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15.4角的平分線 第1課時(shí) 角平分線的尺規(guī)作圖 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1. 掌握角平分線的尺規(guī)作法并會(huì)證明它的正確性。 2. 掌握過一點(diǎn)作已知直線垂線的尺規(guī)作法。 【過程與方法】 1. 培養(yǎng)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作圖的能力及有條理地語言表達(dá)能力。 2. 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 在探究作已知角的平分線的方法及作垂線的方法中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺；培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強(qiáng)探究問題的信心；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性。 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 角平分線及垂線的尺規(guī)作法。 【教學(xué)難點(diǎn)】 角平分線的尺規(guī)作法的正確性的證明。 課前準(zhǔn)備 課件、教具等。 教學(xué)過程 一、情境導(dǎo)入 溫故知新 什么是角平分線？ 問題：怎樣作∠AOB的平分線呢？ ①折紙法；②度量法． 如果用尺規(guī)作圖，該怎么做呢？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：角平分線的尺規(guī)作圖 例1 請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段AD，使其平分∠BAC且長度等于m. 要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論． 已知： 求作： 解析：首先以A為圓心，任意長為半徑作弧，交射線AB、AC于E、F，然后以E、F為圓心，大于EF長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，那么AM就是∠BAC的角平分線，只需在射線AM上截取AD＝m即可． 解：已知：線段m，∠BAC； 求作：線段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m. 如圖所示． 方法總結(jié)：此題主要考查的是角平分線的作法，難度不大．作一個(gè)角的平分線是基本的作圖．尺規(guī)作圖時(shí)，應(yīng)該遵循作圖必需的正確步驟． 探究點(diǎn)二：過一點(diǎn)作已知直線的垂線 例2 如圖，分別過點(diǎn)P作線段MN的垂線． 解析：利用過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法分別作各條線段所在的直線的垂線即可． 解：如圖，(1)延長NM，過點(diǎn)P作NM所在直線的垂線；(2)延長NM，過點(diǎn)P作NM所在直線的垂線；(3)延長MN，過點(diǎn)P作MN所在直線的垂線；(4)延長NM，過點(diǎn)P作NM所在直線的垂線． 方法總結(jié)：過一點(diǎn)作線段的垂線，就是作線段所在直線的垂線． 探究點(diǎn)三：尺規(guī)作圖的綜合應(yīng)用 例3 如圖，已知直線l及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B. (1)在直線l上求一點(diǎn)O，使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短； (2)在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＝PB； (3)在直線l上求一點(diǎn)Q，使l平分∠AQB. 解析：(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AB，線段AB交直線l于點(diǎn)O，則O為所求點(diǎn)； (2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB，再作出線段AB的垂直平分線即可； (3)作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l與點(diǎn)Q，連接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性質(zhì)可得出∠BQD＝∠B′QD，即直線l平分∠AQB. 解：(1)如圖①，連接AB，線段AB交直線l于點(diǎn)O，∵點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∴O點(diǎn)即為所求點(diǎn)； (2)如圖②，連接AB，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以大于AB的長度為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)，連接CD與直線l相交于P點(diǎn)，連接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D兩點(diǎn)都在AB的垂直平分線上，∴CD是線段AB的垂直平分線，∵P是CD上的點(diǎn)，∴PA＝PB； (3)如圖③，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l與點(diǎn)Q，連接BQ，∵B與B′兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直線l平分∠AQB. 方法總結(jié)：本題考查的是兩點(diǎn)之間線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟知各題的知識(shí)點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵． 三、布置作業(yè) 1. 課本143頁練習(xí)2； 2. 探索課本143頁思考。 教學(xué)反思 本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)有角平分線的尺規(guī)作圖，過直線上的點(diǎn)作已知直線的垂線．教學(xué)時(shí)采用了體驗(yàn)探究的方式，為學(xué)生提供了親自操作的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、方法去探索這兩個(gè)基本作圖，進(jìn)而通過教師的引導(dǎo)加工上升為理性認(rèn)識(shí)，從而獲得新知，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變?yōu)橐粋€(gè)再創(chuàng)造的過程，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)到獲取知識(shí)的思想和方法． - 3 -