等邊三角形 1、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（　?。? 　 A．14 B．15 C．16 D．17 考點：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AC=AB=4， ∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故選C． 點評：本題考查了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，關(guān)鍵是求出AC的長．　 2、（2013?自貢）如圖，將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個棱柱的側(cè)面積為（　　） 　 A． B． 9 C． D． 考點： 剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)．3718684 專題： 操作型． 分析： 這個棱柱的側(cè)面展開正好是一個長方形，長為3，寬為3減去兩個三角形的高，再用長方形的面積公式計算即可解答． 解答： 解：∵將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱， ∴這個正三角形的底面邊長為1，高為=， ∴側(cè)面積為長為3，寬為3﹣的長方形，面積為9﹣3． 故選A． 點評： 此題主要考查了剪紙問題的實際應用，動手操作拼出圖形，并能正確進行計算是解答本題的關(guān)鍵． 3、（2013?雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結(jié)論有（　?。﹤€． 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： 通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比較大小就可以得出結(jié)論 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等邊三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF，①正確． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°②正確， ∵BC=CD， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， 及CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．③正確． 設EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯誤， ∵S△CEF=， S△ABE==， ∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確． 綜上所述，正確的有4個，故選C． 點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵． 4、（2013?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（　?。? 　 A． 8 B． 9 C． 10 D． 11 考點： 等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．3718684 分析： 首先構(gòu)造直角三角形，進而根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可． 解答： 解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E， ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°， ∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5， ∴cos60°===， 解得：BF=1.5， 故EC=1.5， ∴BC=1.5+1.5+5=8． 故選：A． 點評： 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，根據(jù)已知得出BF=EC的長是解題關(guān)鍵． 　 5、（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．3718684 分析： 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確； 先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確； 先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確； 當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確． 解答： 解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正確； ②在△ABM與△ACN中， ∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴，正確； ③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N， ∴∠ABM=∠ACN=30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°， ∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等邊三角形，正確； ④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N， ∴∠BNC=90°，∠BCN=45°， ∴BN=CN， ∵P為BC邊的中點， ∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形 ∴BN=PB=PC，正確． 故選D． 點評： 本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6、(2013?遵義）如圖，將邊長為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動（不滑動），點B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為（　?。? 　 A． cm B． （2+π）cm C． cm D． 3cm 考點： 弧長的計算；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3718684 分析： 通過觀察圖形，可得從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動，求出點B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路徑的長度． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠AC（A）=120°， 點B兩次翻動劃過的弧長相等， 則點B經(jīng)過的路徑長=2×=π． 故選C． 點評： 本題考查了弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，得到點B運動的路徑，注意熟練掌握弧長的計算公式． 7、（2013臺灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為何？（　?。? 　 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6 考點：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析：過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據(jù)正方形的對邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出KH，然后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解． 解答：解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠ABC=60°， ∵BD=BE， ∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60°， ∴∠A=∠BDE， ∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF， ∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6， ∴F點到AC的距離為6﹣6． 故選D． 點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．　 8、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是　，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）?。▽懗?個即可）． 考點：等邊三角形的性質(zhì)． 專題：新定義；開放型． 分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)， （1）最長的面徑是等邊三角形的高線； （2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑． 解答：解：如圖， （1）等邊三角形的高AD是最長的面徑， AD=×2=； （2）當EF∥BC時，EF為最短面徑， 此時，（）2=， 即=， 解得EF=． 所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 故答案為：，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關(guān)鍵．　 9、（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為　1.6　． 考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3718684 分析： 由將△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案． 解答： 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.6， ∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6． 故答案為：1.6． 點評： 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用． 　 10、（2013?宜昌）如圖，點E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF． （1）請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由； （2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長． 考點： 菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 分析： （1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形； （2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長． 解答： 解：（1）菱形． 理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF， ∴四邊形AEDF是菱形； （2）連接EF， ∵AE=AF，∠A=60°， ∴△EAF是等邊三角形， ∴EF=AE=8厘米． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用． 11、（2013?天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為　7?。? 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．3718684 分析： 先根據(jù)邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD∽△DCE，進而根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， 則=， 即=， 解得：CE=2， 故AE=AC﹣CE=9﹣2=7． 故答案為：7． 點評： 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵． 12、（2013聊城）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，那么線段DE的長度為 ． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 分析：首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知△ADE為等邊三角形，則DE=AD． 解答：解：如圖，∵在等邊△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中點， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°， ∴AD=ABcos30°=6×=3． 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°， ∴△ADE的等邊三角形， ∴DE=AD=3，即線段DE的長度為3． 故答案是：3． 點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．　 13、（2013? 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+． 其中正確的序號是　①②④?。ò涯阏J為正確的都填上）． 考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=AF， ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①說法正確； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②說法正確； 如圖，連接AC，交EF于G點， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAD≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說法錯誤； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 設正方形的邊長為a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 則a2=2+， S正方形ABCD=2+， ④說法正確， 故答案為①②④． 點評： 本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩． 14、（2013?黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=　?。? 考點： 等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．3481324 分析： 根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 解答： 解：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC， ∵BD為中線， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30°=∠DBC， ∴BD=DE， ∵BD是AC中線，CD=1， ∴AD=DC=1， ∵△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC， 在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==， 即DE=BD=， 故答案為：． 點評： 本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長． 15、（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 考點： 等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 解答： 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案為：15． 點評： 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于軸，一頂點在軸上．從內(nèi)到外，它們的邊長依次為，頂點依次用表示，其中與軸、底邊與、與、均相距一個單位，則頂點的坐標是 ，的坐標是 ． 解析：考查正三角形的相關(guān)知識及找規(guī)律的能力。由圖知，的縱坐標為： ，，而的橫坐標為：，由題意知，的縱坐標為，，容易發(fā)現(xiàn)、、、、、這些點在第四象限，橫縱坐標互為相反數(shù)， 、、、、、的下標2、5、7、、92、有規(guī)律：，是第31個正三角形（從里往外）的右端點， 17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度； （2）連結(jié)AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 專題：計算題． 分析：（1）由點A的坐標為（﹣2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°． 解答：解：（1）∵點A的坐標為（﹣2，0）， ∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD； ∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱； ∵△AOC為等邊三角形， ∴∠AOC=∠BOD=60°， ∴∠AOD=120°， ∴△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB． （2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB， ∴OA=OD， ∵∠AOC=∠BOD=60°， ∴∠DOC=60°， 即OE為等腰△AOD的頂角的平分線， ∴OE垂直平分AD， ∴∠AEO=90°． 故答案為2；y軸；120． 點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．　 18、（2013?湖州）如圖，已知P是⊙O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB． （1）求BC的長； （2）求證：PB是⊙O的切線． 考點： 切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理． 分析： （1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長； （2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線． 解答： （1）解：連接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°， ∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等邊三角形， ∴BC=OC=2； （2）證明：∵OC=CP，BC=OC， ∴BC=CP， ∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等邊三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°， ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵點B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切線． 點評： 此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用． 19、（2013?萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結(jié)DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形． 考點： 平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： （1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB； （2）當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC=或AB=2AC． 解答： （1）證明：連結(jié)CE． ∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形， ∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°． ∴∠B=30°． 在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC． ∴當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形． 點評： 此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)． 20、（2013?衢州）【提出問題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN． 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由． 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： （1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論； （2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論． 解答： （1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．