2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例
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1、考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu) 化問(wèn)題舉例 一、選擇題 1.(2012?山東高考文科?T10)與(2012?山東高考理科?T9)相同 函數(shù)的圖象大致為( ) 【解題指南】本題可利用函數(shù)的奇偶性,及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),取點(diǎn)驗(yàn)證法可得. 【解析】選D.由知為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),y>0,隨著x的變大,分母逐漸變大,整個(gè)函數(shù)值越來(lái)越接近y軸,只有D選項(xiàng)滿足. 2.(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T10)已知函數(shù)f(x)= ,則y=f(x)的圖象大致為( ) 【解題指南】令,通過(guò)對(duì)單調(diào)性與最值的考查,判斷出在不同的區(qū)間段f(x)的函數(shù)值的正負(fù),最后利用排除法得正確
2、選項(xiàng)。 【解析】選B. 得:或均有,排除 3.(2012·遼寧高考文科·T8)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A)(1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞) (D)(0,+∞) 【解題指南】保證函數(shù)有意義的前提下,利用解得單調(diào)減區(qū)間 【解析】選B. 由,又函數(shù)的定義域?yàn)? 故單調(diào)減區(qū)間為. 4.(2012·陜西高考文科·T9)設(shè)函數(shù)=+,則( ) (A) x=為的極大值點(diǎn) (B) x=為的極小值點(diǎn) (C) x=2為的極大值點(diǎn) (D) x=2為的極小值點(diǎn) 【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0求出極值點(diǎn),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)判斷函數(shù)
3、的單調(diào)性,判斷極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn). 【解析】選D. ∵=+,∴,令,即,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以x=2為的極小值點(diǎn). 5.(2012·福建高考文科·T12)已知,且.現(xiàn)給出如下結(jié)論:①;②;③;④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【解題指南】首先要構(gòu)畫函數(shù)的草圖,因此,要求導(dǎo),分析單調(diào)性,然后分別求出,,,再判斷各命題的真假. 【解析】選C. f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 函數(shù)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c)=0,所以
4、a∈(-∞,1),b∈(1,3),c∈(3,+∞), f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc. 又因?yàn)閒(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b[(b-3)2-ac]=0,所以ac為正數(shù),所以a為正數(shù),則有f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,所以②③正確. 6.(2012·江西高考理科·T10)如右圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記,截面下面部分的體積為,則函數(shù)的圖象大致為( ) A B
5、 C D 【解題指南】分與兩種情況討論,當(dāng)時(shí),將截面上面部分的幾何體分割為兩個(gè)錐體,用間接法求出截面下面部分的體積V(x),然后通過(guò)V(x)的解析式得到圖象,當(dāng)時(shí),同理可得。 【解析】選A . ①當(dāng)時(shí),截面為五邊形,如圖所示 由面QEPMN,且?guī)缀误w為正四棱錐,棱長(zhǎng)均為1, 易推出,,,四邊形OEQN和OEPM均為全等的直角梯形,此時(shí) = = 求導(dǎo)可知在上為減函數(shù),且 ②當(dāng)時(shí),截面為等腰三角形,如圖所示: 此時(shí) 易知在上亦為減函數(shù),且,根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征可知選項(xiàng)A符合. 7.(2012·遼寧高考理科·T12)若,則
6、下列不等式恒成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 【解析】選C. 令,則(x0),故為定義域上的增函數(shù),.所以. 8.(2012·山東高考文科·T12)設(shè)函數(shù),.若的圖象與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是( ) (A) (B) (C) (D) 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性. 【解析】選B.設(shè),則方程與同解,故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).由得或.這樣,必須且只須或,因?yàn)椋时赜杏纱说?/p>
7、.不妨設(shè),則.所以,比較系數(shù)得,故.,由此知,故答案為B. 9.(2012·山東高考理科·T12)設(shè)函數(shù),若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是( ) A.當(dāng)時(shí), B. 當(dāng)時(shí), C. 當(dāng)時(shí), D. 當(dāng)時(shí), 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性. 【解析】選B.令,則,設(shè),。令,則,要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)只需,整理得,于是可取來(lái)研究,當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí),此時(shí);當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí),此時(shí).答案應(yīng)選B。 另解:令可得。 設(shè) 不妨設(shè),結(jié)合圖形可知, 當(dāng)時(shí)如右圖,此時(shí), 即,此時(shí)
8、,,即;同理可由圖形經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)時(shí).答案應(yīng)選B。 二、解答題 10. (2012·山東高考理科·T22)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意. 【解題指南】(1)由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問(wèn)題. 【解析】(Ⅰ) 由得 由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知, 解得:. (Ⅱ),,令可得, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。 于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù)。 (Ⅲ), 因此,對(duì)任意,等價(jià)于.
