第二節(jié)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式總綱目錄教材研讀1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系考點(diǎn)突破2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式考點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式考點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式考點(diǎn)三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值考點(diǎn)三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系平方關(guān)系:sin2+cos2=1.(2)商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:=tan.sincos教材研讀教材研讀2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一:sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,tan(+2k)=tan,其中kZ.公式二:sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan.公式三:sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.公式四:sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.公式五:sin=cos,cos=sin.公式六:sin=cos,cos=-sin.22221.sin(-600)的值為()A.B.C.1D.322233答案答案Asin(-600)=sin(-720+120)=sin120=.32A2.在ABC中,若tanA=-2,則cosA=()A.B.-C.D.-55552 552 55答案答案B因?yàn)樵贏BC中,tanA=-2,所以A,所以cosA=-=-=-,故選B.,2211tan A1555B3.已知tan=2,則的值為.sincossincos答案答案13解析解析tan=2,=.sincossincossincoscoscossincoscoscostan1tan113134.(2017北京,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin=,則sin=.13答案答案13解析解析本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.由角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,可得=(2k+1)-,kZ,sin=,sin=sin(2k+1)-=sin=.1313135.已知sin+cos=,則sin-cos的值為.430,4答案答案-23解析解析由題易知(sin+cos)2=,1+2sincos=,169169-232sincos=,(sin-cos)2=1-2sincos=1-=,可得sin-cos=.又,sincos,sin-cos=-.797929230,423考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1已知是三角形的內(nèi)角,且sin+cos=.(1)求tan的值;(2)把用tan表示出來,并求其值.15221cossin解析解析(1)解法一:聯(lián)立由得cos=-sin,將其代入,整理得25sin2-5sin-12=0.是三角形的內(nèi)角,sin=,cos=-,tan=-.解法二:sin+cos=,(sin+cos)2=,則1+2sincos=,221sincos,5sincos1,15453543152151252sincos=-,2425(sin-cos)2=1-2sincos=1+=.sincos=-0且00,cos0.sin-cos=.由得tan=-.(2)=.242549251225751sincos,57sincos,54sin,53cos,5 43221cossin2222sincoscossin222222sincoscoscossincos22tan11 tantan=-,=-.43221cossin22tan11 tan22413413 257規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)利用sin2+cos2=1可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化,利用=tan可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.(2)對(duì)于sin+cos,sincos,sin-cos這三個(gè)式子,利用(sincos)2=12sincos,可以知一求二.(3)注意對(duì)sin2+cos2=1的逆用及變形應(yīng)用:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.sincos1-1(2016北京朝陽(yáng)期中)已知(0,),且cos=-,則tan=()A.B.-C.D.-3534344343答案答案D(0,),cos=-,sin=,tan=-.故選D.354543D典例典例2(1)已知sin=,則sin(+)等于()A.B.-C.D.-2350,235354545考點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式考點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(2)若sin是方程5x2-7x-6=0的根,則=()A.B.C.D.233sinsintan(2)22coscossin()22 35534554答案答案(1)D(2)B解析解析(1)由已知sin=,得cos=.,sin=.sin(+)=-sin=-.235350,24545(2)方程5x2-7x-6=0的兩根為x1=-,x2=2,則sin=-,所以原式=-=.35352cos(cos)tansin(sin)(sin)1sin531.巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過程.常見的具有互余關(guān)系的角有-與+,+與-,+與-等,常見的具有互補(bǔ)關(guān)系的角有+與-,+與-等.363644323434規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)2.用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,應(yīng)遵循:(1)“負(fù)化正”,運(yùn)用誘導(dǎo)公式將負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù).(2)“大化小”,利用誘導(dǎo)公式將大于360的角的三角函數(shù)化為0到360的角的三角函數(shù).(3)“小化銳”,將大于90的角的三角函數(shù)化為0到90的角的三角函數(shù).(4)“銳求值”,得到0到90的角的三角函數(shù)后,若是特殊角,則可直接求得,若是非特殊角,則可由計(jì)算器求得.2-1若cos=-,則sin=.3136答案答案13解析解析-=,-=-,cos=-,sin=sin=-sin=-cos=.36263231363223313132-2已知cos=,則cos-sin2的值為.633566答案答案-233-233解析解析因?yàn)閏os=cos=-cos=-,sin2=sin2=sin2=1-cos2=1-=,所以cos-sin2=-=-.5666336666233235663323233考點(diǎn)三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值考點(diǎn)三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值典例典例3已知為第三象限角,f()=.(1)化簡(jiǎn)f();(2)若cos=,求f()的值.3sincostan()22tan()sin()3215解析解析(1)f()=-cos.(2)cos=,-sin=,從而sin=-.又為第三象限角,cos=-=-,f()=.3sincostan()22tan()sin()(cos)sin(tan)(tan)sin 3215151521 sin 2 652 651.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0到360的角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)方法技巧方法技巧也就是:“負(fù)化正,大化小,化到銳角就好了”.2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的要求(1)化簡(jiǎn)過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值.3-1若f()=(kZ),則f(2017)=.sin(1)cos(1)sin()cos()kkkk答案答案-1解析解析當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),設(shè)k=2n(nZ),原式=-1;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1(nZ),原式=-1.綜上所述,當(dāng)kZ時(shí),f()=-1,故f(2017)=-1.sin(2)cos(2)sin()cosnnsin()cos()sincossin(22)cos(22)sin(21)cos(21)nnnnsincos()sin()cos()-13-2=.3tan()cos(2)sin2cos(3)sin(3)答案答案-1解析解析原式=-=-=-1.tan cos sin22cos(3)sin(3)tan cos sin2(cos)sintan cos cos(cos)sintan cossinsincoscossin-1