（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第6課時(shí) 雙曲線 課時(shí)闖關(guān)（含解析） [A級(jí)　雙基鞏固] 一、填空題 1．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3,0)，且焦距與實(shí)軸長(zhǎng)之比為5∶3，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：可求得a＝3，c＝5.焦點(diǎn)的位置在x軸上，所得的方程為－＝1. 答案：－＝1 2．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的漸近線方程為________． 解析：∵c＝， ∴c2＝13， ∴9＋a＝13，∴a＝4. 又∵焦點(diǎn)在x軸上，∴漸近線方程y＝±x. 答案：y＝±x 3．已知雙曲線－＝1的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率e為________． 解析：設(shè)m>0，n>0，∴?。?，∴＝. ∴＝.∴e＝. 設(shè)m<0，n<0.則－＝1，∴?。? ∴＝.∴＝.∴＝.∴e＝. ∴雙曲線的離心率為或. 答案：或 4．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為2，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：由題意得：a＝1，e＝＝2，所以c＝2，又由標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)在x軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)． 答案：(±2,0) 5．若方程＋＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：若方程表示雙曲線，則有或，解得－2<k<2或k>5. 答案：(－2,2)∪(5，＋∞) 6．如果雙曲線－＝1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：雙曲線的右準(zhǔn)線為l：x＝. 離心率為，從而|xP－|＝×2， ∴xP＝＝(因右焦點(diǎn)為F2(，0)．P點(diǎn)必在右支上，負(fù)根舍去)． 故點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為. 答案： 7．(2011·高考福建卷改編)設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2則曲線C的離心率為________． 解析：設(shè)|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k(k>0)． 若圓錐曲線為橢圓，則2a＝6k,2c＝3k，e＝＝. 若圓錐曲線為雙曲線，則2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝＝. 答案：或 8．設(shè)雙曲線x2－y2＝1的兩條漸近線與直線x＝圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D，點(diǎn)P(x，y)為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y的最小值為________． 解析：如圖所示 A，B. 而z＝x－2y，即y＝x＋. 過A時(shí)，zmin＝－2×＝－. 答案：－ 二、解答題 9．已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點(diǎn)P(3，－1)，若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 解：切點(diǎn)為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱， ∴兩漸近線方程為3x±y＝0. 設(shè)所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點(diǎn)P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 10．由雙曲線－＝1上的一點(diǎn)P與左、右兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成△PF1F2，求△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)坐標(biāo)． 解： 由雙曲線方程知a＝3，b＝2，c＝. 當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)， 如圖，N為內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)，根據(jù)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等及雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a， |NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a.① |NF1|＋|NF2|＝2c.② 由①②得|NF1|＝＝a＋c. ∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝a＋c－c＝a＝3. 故切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0)． 根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－3,0)． [B級(jí)　能力提升] 一、填空題 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)和C(5,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線－＝1上，則為________． 解析：設(shè)△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，由正弦定理得＝， 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知，A、C是雙曲線的焦點(diǎn)， 則在△ABC中b＝10，|c－a|＝8. 所以＝＝. 答案： 2．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若A＝B，則雙曲線的離心率是________． 解析：直線l：y＝－x＋a與漸近線l1：bx－ay＝0交于B，l與漸近線l2：bx＋ay＝0交于C，又A(a,0)，∴A＝， B＝. ∵A＝B，∴＝，b＝2a，∴c2－a2＝4a2， ∴e2＝＝5，∴e＝. 答案： 3．(2010·高考課標(biāo)全國(guó)卷改編)已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為________． 解析：由已知kAB＝＝1. 設(shè)E：－＝1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴－＝1，－＝1， 則－＝0， 而所以＝＝1，b2＝a2.① 又c2＝a2＋b2＝9，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5，∴E的方程為：－＝1. 答案：－＝1 4．已知雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，若在雙曲線的左支上能找到一點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)．則雙曲線離心率的取值范圍是________． 解析：設(shè)在左半支上存在P點(diǎn)，使|PF1|2＝|PF2|·d，由雙曲線的第二定義知＝＝e， 即|PF2|＝e|PF1|，① 再由雙曲線的第一定義，得 |PF2|－|PF1|＝2a，② 由式①、②，解得|PF1|＝，|PF2|＝. 由題意知：|PF1|＋|PF2|≥2c， ∴＋≥2c.③ 利用e＝，從式③得e2－2e－1≤0， 解得1－≤e≤1＋， ∵e>1，∴1<e≤1＋. 答案：(1,1＋] 二、解答題 5．已知二次曲線Ck的方程：＋＝1. (1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件； (2)若雙曲線Ck與直線y＝x＋1有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長(zhǎng)，求雙曲線方程； (3)m，n為正整數(shù)，且m<n，是否存在兩條曲線Cm、Cn，其交點(diǎn)P與點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，滿足·＝0？若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由． 解：(1)當(dāng)且僅當(dāng)即k<4時(shí)，方程表示橢圓； 當(dāng)且僅當(dāng)(9－k)(4－k)<0，即4<k<9時(shí)，方程表示雙曲線． (2)由化簡(jiǎn)得(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0. Δ≥0，即k≥6或k≤4(舍)． ∵雙曲線實(shí)軸最長(zhǎng)，∴k取最小值6時(shí)，9－k最大即雙曲線實(shí)軸最長(zhǎng)， 此時(shí)雙曲線方程為－＝1. (3)由(1)知C1、C2、C3是橢圓，C5、C6、C7、C8是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間也無公共點(diǎn)． 設(shè)|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}，則根據(jù)橢圓、雙曲線定義及·＝0(即PF1⊥PF2)， 應(yīng)有所以m＋n＝8， 所以這樣的Cm、Cn存在，且或或 6. (2012·江蘇揚(yáng)州調(diào)研)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，l1、l2為其漸近線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過F作直線l∥l2，且l交雙曲線C于點(diǎn)R，l1∩l＝M，又過點(diǎn)F作x軸的垂線與C交于第一象限內(nèi)的P點(diǎn)． (1)試用F、F表示F； (2)求證：為定值； (3)若F＝λ，且λ∈，試求雙曲線C的離心率e的范圍． 解：易知F(c,0)，P，直線l的方程為y＝－(x－c)． 由可得R； 又由可得M. (1)F＝，F(xiàn)＝(－c,0)，F(xiàn)＝. 令F＝m＋n， 即＝m(－c,0)＋n. ∴解得 ∴F＝F＋F. (2)證明：∵||＝?。?，||＝， ∴＝. (3)∵＝，∴由F＝λ，可得 λ＝＝＝1－， ∵<λ<，∴<1－<， 解得<e<. 故雙曲線C的離心率e的范圍為(，)．