9、令, 則, 因此,當(dāng)單調(diào)遞增; 當(dāng)單調(diào)遞減. 所以的最大值為, 故 設(shè). 因?yàn)椋? 所以時(shí),,單調(diào)遞增, , 故時(shí),, 即 所以. 因此,對(duì)任意. 11.(2012·山東高考文科·T22)已知函數(shù)為常數(shù),e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行. (Ⅰ)求k的值; (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意. 【解題指南】(1)由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解的最值. 【解析】 (I), 由已知,,∴. (II)由(I)知,. 設(shè),則,
10、即在上是減函數(shù), 由知,當(dāng)時(shí),從而, 當(dāng)時(shí),從而. 綜上可知,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. (III)由(II)可知,當(dāng)時(shí),≤0<1+,故只需證明在時(shí)成立. 當(dāng)時(shí),>1,且,∴. 設(shè),,則, 當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 所以當(dāng)時(shí),取得最大值. 所以. 綜上,對(duì)任意,. 12.(2012·江西高考理科·T21)若函數(shù)h(x)滿足 (1)h(0)=1,h(1)=0; (2)對(duì)任意,有h(h(a))=a; (3)在(0,1)上單調(diào)遞減. 則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論; (2)若存在,使得h(m)=m,稱m是函數(shù)h(x
11、)的中介元,記時(shí),h(x)的中介元為xn,且,若對(duì)任意的,都有Sn< ,求的取值范圍; (3)當(dāng)=0,時(shí),函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方,求P的取值范圍。 【解題指南】判斷是否為補(bǔ)函數(shù),即是看是否滿足上述三條性質(zhì),可逐條驗(yàn)證; (1) 先根據(jù)中介元的定義求出中介元,再對(duì)求和,求得,通過(guò)解不等式,求得的取值范圍; (2) 函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方,則說(shuō)明恒成立,然后分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求得最值,最終得到的取值范圍。 【解析】(1)函數(shù)是補(bǔ)函數(shù).證明如下: ①,; ②對(duì)任意,有 ; ③令有, 因?yàn)樗援?dāng)時(shí),,所以
12、函數(shù)在上單調(diào)遞減. (2)當(dāng),由,得: (i)當(dāng)時(shí),中介元; (ii)當(dāng)且時(shí),由(*)得或; 得中介元. 綜合(i)(ii):對(duì)任意的.中介元為, 于是,當(dāng)時(shí), 有 當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于0,無(wú)限接近于, 故對(duì)任意的,成立等價(jià)于,即. (3)當(dāng)時(shí),,中介元為, (i)當(dāng)時(shí),,中介元為, 所以點(diǎn)不在直線的上方,不符合條件; (ii)當(dāng)時(shí),依題意只須在時(shí)恒成立, 也即在時(shí)恒成立, 設(shè),則. 由得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),恒成立. 綜上:的取值范圍是. 13.(2012·江西高考文科·T21)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減
13、且滿足f(0)=1,f(1)=0. (1)求a的取值范圍; (2)設(shè)g(x)= f(-x)- f′.(x),求g(x)在上的最大值和最小值。 【解題指南】(1)利用f(0)=1,f(1)=0將用表示出來(lái),然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減在上恒成立,然后通過(guò)分類討論求得a的取值范圍; (2)化簡(jiǎn)g(x)= f(-x)- f′(x),通過(guò)對(duì)g(x)求導(dǎo),然后分類討論求最值。 【解析】(1)由得, 則 依題意須對(duì)于任意,有. 當(dāng)時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象開(kāi)口向上,而,所以須,即; 當(dāng)時(shí),對(duì)任意有,符合條件; 當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,,符合條件; 當(dāng)時(shí),因,不符合條件.
