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1.2矩形的性質(zhì)與判定 第1課時 矩形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 1.了解矩形的定義，感受矩形與平行四邊形之間的聯(lián)系，并能通過推理得到矩形的性質(zhì). 2.發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并能熟練運用矩形的性質(zhì)． 【過程與方法】 經(jīng)歷探索矩形的定義及性質(zhì)的過程，通過直觀操作和簡單的說理過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，主動探究習(xí)慣，逐步掌握說理的基本方法． 【情感態(tài)度價值觀】 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識． 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 矩形定義及其性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程． 【教學(xué)難點】 矩形的性質(zhì)在解決問題中的應(yīng)用． 課前準(zhǔn)備 多媒體課件、平行四邊形模型、三角板. 教學(xué)過程 教學(xué)活動 教學(xué)步驟 師生活動 設(shè)計意圖 活動 一： 創(chuàng)設(shè) 情境 導(dǎo)入 新課 【課堂引入】 教師：我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)．大家還記得平行四邊形都有哪些特殊的性質(zhì)嗎？ 學(xué)生：對邊平行且相等；對角相等；對角線互相平分． 教師：同學(xué)們掌握得非常熟練，這些都是平行四邊形相對于普通四邊形而言所具有的特殊的性質(zhì)，同樣對于平行四邊形來說還有一些更特殊的平行四邊形，例如我們之前學(xué)習(xí)的菱形，今天我們就來研究另一種特殊的平行四邊形——矩形． (教師板書課題：第1課時　矩形的性質(zhì)) 通過對平行四邊形性質(zhì)的復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)的知識，同時，利用平行四邊形是特殊的四邊形引導(dǎo)學(xué)生思考：還有沒有特殊的平行四邊形？進(jìn)而引入新課．學(xué)生對矩形的概念有基本的了解，比較容易想到和接受. 活動 二： 實踐 探究 交流新知 【探究1】 矩形的定義 教師：同學(xué)們知道矩形特殊在什么地方嗎？我們來看一下矩形的定義：(課件展示變化的過程) 圖1－2－10 定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)． 【探究2】 矩形的性質(zhì)定理 教師：同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生：矩形是特殊的平行四邊形． 教師：所以矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即矩形的一般性質(zhì)：具備平行四邊形所有的性質(zhì)．(課件展示) 請同學(xué)們畫出一個矩形，結(jié)合圖形探究一下，矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)外還有哪些特殊的性質(zhì)呢？ 學(xué)生動手畫圖，結(jié)合圖形思考并給出結(jié)論． 教師結(jié)合學(xué)生給出的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生分別從邊、角、對角線三個方面來探究． 學(xué)生：邊：矩形的對邊平行且相等． 角：矩形的對角相等． 對角線：矩形的對角線互相平分． 教師：這些都是平行四邊形具有的性質(zhì)，我們說矩形是特殊的平行四邊形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形圖形) 學(xué)生猜想：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等． 教師：同學(xué)們給出了兩個特殊的性質(zhì)，對不對呢？我們一起來驗證一下：(課件展示) 矩形的四個角都是直角． 已知：如圖1－2－12，四邊形ABCD是矩形，∠C＝90°. 求證：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 圖1－2－12 　　證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C＝90°，∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180－∠C＝90°. ∴∠D＝∠B＝90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 注意：證明的過程由學(xué)生口答后教師課件展示． 教師：我們通過證明發(fā)現(xiàn)矩形的角都很特殊，都是直角，那么它的對角線也像大家猜想的那樣——相等嗎？ 學(xué)生：是，可以通過全等證明． 教師：看來有的同學(xué)探究得比較深入，下面我們來看一看結(jié)果到底對不對．(課件展示) 矩形的對角線相等． 已知：如圖1－2－13，四邊形ABCD是矩形． 求證：AC＝BD. 圖1－2－13 證明：在矩形ABCD中， ∵∠ABC＝∠DCB＝90°， AB＝DC，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS)， ∴AC＝BD. 師生共同分析并由課件展示證明過程． 教師：我們證明了這兩個性質(zhì)，那么我們就可以在解決問題的過程中使用了，如果使用這兩個定理的話，同學(xué)們會用數(shù)學(xué)符號表示嗎？ 學(xué)生口答，同時教師板書． (1)∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. (2)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC＝BD. 【探究3】 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 教師：下面請同學(xué)們結(jié)合矩形的性質(zhì)來填空．(課件展示) 圖1－2－14 　　練一練：如圖1－2－14，在矩形ABCD中： ①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__； ②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°； ③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__. 學(xué)生口答填空. 教師：請同學(xué)們看圖1－2－15并思考：在Rt△ABC中，斜邊AC上的中線是__________，它與斜邊的關(guān)系是OB＝__________AC. 圖1－2－15 學(xué)生：斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB＝AC. 教師：我們用語言文字?jǐn)⑹鲆幌戮褪牵褐苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半. 教師：這個結(jié)論是不是對于任意直角三角形都正確呢？ 學(xué)生：是，因為任意一個直角三角形都可以看作是矩形的一半. 教師：同學(xué)們說得非常好，這就是我們解決問題的思路，將直角三角形轉(zhuǎn)化到矩形中進(jìn)行證明. 教師：通過上面的練習(xí)大家想一下：OA，OB，OC，OD之間有什么關(guān)系？ 學(xué)生：它們都相等. 教師：那么圖中有沒有特殊的三角形呢？ 學(xué)生：有等腰三角形，它們分別為△OAB，△OBC，△OCD，△OAD. 教師：通過探究我們發(fā)現(xiàn)，矩形中的一些特殊的結(jié)論是比較多的，不知道同學(xué)們能不能記住并理解. 學(xué)生：能. 