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1、?二次函數(shù)?知識點歸納
?二次函數(shù)?知識點歸納一、定義與定義表達(dá)式一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax2+bx+c(a0),那么稱y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式:y=ax2+bx+c(a0)頂點式:y=a(x-h)2+k(a0),此時拋物線的頂點坐標(biāo)為P(h,k)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時,x1、x2為交點的橫坐標(biāo),所以兩交點的坐標(biāo)分別為A(x1,0)和B(x2,0)),對稱軸所在的直線為x=注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h=-,k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出
2、,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,屬于軸對稱圖形。四、拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形,對稱軸為直線x=-,對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P(-,)。當(dāng)x=-時,y最值=,當(dāng)a0時,函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時,函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時,P在y軸上(即交點的橫坐標(biāo)為0);當(dāng)=b2-4ac=0時,P在x軸上(即函數(shù)與x軸只有一個交點)。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當(dāng)a0時,拋物線開口向上;當(dāng)a0時,拋物線開口向下。|a|越大,那么拋物線的開口越小。對于兩個拋物線,假設(shè)形狀一樣,
3、開口方向一樣,那么a相等;假設(shè)形狀一樣,開口方向相反,那么a互為相反數(shù)。4.二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置,四字口訣為“左同右異〞,即:當(dāng)對稱軸在y軸左邊時,a與b同號(即ab當(dāng)對稱軸在y軸右邊時,a與b異號(即ab0)。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置,拋物線與y軸交于點(0,c)。6.拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的斷定方法:=b2-4ac0時,拋物線與x軸有2個交點,對應(yīng)方程有兩個不一樣的實數(shù)根;=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點,對應(yīng)方程有兩個一樣的實數(shù)根。=b2-4ac0時,拋物線與x軸沒有交點,對應(yīng)方程沒
4、有實數(shù)根。五、二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c(a0),當(dāng)y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程,即ax2+bx+c=0,此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。(參考四-6)六、常用的計算方法1、求解析式的時候:假設(shè)給定三個普通點的坐標(biāo),那么設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0),分別將三點坐標(biāo)代入組成三元一次方程組,然后解此方程組求出a、b、c,再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;假設(shè)給定有頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值,那么設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a0),再找一點坐標(biāo)代入即可求出a,再代回設(shè)的頂點式即可求出解析式
5、;假設(shè)給定有與x軸的交點坐標(biāo),那么設(shè)為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a0),再找一點坐標(biāo)代入即可求出a,再代回設(shè)的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內(nèi)的正負(fù)號。2、假設(shè)求函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo),讓y=0,解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標(biāo);3、假設(shè)求函數(shù)的頂點坐標(biāo),用配方的方法或者直接套用頂點坐標(biāo)的公式;4、假設(shè)求函數(shù)的最大值或者最小值,也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點坐標(biāo))。5、當(dāng)需要斷定函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點時,需斷定方程ax2+bx+c=0的0,同理,與x軸只有一個交點時,=0,與x軸有兩個交點時,0。對的斷定方法仍然是用配方的方法。