14、 故的取值范圍為. (2)因, (i)當(dāng)時(shí),,在上取得最小值,在上取得最大值. (ii)當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,有,在取得最大值,在取得最小值. (iii)當(dāng)時(shí),由得. ① 若,即時(shí),在上單調(diào)遞增,在取得最小值,在取得最大值. ② 若,即時(shí),在取得最大值,在或取得最小值,而, 則當(dāng)時(shí),在取得最小值; 當(dāng)時(shí),在取得最小值. 14.(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T21)已知函數(shù)滿足滿足; (1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間; (2)若,求的最大值。 【解題指南】(1)求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)已知條件求得的解析式,最后求單調(diào)區(qū)間。 (2),,通過(guò)研究的性質(zhì),求得的最大值,注意分類討論。
15、 【解析】(1) 令得: 得: 在上單調(diào)遞增 得:的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為 (2)得 ①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增 時(shí),與矛盾 ②當(dāng)時(shí), 得:當(dāng)時(shí), 令;則 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),的最大值為 15.(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·T21)設(shè)函數(shù)f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (
16、Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),(x-k) f′(x)+x+1>0,求k的最大值 【解題指南】(1)先確定函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)函數(shù),因不確定的正負(fù),故應(yīng)討論,結(jié)合的正負(fù)分別得出在每一種情況下的正負(fù),從而確立單調(diào)區(qū)間; (2)分離參數(shù),將不含有參數(shù)的式子看作一個(gè)新函數(shù),將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最值問(wèn)題。 【解析】(1) 的定義域?yàn)?. 若,則,所以在單調(diào)遞增. 若,則當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), >0, 所以, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (II)由于,所以. 故當(dāng)時(shí), 等價(jià)于 ① 令,則. 由(I)知,函數(shù)在單調(diào)遞增.而,所以在存在唯一的零點(diǎn).故在
17、存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為,則. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在的最小值為.又由,可得,所以. 由于①式等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為2. 16.(2012·安徽高考理科·T19)設(shè) (I)求在內(nèi)的最小值; (II)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為;求的值。 【解題指南】(1)設(shè);則 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點(diǎn)的切線方程為,則,解出的值. 【解析】(I)設(shè);則 ①當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù) 得:當(dāng)時(shí),的最小值為 ②當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為 (II)
18、 由題意得: 17.(2012·安徽高考文科·T17)設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù) (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值。 【解題指南】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點(diǎn)的切線方程為,則,解出的值. 【解析】(I) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為 (II)由題意得: ① ② 由①②得: 18.(2012·遼寧高考理科·T21)設(shè),曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切。 (1)求的值。 (2)證明:當(dāng)時(shí),。 【解題指南】(1)
19、點(diǎn)在曲線上,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程;同時(shí)據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立另一個(gè)方程,求出a,b;(2) 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】(1)由得圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)得b=0; 由在點(diǎn)(0,0)的切線斜率, 則 (2)證明:當(dāng)時(shí), 令,則 令,則當(dāng)時(shí), 因此在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又 則時(shí), 所以時(shí),,即在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù), 由,則時(shí), 故時(shí), 19.(2012·遼寧高考文科·T21)設(shè),證明: (Ⅰ)當(dāng)x﹥1時(shí), ﹤ ( ) (Ⅱ)當(dāng)時(shí), 【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】
20、(1)記,則 當(dāng)時(shí),,所以在上為減函數(shù),則當(dāng)時(shí),, 所以,即 (2)記, 則由(1)得 當(dāng)時(shí),,則 因此函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減, 所以時(shí), 即 20.(2012·陜西高考理科·T21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù) (Ⅰ)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn); (Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍; (Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性. 【解題指南】(1)根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷;(2)需要進(jìn)行分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(3)通過(guò)轉(zhuǎn)化,可得關(guān)系。 【解析】(Ⅰ)當(dāng),,時(shí),. ∵,∴在內(nèi)存在
