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______________________________________________________________________________________________________________ 等腰三角形 一、 等腰三角形含義：有兩條邊相等的三角形。 常見題：已知兩邊長和第三邊，求周長。例題：兩條邊長分別為2和5，求周長，注意：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 二、 等腰三角形的性質： 1.等邊對等角，例如：已知AB=AC，∠B=∠C 等腰三角形的性質： 2等腰△的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）。注意：只有等腰三角形才有三線合一。 [例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度數(shù)． 3. 等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角 所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）． 4. [例2]求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么 這個三角形是等腰三角形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如圖）． 求證：AB=AC． 證明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）， ∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角對等邊）． 練習：已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求證：AB=AD． 證明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC（兩直線平行，內錯角相等）． 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD（等角對等邊）． [例3]如圖（1），標桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點C向地面上與點B距離相等的D、E兩點拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長？ 分析：這是一個與實際生活相關的問題，解決這類型問題，需要將實際問題抽象為數(shù)學模型．本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題． 一、復習知識要點 1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角． 2．三角形按邊分類：三角形 3．等腰三角形是軸對稱圖形，其性質是： 性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合． 4．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）． 二、例題 例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD. 分析：要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到結論． 證明：連接AC、AD 在△ABC和△AED中 ∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的對應邊相等） 又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知） ∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合） 三、練習 （一）、選擇題 1．等腰三角形的對稱軸是（ ） A．頂角的平分線 B．底邊上的高 C．底邊上的中線 D．底邊上的高所在的直線 2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（ ） A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm 3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（ ） A．40° B．50° C．60° D．30° 4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是（ ） A．100° B．100°或40° C．40° D．80° 5．如圖1，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（ ） A．80° B．90° C．100° D．108° 如圖1 答案: 1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 如圖2 （二）、填空題 6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度． 7．等腰三角形“三線合一”是指___________． 8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________． 9．如圖2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____． 10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上 （1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______． 11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________． 12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________． 13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________． 答案: 6．60 7．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合 8．（90+ n）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答題 15．如圖，CD是△ABC的中線，且CD= AB，你知道∠ACB的度數(shù)是多少嗎？由 此你能得到一個什么結論？請敘述出來與你的同伴交流． 16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC. 17．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E， 求證：△DBE是等腰三角形． 答案: 15．∠ACB=90°．結論：若一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 16．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB． ∴∠ABC=∠ADC 17．證明∠D=∠BED 等邊三角形 定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB． 分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD． [例5]右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長？ 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點，所以DE=AB． [例]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高． 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高． 求：CD的長． 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD． 等邊三角形 一、復習知識要點 1．