教師：只有真正地理解并掌握了，我們才能在具體問題中靈活運用，下面我們來試一下. 　　如圖1－2－16，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，圖中相等的線段有哪些？若∠AOD＝120°，AB＝4 cm，求矩形對角線的長. 圖1－2－16 學(xué)生自主解答并書寫解答過程. 解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，(矩形的對角線相等且互相平分) ∴OA＝OD. 故相等的線段有OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD. ∵∠AOD＝120°， ∴∠OAD＝∠ODA＝＝30°. 又∵∠BAD＝90°(矩形的四個角都是直角)， ∴BD＝2AB＝2×4＝8(cm). 故這個矩形的對角線的長為8 cm. 學(xué)生理解并記憶這個題目的解答過程. 教師：同學(xué)們來想一想，還有沒有其他的方法來求矩形對角線的長呢？ 教師：這道題還可以這樣想：(展示多媒體) ∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×4＝8(cm). 請同學(xué)們自己完成這個題目的解答過程. 想一想： 教師：大家根據(jù)矩形的性質(zhì)思考一下：矩形是中心對稱圖形嗎？矩形是軸對稱圖形嗎？對稱軸有幾條？試一試. 學(xué)生：矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．矩形的對稱軸有兩條，分別是過對邊中點的直線. 注意：學(xué)生回答的同時要求學(xué)生動手畫出相應(yīng)的對稱軸. 從變化的圖形中讓學(xué)生歸納出矩形的定義．問題的提出沒有任何的約束與限制，給每一個學(xué)生都留下了一個廣闊的探究空間，學(xué)生在體會與回味中進(jìn)行獨立思考． 通過證明驗證猜想的結(jié)論，讓學(xué)生更深刻的理解并掌握相關(guān)的性質(zhì)，同時感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思考能力，學(xué)生感受矩形與平行四邊形的關(guān)系，最后歸納驗證矩形的性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、猜想、歸納、驗證的數(shù)學(xué)思維． 通過對矩形對角線的探索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的結(jié)論．讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是簡單做題，而應(yīng)該是不斷地優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，完善知識體系. 通過對例題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉矩形的性質(zhì)，并能熟練地應(yīng)用．此題并不是太難，學(xué)生也容易解決，教學(xué)中要大膽讓學(xué)生自己探索，盡量讓學(xué)生獨立完成．另外，要注意引導(dǎo)學(xué)生解題的多樣化，不能局限于課本上的解法，只要學(xué)生的解答合理就應(yīng)給予肯定．這里一共給出了兩種解法，對于第二種解法，可以留給學(xué)生，讓學(xué)生在課下完成，以便節(jié)約課堂教學(xué)時間，提高教學(xué)效果. 活動 三： 開放 訓(xùn)練 體現(xiàn) 應(yīng)用 【應(yīng)用舉例】 例1　[桂林中考] 如圖1－2－17，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數(shù)是________. 圖1－2－17 圖1－2－18 例2　如圖1－2－18，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜邊AC上的中線. (1)若BO＝3 cm，則AC＝______ cm； (2)若BO＝6.5 cm，AB＝5 cm，則BC＝______ cm. 對問題的思考讓學(xué)生對矩形有更深刻的認(rèn)識，在思考的同時可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步加深對矩形性質(zhì)的理解. 【拓展提升】 例1　[鄂州中考] 如圖1－2－19，在矩形ABCD中，AD＝3AB，點G，H分別在AD，BC上，連接BG，DH，且BG∥DH，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，四邊形BHDG為菱形(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 圖1－2－19 圖1－2－20 例2　[安順中考] 如圖1－2－20，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為__________. 練習(xí)題的設(shè)置一方面可以加強學(xué)生對知識的掌握，從而提高對知識的運用能力，另一方面可以查漏補缺，為以后教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)指明方向. 活動 四： 課堂 總結(jié) 反思 教師：這節(jié)課你學(xué)到了什么？還有什么困惑嗎？ 學(xué)生：矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形. 矩形的性質(zhì)：平行四邊形的一切性質(zhì)，四個角都是直角，對角線相等. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 教師：同學(xué)們說得非常好，下面我們再來回顧一下本節(jié)課的主要內(nèi)容：(課件展示 讓學(xué)生自己回顧反思課堂知識，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 【當(dāng)堂訓(xùn)練】 1.課本P13中的隨堂練習(xí) 2.課本P13習(xí)題1.4中的T1、T2、T3. 當(dāng)堂檢測，及時反饋學(xué)習(xí)效果. 【板書設(shè)計】 　　　　第1課時　矩形的性質(zhì) 1. 投影展示引入　　　例1(多媒體展示) 矩形的定義： 2. 矩形的性質(zhì)： 角：　　　　　練習(xí) 邊： 對角線： 提綱挈領(lǐng)，重點突出. 活動四：課堂總結(jié)反思 【教學(xué)反思】①[授課流程反思] _______________________________________________ _______________________________________________②[講授效果反思] 在平行四邊形及菱形的教學(xué)后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會自主探索的方法，自己動手猜想驗證矩形的一些特殊性質(zhì)，對于一些相關(guān)矩形的計算也學(xué)會應(yīng)用轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法來解決．總的看來這節(jié)課學(xué)生掌握得還不錯，當(dāng)然合情推理要慢慢地熟練，不可能一下就掌握熟練．這需要我們不斷加強學(xué)生的課后輔導(dǎo)，以鞏固新知，提升學(xué)生能力. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠接受有關(guān)矩形的知識．但是學(xué)生的動手操作能力還有待提高. ③[師生互動反思] ______________________________________________________________________________________________ ④[習(xí)題反思] 好題題號_______________________________________ 錯題題號_______________________________________ 反思，更進(jìn)一步提升. - 7 -