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1、（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 第一章知能優(yōu)化訓(xùn)練 1．為了得到函數(shù)y＝2sin(＋)，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y＝2sinx，x∈R的圖象上所有的點(diǎn)： ①向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)； ②向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)； ③向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)； ④向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)． 其中正確的是________． 解析：y＝2sinxy＝2sin(x＋)y＝2sin(x＋)． 答案：③ 2．函數(shù)y＝2si

2、n(＋)的周期、振幅依次是________． 答案：4π，2 3．已知函數(shù)y＝f(x)，f(x)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得到的曲線與y＝sinx的圖象相同，則y＝f(x)的函數(shù)表達(dá)式為________． 解析：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(2x－)． 答案：y＝sin(2x－) 4．函數(shù)y＝－2sin(4x＋)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，與原點(diǎn)最近的一點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)得x＝－(k∈Z)，易得k＝1時(shí)，x＝滿足題意． 答案：(，0) 一、填空題 1．一正弦曲

3、線的一個(gè)最高點(diǎn)為(，3)，從相鄰的最低點(diǎn)到這個(gè)最高點(diǎn)的圖象交x軸于點(diǎn)(－，0)，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－3，則這一正弦曲線的解析式為________． 解析：由T＝4×[－(－)]＝2，求得ω＝π，再利用當(dāng)x＝時(shí)，πx＋φ＝，求出φ. 答案：y＝3sin(πx＋) 2. 已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ≤)，且此函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ω，φ)的坐標(biāo)是________． 解析：由圖可知＝π－π＝，∴T＝π.又＝T，∴ω＝2.又圖象過(，0)，此點(diǎn)可看作“五點(diǎn)法”中函數(shù)的第三個(gè)點(diǎn)，故有2×＋φ＝π.∴φ＝. ∴點(diǎn)(ω，φ)的坐標(biāo)是(2，)． 答案：(2，) 3．要得到y(tǒng)＝

4、sin(＋)的圖象，需將函數(shù)y＝sin至少向左平移________個(gè)單位長度． 解析：將y＝sin的圖象向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位長度得y＝sin(＋)的圖象．令＝2kπ＋， ∴φ＝4kπ＋，k∈Z. ∴當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝π是φ的最小正值． 答案：π 4．對于函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)，給出下列結(jié)論： ①圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱； ②圖象關(guān)于直線x＝對稱； ③圖象可由函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度得到； ④圖象向左平移個(gè)單位長度，即得到函數(shù)f(x)＝2cos2x的圖象． 其中正確結(jié)論的序號為________． 答案：②④ 5．若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx

5、＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，則ω＝________，φ＝________. 解析：∵ω＝＝＝2，又f(0)＝，得sinφ＝，∴φ＝. 答案：2　 6．先將y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位，再變化各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)不變)，得到最小正周期為的函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(其中ω＞0)的圖象，則ω＝________，φ＝________. 解析：利用函數(shù)周期與表達(dá)式中x的系數(shù)的關(guān)系及函數(shù)圖象平移規(guī)律求解．因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為，所以ω＝3.又因?yàn)閷⒑瘮?shù)y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)y＝sin(x－)的圖象，故可判斷

6、函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)中φ＝－. 答案：3　－ 7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值等于________． 解析：由圖可知該函數(shù)的周期為8，得ω＝，A＝2，代入點(diǎn)(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sinx.根據(jù)對稱性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，從而f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝251×0＋2sin＋2sin＋2sinπ＝2(＋1)． 答案：2(＋1) 8．函

7、數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω＞0，|φ|＜π)對于任意x∈R滿足f(x)＝f(－x)和f(x)＝f(2－x)，在區(qū)間[0,1]上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則有ω＝________，φ＝________. 解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)且在[0,1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)min＝－3，所以sinφ＝－1，所以φ＝－.又因?yàn)閒(x)＝f(2－x)，所以f(x)的周期為2，所以ω＝＝π. 答案：π　－ 二、解答題 9．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(π，0)，若φ∈(－，)， (1)試

8、求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式； (2)用“五點(diǎn)法”畫出(1)中函數(shù)在[0，π]上的圖象． 解：(1)∵曲線上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)， ∴A＝. 又此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(，0)． ∴＝－，即T＝π，∴ω＝＝2. 取點(diǎn)(，)作為“五點(diǎn)法”中函數(shù)的第二個(gè)點(diǎn)． ∴2×＋φ＝，∴φ＝. 且∈(－，)． 故這條曲線的函數(shù)表達(dá)式為： y＝sin(2x＋)． (2)列出x、y的對應(yīng)值表： x － π π π 2x＋ 0 π π 2π y 0 0 － 0 作圖如下： 10．已知函數(shù)y＝sin(2x＋)＋，x∈R. (1)

9、求它的振幅、周期、初相； (2)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； (3)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得到？ 解：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝； (2)當(dāng)sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，取最大值＋＝.此時(shí)x＝kπ＋，k∈Z. (3)把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象，然后再把y＝sin(x＋)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，然后再把y＝sin(2x＋)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)＝sin(2x

10、＋)的圖象，最后把y＝sin(2x＋)的圖象向上平移個(gè)單位長度，就得到y(tǒng)＝sin(2x＋)＋的圖象． 11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為(x0,2)和(x0＋3π，－2)． (1)求f(x)的解析式； (2)將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，然后再將所得到的圖象向x軸正方向平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，寫出g(x)的解析式，并作出在長度為一個(gè)周期上的圖象． 解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0,1)代入解析式f(x)＝2sin(＋φ)，得2sinφ＝1. 又|φ|＜，解得φ＝. ∴f(x)＝2sin(＋)為所求． (2)壓縮后的函數(shù)解析式為y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x－)． 列表： x x－ 0 π 2π 2sin(x－) 0 2 0 －2 0 圖象如圖：