21、零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí),,∴在上是單調(diào)遞增的, ∴在內(nèi)存在唯一零點(diǎn). (Ⅱ) 當(dāng)時(shí),,對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下: (ⅰ)當(dāng),即時(shí),,與題設(shè)矛盾; (ⅱ)當(dāng),即時(shí),恒成立; (ⅲ)當(dāng),即時(shí),恒成立. 綜上可知,的取值范圍是. 注:(ⅱ)與(ⅲ)也可合并證明如下: 用表示中的較大者. 當(dāng),即時(shí), 恒成立. (Ⅲ)(證法一) 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)(),則, ,,于是有 , 又由(Ⅰ)知在上是遞增的,故. 所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列. 證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn), , 則的零點(diǎn)在內(nèi),故. 所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列. 21.(2
22、012·陜西高考數(shù)學(xué)文科·T21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù) (1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn); (2)設(shè)n為偶數(shù),,,求b+3c的最小值和最大值; (3)設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍. 【解題指南】(1)根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷;(2)把兩個(gè)絕對(duì)值不等式列出表達(dá)式,然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題;或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行變形整理,直接整理出結(jié)果;(3)需要進(jìn)行分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 【解析】(Ⅰ)當(dāng),,時(shí),. ∵,∴在內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí),,∴在上是單調(diào)遞增的, ∴在內(nèi)存在唯一零點(diǎn). (Ⅱ)(方法一)∵,,, ∴,又,所以,
23、 以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo)畫出可行域,如圖所示, 觀察可行域可知,在點(diǎn)取到最小值,在點(diǎn)取到最大值0, ∴的最小值為,最大值為0. (方法二)由題意可得, ,即, ① ,即, ② ①2+②得:, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),, 所以的最小值為,最大值為0. (方法三)由題意知,解得, 所以 又∵,,∴,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的最小值為,最大值為0. (Ⅲ)當(dāng)時(shí),,對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下: (?。┊?dāng),即時(shí),,與題設(shè)矛盾; (ⅱ)當(dāng),即時(shí),恒成立; (ⅲ)當(dāng),即時(shí),恒成立. 綜上可知,的取值范圍是. 注:(ⅱ)與(ⅲ)也可合并證
24、明如下: 用表示中的較大者. 當(dāng),即時(shí), 恒成立. 22.(2012·浙江高考理科·T22)(本題滿分14分)已知>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2bx-a+b。 (Ⅰ)證明:當(dāng)0x1時(shí), (1)函數(shù)f(x)的最大值為 (2); (Ⅱ)若對(duì)x∈恒成立,求的取值范圍。 【解題指南】本題是用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì),求最值時(shí)需分類討論求解,要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,同時(shí)求的取值范圍時(shí)需化為線性規(guī)劃問(wèn)題解決。 【解析】(Ⅰ)(1) 當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù) = 當(dāng)時(shí),若,即時(shí),在上為減函數(shù) = 若,即時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù) 而,, ∴當(dāng)時(shí), = 當(dāng)
25、時(shí), = (2)由于,故 當(dāng)時(shí),+|2a-b|﹢a= 當(dāng)時(shí),+|2a-b|﹢a= 設(shè),則 于是 0 1 - 0 + 1 減 極小值 增 1 所以, 所以,當(dāng)時(shí), 即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a, 且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤≤1對(duì)x[0,1]恒成立, ∴. 即和,目標(biāo)函數(shù)為z=a+b. 作圖如下: 由圖易得:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過(guò)P(1,2)時(shí),有;過(guò)Q(0,-1)時(shí),有.
26、∴所求a+b的取值范圍是. 23.(2012·浙江高考文科·T21)(本題滿分15分)已知a∈R,函數(shù). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (2)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+ >0. 【解題指南】考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)時(shí)要注意分類討論,而不等式證明可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題。 【解析】(1) 當(dāng)時(shí),,在(-∞,+∞)為增函數(shù) 當(dāng)時(shí), 令,得 令,得 所以在上單增,在上單減,在上單增 綜上,當(dāng)時(shí), 為增函數(shù); 當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間。 (2)由(1)可得當(dāng)時(shí),在為增函數(shù),= 當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谏蠁卧?,在上單減,在上單增 若,即時(shí),在為減函數(shù)
27、,= ∴f(x)+ 若,即時(shí),在在上單減,在上單增,= 當(dāng)時(shí), f(x)+ 令,則,, 則>0 在為增函數(shù), 當(dāng)時(shí), f(x)+ 綜上,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+ >0. 24.(2012·北京高考理科·T18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a、b的值; (2) 當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1]上的最大值, 【解題指南】第(1)問(wèn),交點(diǎn)即在上也在上,在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問(wèn),構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)
28、求單調(diào)區(qū)間與最大值。 【解析】(1), 由已知可得,解得。 (2), ,令,得, , 由得,;由得,。 單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間為。 ,, 當(dāng),即時(shí),在上為增函數(shù), 當(dāng),即時(shí),在上增,在上減,所以在處取得唯一極大值也是最大值; 當(dāng),即時(shí),在上增,在上減,在上增,且,。 綜上,當(dāng)時(shí),f(x)+g(x)的最大值為;當(dāng)時(shí),f(x)+g(x)的最大值為1。 25.(2012·北京高考文科·T18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (I) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求,a,b的值; (II)
