak1 (k = 1,2,…,n; k ≠ i，j),19,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,對 D* 按第一列展開，得：,其中 Bk1 為 D* 的元素 bk1 的代數(shù)余子式 .,對 k = 1,2,…,n; k ≠ i，j，,,,,,由歸納假設(shè)，Bk1 = -Ak1 ;,,,,,Bi1 = (-1)i+1,(-1)(j-i)-1 Mj1,由歸納假設(shè),= - (-1)j+1Mj1 = - Aj1,同理可得：Bj1 = -Ai1,D* = b11B11 + … + bi1Bi1 + … + bj1Bj1 + … + bn1Bn1 = a11(-A11)+…+aj1(-Aj1)+…+ai1(-Ai1)+…+an1(-An1) = - (a11A11 + … +ai1Ai1 + … + aj1Aj1 + … + an1An1) = - D,,20,第 二 章 行列式,Corollary 1,如果行列式有兩行（列）完全相同，則此 行列式為零 .,只需把這相同的兩行（列）互換，得,Corollary 2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列） 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即,0 k ≠ i,0 k ≠ j,21,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Property 3,用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素.,即,第 i 行（列）乘以 k ，記作,Corollary 1,行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符號外面 .,22,第 二 章 行列式,Corollary 2,如果行列式中一行（列）為零，則該行 列式為零 .,( 取 k = 0 ),Corollary 3,行列式中如果有兩行（列）元素成比例, 則 此行列式為零 .,( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 Co.1 ),Property 4,由Th.1，按該行（列）展開可得 .,該行每個元素為 兩個元素之和,23,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Property 5,把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù) k ，然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式 不變 .,即,以數(shù) k 乘第 j 行加到第 i 行，記作,（由 Pro .4、Pro .3 Co.3即得）,,注意表示！,24,第 二 章 行列式,Example 8,計(jì)算,Solution:,化行列式為上（下）三角行列式是一重要方法,= -45,,改為 6，如何？,4階及以上行列式不能用對角線法,25,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 9,計(jì)算,Solution:,方法一,D4,= (a+3b)(a-b)3,方法二,D4,= (a+3b)(a-b)3,方法一、方法二 對 n 階也很適用,26,第 二 章 行列式,方法三,將 a = b+(a-b) 則,利用 Pro. 5 進(jìn)行拆項(xiàng)，幾項(xiàng) ?,應(yīng)有 16 項(xiàng) .,但包含兩個或兩個以上第一個子列，則為零 .,27,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 10,試證,Proof ：,分析特點(diǎn): 列之和相等,(實(shí)質(zhì)是計(jì)算),確定方法,左邊,= 右邊,,28,第 二 章 行列式,Example 11,n 階行列式 ， 滿足 aij = - aji i，j = 1 ~ n,證明：當(dāng) n 為奇數(shù)時，D = 0 .,Proof ：,由條件可知 ：aii = -aii i = 1~n 得 aii = 0,D = (-1)nD,因?yàn)?n 為奇 數(shù)，D = -D, 所以 D = 0 .,29,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 12,計(jì)算,Solution:,方法一,將各列加到第一列，得,方法二,30,第 二 章 行列式,Example 13,計(jì)算,Solution:,方法一,每行減去第一行，得,方法二,,,,31,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 14,計(jì)算,Solution:,方法一 從第二行起，前行乘以 x 加到后一 行，得,32,第 二 章 行列式,按最后一行展開，得：,Dn = xDn-1+ an-1,Dn-1 = xDn-2+ an-2,方法二 ( 遞推法 ),… ……,D2 = xa0 + a1,Dn = xDn-1 + an-1,= x2Dn-2 + an-2x + an-1,所以,= x3Dn-3 + an-3x2 + an-2x + an-1 = … =,= xn-2D2 + a2xn-1 + … + an-3x2 + an-2x + an-1,Dn-2 = xDn-3+ an-3,= a0xn-1 + a1xn-2 + … + an-2x + an-1,33,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,Example 15,設(shè),證明： D = D1D2 .,= ？,34,第 二 章 行列式,Example 16,證明 范德蒙德（Vandermonde）行列式,Proof :,用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng) n = 2,結(jié)論成立；,假設(shè)對于 n-1 階 V- 行列式，結(jié)論成立；,對于 n 階 V-行列式，從第 n 行開始，后行減去前 行的 x1倍 .,35,Dn,上式右端行列式是 n-1 階 V- 行列式，由歸納假設(shè)，得,§2 行列式性質(zhì)與展開定理,36,第 二 章 行列式,Example 17,計(jì)算,Solution:,D4 為 4 階 V- 行列式,其中,故,37,§3 克萊姆（Cramer）法則,首次討論線性方程組的求解問題，利用行列式得出 一類特殊方程的求解公式 .,克萊姆法則：,如果線性方程組,(1),其系數(shù)行列式,則方程組(1)有唯一解,簡記為,其中 Dj 是用常數(shù)項(xiàng)(自由項(xiàng)) b1，b2，…，bn 替 換 D 中第 j 列所成的行列式 .,第 二 章 行列式,38,§3 克萊姆（Cramer）法則,Proof :,① 是解；,② 唯一性 .,,①,所以，（2）是（1）的解 .,②,設(shè) 是方程組（1）的一個解 .,代入方程 得,用 D 中第 j 列元素的代數(shù)余子式 依次乘方程組（3）的 n 個方程，再相加 ，得,左邊= 右邊= Dj,由 Th. 1.2 可知 Dcj = Dj,,39,Example 18,解方程組,Solution:,,該位置展開一定帶正號,D1 = -2 ，D2 = 4 ，D3 = 0 ，D4 = -1,所以， x1 = 1，x2 = -2，x3 = 0，x4 = 1/2 .,第 二 章 行列式,40,§3 克萊姆（Cramer）法則,克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系, 在方程理論上很有價值 . 但用它來求解是很不方便的 . 因?yàn)?，它求解一個 n 個未知量、n 個方程的線性方程 組，需計(jì)算 n+1 個 n 階行列式，計(jì)算量很大 .,Definition 1.8,在方程組（1）中，如果自由項(xiàng) b1， b2，…，bn 不全為零，則稱（1）為非齊次線性方程組; 否則，稱為齊次線性方程組 .,Corollary 1,零一定是它的解， 更關(guān)心的是非零解,如果齊次線性方程組,的系數(shù)行列式 ,,則方程組只有零解 .,Corollary 2,如果齊次線性方程組,有非零解的必要條件是 D = 0 .,第三章將證明 這也是充分的,41,Example 19,設(shè)方程組,問 a、b、c 滿足什么條件，方程組有非零解 .,Solution:,由 D = 0,a、b、c 至少有兩個相等 .,不難驗(yàn)證，當(dāng) a、b、c 中至少有兩個相等，方程 組有非零解 .,第 二 章 行列式,42,小,結(jié),行列式計(jì)算、證明的常用方法,定義,性質(zhì),降（升）階,遞推,V- 行列式,數(shù)學(xué)歸納法,43,第 二 章 行列式,完,44,