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數(shù)量關(guān)系 —,,,第七章,第一部分 向量代數(shù),第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 — 點, 線, 面,基本方法 — 坐標(biāo)法; 向量法,坐標(biāo),,方程（組）,空間解析幾何與向量代數(shù),1,,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算,,,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標(biāo)系,五、向量的模、方向角、投影,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,向量及其線性運算,第七章,2,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,,則稱此 k,個向量共面 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4,,,,,,,,,,,,,,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,,5,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,6,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,7,3. 向量與數(shù)的乘法,? 是一個數(shù) ,,規(guī)定 :,可見,總之:,運算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8,定理1.,設(shè) a 為非零向量 , 則,,,(? 為唯一實數(shù)),, 取 ?＝±,,且,再證數(shù) ? 的唯一性 .,則,,,,取正號, 反向時取負(fù)號,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,9,則,,,例1. 設(shè) M 為,解:,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,10,,,,,,,,,三、空間直角坐標(biāo)系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點,坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,,,坐標(biāo)面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,11,向徑,在直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;,坐標(biāo)面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標(biāo) :,有序數(shù)組,,,,,,,,(稱為點 M 的坐標(biāo)),原點 O(0,0,0) ;,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,12,坐標(biāo)軸 :,,,,坐標(biāo)面 :,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,13,,2. 向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下,,設(shè)點 M,則,沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.,,,,,,,,,,的坐標(biāo)為,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,14,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算,設(shè),則,,,,,,平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,15,例2.,求解向量線性方程組,,解:,①,②,2×① －3×② , 得,代入②得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,例3. 已知兩點,在AB直線上求一點 M , 使,解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為,如圖所示,,,,,,,,,,,及實數(shù),得,即,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,17,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,,于是得,中點公式:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,19,,例4. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,為頂點,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,20,例5. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設(shè)該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,提示:,(1) 設(shè)動點為,利用,得,(2) 設(shè)動點為,利用,得,且,例6. 已知兩點,和,解:,求,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,,,稱 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量,,的夾角.,,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標(biāo)軸的夾角? , ? , ?,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,23,,,方向余弦的性質(zhì):,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,24,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,例8. 設(shè)點 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標(biāo) .,則,因點 A 在第一卦限 ,,故,于是,故點 A 的坐標(biāo)為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,,,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,26,,空間一點在軸上的投影,,,,27,,空間一向量在軸上的投影,,,,,,,,,28,,,性質(zhì)1,證,,,,,29,,性質(zhì)2,,,,,,,,,（可推廣到有限多個）,30,練習(xí),解: 因,1. 設(shè),求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量為,故在 x 軸上的投影為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,31,2.,設(shè),求以向量,行四邊形的對角線的長度 .,,,,,該平行四邊形的對角線的長度各為,對角線的長為,解：,,,為邊的平,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,32,