29、當(dāng)a=3,b=-9時(shí),若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,求k的取值范圍。 【解題指南】第(1)問(wèn),交點(diǎn)即在上也在上,在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問(wèn),構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,結(jié)合h(x)的圖象,即可求出k的取值范圍。 【解析】(1), 由已知可得,解得。 (2) ,令,得 -3 1 + 0 - 0 + 增 28 減 -5 增 當(dāng)時(shí),取極大值38;當(dāng)時(shí),取極小值-5。 而, 如果在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,則。 26.(2012·湖南高考理科·T22)已知函數(shù)f(x)=eax-
30、x,其中a≠0。 (1) 若對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合。 (2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),記直線AB的斜率為K,問(wèn):是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為,從而得出a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)
31、,研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來(lái)進(jìn)行分析判斷. 【解析】(Ⅰ)若,則對(duì)一切,,這與題設(shè)矛盾,又, 故. 而令 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值 于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) . ① 令則 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減. 故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),①式成立. 綜上所述,的取值集合為. (Ⅱ)由題意知, 令則 令,則. 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增. 故當(dāng),即 從而,又 所以 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使單調(diào)遞增,故這樣的是唯一的,且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), .
32、綜上所述,存在使成立.且的取值范圍為
.
27.(2012·湖南高考文科·T22)(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函數(shù)f(x)的圖象上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1 33、合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
【解析】令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,
令則
令,則.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
故當(dāng),即
從而,又
所以
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使即成立.
28.(201 34、2·江蘇高考·T18)(本小題滿分16分)若函數(shù)y=f(x)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a和b的值;
(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點(diǎn);
(3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解題指南】(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。(2)由(1)得,,求出,令,求解討論即可。(3)比較復(fù)雜,先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況;再考慮函數(shù)的零點(diǎn)。
【解析】(1)由得
又因1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).所以的兩個(gè)根為1和。由根與系數(shù)的關(guān)系得
所以a=0,b=-3此時(shí)
(2)由得
當(dāng)時(shí)即 35、,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。
當(dāng)時(shí)即,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。
所以函數(shù)的極大值點(diǎn)。
(3)令,則。
先討論關(guān)于的方程 根的情況:
當(dāng)時(shí),由(2)可知,的兩個(gè)不同的根為1 和一2 ,注意到是奇函數(shù),∴的兩個(gè)不同的根為一和2。
當(dāng)時(shí),∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
① 當(dāng)時(shí), ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而。
此時(shí)在無(wú)實(shí)根。
② 當(dāng)時(shí).,于是是單調(diào)增函數(shù)。
又∵,,的圖象不間斷,
∴ 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實(shí)根。
同理,在(一2 ,一1 )內(nèi)有唯一實(shí)根。
③ 當(dāng)時(shí),,于是是單調(diào)減兩數(shù)。
又∵, ,的圖象不間斷,
∴在(一1,1 )內(nèi)有唯一實(shí)根 36、。
因此,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的根滿足;當(dāng) 時(shí)
有三個(gè)不同的根,滿足。
現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn):
( i )當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,滿足。
而有三個(gè)不同的根,有兩個(gè)不同的根,故有5 個(gè)零點(diǎn)。
( 11 )當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,滿足。
而有三個(gè)不同的根,故有9 個(gè)零點(diǎn)。
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。
29.(2012·福建高考理科·T20) (本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ) 若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(本題的切線正好是x軸,應(yīng)改為垂直于y軸)
(Ⅱ) 試確定的取值范圍,使得曲線上存在唯一的點(diǎn)P,曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P 37、.
【解題指南】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一元二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,抽象概括能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類與整合思想,有限與無(wú)限思想.
【解析】(Ⅰ)由于
曲線在點(diǎn)處的切線斜率為
所以,即
此時(shí),由得
當(dāng),有,
當(dāng),有,
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn);
曲線在點(diǎn)處的切線方程為
令;
故曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有唯一零點(diǎn).
