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1、第1章 矢量分析,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,四、標(biāo)量場的梯度,六、矢量場的旋度,五、矢量場的散度,七、重要的場論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場 等,如：溫度 T、長度 L 等,,例1：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,,,,,,,,,力的圖示法：,二、矢量的

2、運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿足交換律：,b.滿足結(jié)合律：,,,,,,,,,,,,,,三個(gè)方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運(yùn)算：,所以：,,,,,,在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:,,,,,其中：,矢量：,模的計(jì)算：,單位矢量：,方向角與方向余弦：,在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：,,,,2.減法：換成加法運(yùn)算,,,,,,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,,,,,,,,,,,,,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：,3.乘法：,（1）標(biāo)量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：,,,,,,在直角坐標(biāo)系中

3、，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積：,結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分配律,推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結(jié)合律：,推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)

4、量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。,定義：,,含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。,在直角坐標(biāo)系中：,b.矢量三重積：,例2：,解：,則：,設(shè),,,例3： 已知,求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,,,,,其中：k 為任意實(shí)數(shù)。,,,C,A,B,,,,,,,,解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則,三、矢量微分元：線元、面元、體元,例：,其中： 和 稱為微分元。,1. 直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變

5、量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。,線元：,,,面元：,體元：,2. 圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,3. 球坐標(biāo)系,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：,b. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度， 其對應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：,注意：,在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長度，其線元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正

6、系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元。,體元：,線元：,面元：,正交曲線坐標(biāo)系：,四、標(biāo)量場的梯度,1. 標(biāo)量場的等值面,可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場為例：,,,熱源,等溫面,,,,,b.梯度,定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,2. 標(biāo)量場的梯度,a.方向?qū)?shù)：,空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。,為最大的方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場的場函數(shù)為,計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在任意正交曲線坐標(biāo)系中：,在不同

7、的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：,在直角坐標(biāo)系中：,五、矢量場的散度,1. 矢線（場線）：,在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。,表達(dá)式：,若曲面為閉合曲面：,,,,,,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。,b. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量。,3.

8、 散度：,a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。,b.表達(dá)式：,c.散度的計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。,矢量場 表示為：,因?yàn)椋?則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：,整個(gè)封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：,該閉合曲面所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,正交曲線坐標(biāo)系中：,直角坐標(biāo)系中：,常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式,六、矢量場的旋度,1. 環(huán)量：,在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量

9、沿該曲線積分稱之為環(huán)量。,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。,2. 旋度:,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。,表達(dá)式：,旋度計(jì)算：,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：,場矢量：,其中： 為x 方向的環(huán)量密度。,,,旋度可用符號表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:,,類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：,對于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。,3. 斯托克斯定理：,物理含義： 一個(gè)矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。,七、重要的場論公式,1. 兩個(gè)零恒等式,任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。,任何矢量場的旋度的散度恒為零。,,,,,,,在圓柱坐標(biāo)系中：,,在球坐標(biāo)系中：,,在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中：,3. 常用的矢量恒等式,