實(shí)二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形,楊忠鵬陳智雄晏瑜敏林志興,2007年6月30日,莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建省高等代數(shù)與線性代數(shù)課程建設(shè)第八次研討會(huì),一、二次型的基本問(wèn)題,（1）,（1）可被唯一表示為,（2）,基本問(wèn)題：,（3）,其中 , 可逆,常用的實(shí)二次型化簡(jiǎn),二、目前的教材處理情況,1. 北大教材1,將基本知識(shí)分散處理于三部分,距離遠(yuǎn)、聯(lián)系差,,2. 張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）2,福師大所編教材3的處理與2相似（只講 第六章 二次型，第七章 歐氏空間），3另一個(gè)特點(diǎn)是二次型從簡(jiǎn)單的線性函數(shù)和雙線性函數(shù)入門（也綜合1的較高的起點(diǎn)）.,3. 非數(shù)學(xué)專業(yè)教材,兩種標(biāo)準(zhǔn)形是緊密出現(xiàn)的,4. 新出版的一些高等代數(shù)教材,姚慕生8,實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型是比一般合同標(biāo)準(zhǔn)型更強(qiáng)有力的工具.（見8,P246）,張賢科9,結(jié)構(gòu)有較大變化，分三部分：, 選學(xué)內(nèi)容,三、幾點(diǎn)看法,1. 實(shí)二次型兩種標(biāo)準(zhǔn)形的重要性,數(shù)學(xué)專業(yè)教材,新編教材,2. 要注重討論的幾何背景,合同標(biāo)準(zhǔn)形可給出二次曲面的仿射分類,9,8.8 二次曲面的仿射分類, 定理8.13,9, 9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12,3. 要加強(qiáng)對(duì)正交矩陣相關(guān)性質(zhì)的教學(xué),運(yùn)算性質(zhì),與正交標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)的矩陣分解,應(yīng)用:,i) 分解,設(shè) , 如果 ,則有唯一的正交矩陣 和正上三角矩陣 使得 .,) 矩陣偶 (文獻(xiàn)1 第九章 補(bǔ)充題10),設(shè) 都是實(shí)對(duì)稱矩陣且 是正定的,證明存在實(shí)可逆 矩陣 , 使 與 同時(shí)為對(duì)角矩陣.,) 正定矩陣的正定平方根,設(shè) 是一個(gè)正定矩陣, 證明存在一個(gè)正定矩陣 ,使得 .,) 極分解（北師大高等代數(shù)第四版9.4習(xí)題）,設(shè) 為可逆矩陣, 證明存在正定矩陣 和正交 矩陣 , 使得 .,) 奇異值分解,設(shè) 為可逆矩陣, 證明存在正交矩陣 和 使 得,參考文獻(xiàn)：,1 北京大學(xué)編, 高等代數(shù)（第三版）, 高等教育出版社, 2003年.,2 張禾瑞, 郝鈵新編, 高等代數(shù)(第四版), 高等教育出版社, 1999年.,3 陳昭木,陳清華,王華雄,林亞南編著, 高等代數(shù)(下), 福建教育出版社, 1992年.,4 居余馬, 線性代數(shù)(第二版), 清華大學(xué)出版社, 2002年.,5 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編, 線性代數(shù)(第四版), 高等教育出版社, 2003年.,6 吳贛昌 主編, 線性代數(shù)(理工類), 中國(guó)人民大學(xué)出版社, 2006年.,7 邱維聲, 高等代數(shù)(上冊(cè)), 高等教育出版社, 北京, 2002年.,8 姚慕生, 高等代數(shù)(大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)叢書), 復(fù)旦大學(xué)出版社, 2002年.,9 張賢科,許甫華, 高等代數(shù)學(xué)(第二版), 清華大學(xué)出版社, 2004年.,謝 謝 !,