因?yàn)?,?
⑴若時(shí), 當(dāng)時(shí),,則時(shí),
當(dāng)時(shí),,則時(shí),
故只有唯一零點(diǎn),由的任意性,不符合條件.
⑵若,令
則,
38、令,得
記
則當(dāng)時(shí),,從而在內(nèi)單調(diào)遞減;
則當(dāng)時(shí),,從而在內(nèi)單調(diào)遞增;
①當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),,知在上單調(diào)遞增
所以函數(shù)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)時(shí),由于在內(nèi)單調(diào)遞增,且,
則當(dāng)時(shí),有,
任取,有
又當(dāng)時(shí),易知
其中,,
由于,則必存在,使得
所以,故在內(nèi)存在零點(diǎn),即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。
③若,仿②并利用,可證函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)
綜上所述,當(dāng)時(shí),曲線上存在唯一的點(diǎn)使該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)
30.(2012·廣東高考理科·T21)(本小題滿分14分)
設(shè)a<1,集合,
(1)求集合D(用區(qū)間表示)
(2)求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)。
【解題 39、指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造,
因?yàn)?因?yàn)?所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進(jìn)行討論。
(2)因?yàn)?,
所以由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。
然后分別和時(shí),的極值即可.
【解析】(1)令
時(shí),,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,又
,
時(shí),
時(shí),
時(shí),.
時(shí),
,
綜上得時(shí),
時(shí),
時(shí),
時(shí), .
(2)
在上是增函數(shù),在是減函數(shù),
由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。
時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。
時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)
31.(2012·廣東高考文科·T21)同(2 40、012·廣東高考理科·T21)
設(shè),集合.
(1)求集合(用區(qū)間表示)
(2)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn).
【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造,
因?yàn)?因?yàn)?所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進(jìn)行討論。
(2)因?yàn)?,
所以由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。
然后分別和時(shí),的極值即可.
【解析】(1)令
時(shí),,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,又
,
時(shí),
時(shí),
時(shí),.
時(shí),
,
綜上得時(shí),
時(shí),
時(shí),
時(shí), .
(2)
在上是增函數(shù),在是減函數(shù),
由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。
時(shí),在D內(nèi) 41、有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。
時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)。
32.(2012·湖北高考文科·T22)(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù),n為正整數(shù),a,b為常數(shù),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值
(3)證明:f(x)< .
【解題指南】本題考查導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)中的應(yīng)用,本題(1)易解,(2)問(wèn)中直接求導(dǎo),求零點(diǎn)討論單調(diào)性求解;(3)要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明(
【解析】(1).因?yàn)?,由點(diǎn)(1,f(1))在x+y=1上,則1+b=1,所以b=0.又,又切線x+y=1的斜率為-1,則a=1.
故: 42、a=1,b=0.
(2).由(1)知,
,.令
得,即在(0,+)上有唯一零點(diǎn).在(0, )上,,故單調(diào)遞增;而在(,+)上, ,故單調(diào)遞減.
故.
(3).令則.在(0,1)上, ,故單調(diào)遞減;而在(1,+)上, ,故單調(diào)遞增,所以在(0,+)上的最小值為.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知上式成立.故 f(x)< .
33.(2012·天津高考理科·T20)
已知函數(shù)的最小值為,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明.
【解題指南】(1)由導(dǎo)數(shù)求得最小值得出a的值;
(2) 當(dāng)K>0時(shí)設(shè)函數(shù),將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題 43、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解;
(3) 對(duì)a進(jìn)行討論,綜合應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明。
【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?
由,當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:
__
0
+
極小值
因此,在x=1-a處取得最小值,故由題意。
(2) 當(dāng)時(shí),取x=1,有不合題意。
當(dāng)k>0時(shí),令即
令,
①當(dāng)時(shí),在上恒成立,因此g(x)在上單調(diào)遞減。從而對(duì)于任意的,總有,即上恒成立。故符合題意。
②當(dāng)對(duì)于內(nèi)單調(diào)遞增。因此當(dāng)取,即不成立,故不合題意。
綜上,的最小值為。
(3) 當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立,
當(dāng)時(shí),
=
=,
在(2)中取,得,從而
,所以有
=
=,
綜上,.
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