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形． 2．等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個內角都等于60° 3．等邊三角形的判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 4．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 二、練習 （一）、選擇題 1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（ ） A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等邊三角形 4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ） A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準備的判斷是（ ） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀 答案： 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B （二）、填空題 6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______． 7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______． 8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________． 9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______． 答案： 6．60° 7．60°8．三；三邊的垂直平分線 9．1cm （三）、解答題 10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？ 11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D， 求證：BC=3AD. 12．如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H， ①求證：△BCE≌△ACD； ②求證：CF=CH； ③判斷△CFH的形狀并說明理由． 13．如圖，點E是等邊△ABC內一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數(shù)．（提示：連接CE） 答案： 10．60°或120° 11．∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∴在Rt△ADC中CD=2AD， ∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCE=∠ACD． 又∵BC=AC，CE=CD， ∴△BCE≌△ACD； ②證明△BCF≌△ACH； ③△CFH是等邊三角形． 13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°， 再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、隨堂練習，變式訓練 練習1：請同學們做課本51頁的練習第一題，同時教師在黑板上補充一下題目： 求等腰三角形個角度數(shù)： （1） 在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為36°. （2） 在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為110°. 學生思考，練習，教師指導，并給出答案，之后引導學生對以上這種類型的題目存在的規(guī)律進行歸納總結。 歸納：已知等腰三角形的一個內角的度數(shù),求其它兩角時, (a)若已知角為鈍角或直角,則它一定是頂角； (b)若已知角為銳角,它可能是頂角,也可能是底角。 本次變式訓練中，教師應重點關注：（1）學生能否正確應用等腰三角形的性質；（2）學生是否注意到等腰三角形的地窖一定是銳角；（3）學生是否注意到可能的多種情況；(4)學生是否注意到等腰三角形的頂角可能是鈍角，但底角一定是銳角。 設計意圖：及時鞏固所學知識，了解學生學習效果，增強學生應用知識的能力，同時培養(yǎng)學生分類討論的思想。 練習2：已知：在△ABC中，AB=AC，BD=DC. ② AD=4,BC=6時，求 ②當時，求的度數(shù)。 解: 解: 練習2的訓練主要是讓學生學會應用等腰三角形的性質2來解題。 設計意圖：及時鞏固所學知識，了解學生學習效果，增強學生應用知識的能力，同時培養(yǎng)學生分類討論的思想。 Ⅳ、應用深化，鞏固提高 例：在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。 B C A D 課本例題，學生討論問題，教師參與討論，認真聽取學生的分析，引導學生找出角之間的關系，書寫解答過程。 解：因為AB=AC, BD=BC=AD 所以∠ABC=∠C =∠BDA, ∠A =∠ABD（等邊對等角） 設∠C=x,則 ∠BDA=∠A+∠ABD=2 x 從而∠ABC=∠C =∠BDA=2 x 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=180° 解得x=36° 在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。 通過例題講解，教師應重點關注：（1）學生能否正確應用等腰三角形的性質解決問題；（2）學生應用所學知識的應用意識。 設計意圖：培養(yǎng)學生正確應用所學知識的應用能力，增強應用意識，參與意思，鞏固所學性質。 Ⅴ、課時小結 請大家拿出前面剪得的等腰三角形，與小組同學一起結合圖形指出你知道的內容。等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。 教師重點關注：①歸納、總結能力；②不同層次的學生對本節(jié)知識的認識程度；③學生獨立面對困難和克服困難的能力。 設計意圖：總結回顧學習內容，幫助學生歸納，激發(fā)學生主動參與的意識，為每一位學生創(chuàng)造在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學生提供充分展示自己的機會。 一、選擇題（每題6分，共30分）每題有且只有一個正確答案 1．等腰三角形（不等邊）的角平分線、中線和高的條數(shù)總和是（ ） A．3　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．9 2．在射線、角和等腰三角形中，它們（ ）軸對稱圖形 A．都是　　　　　　　　 B．只有一個是 C．只有一個不是　　　　 D．都不是 3．如下圖：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，若∠BDC=72°，則圖形中共有（ ）個等腰三角形。 A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 4．三角形內有一點，它到三角形三邊的距離都相等，同時與三角形三頂點的距離也都相等，則這個三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．非等腰三角形 D．等邊三角形 5．△ABC中，AB=AC，AB邊的中垂線與直線AC所成的角為50°，則∠B等于（ ） A．70°　　　　　　　B．20°或70° C．40°或70°　　　 D．40°或20° 二、填空題（每題6分，共30分） 1．等腰三角形中的一個外角為130°，則頂角的度數(shù)是_______________ 。 2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，則AB=_________________ 3．如下圖：△ABC 中，AB=AC，DE是AB中垂線交AB、AC于D，E，若△BCE的周長為24，AB=14，則BC=________，若∠A=50°，則∠CBE= ______________。 4．等腰三角形中有兩個角的比為1：10，則頂角的度數(shù)是__________________。 5．如下圖：等邊△ABC，D是形外一點，若AD=AC，則∠BDC=_____________度。 三、作圖題（6分），只畫圖，不寫作法。 如左圖：直線MN及點A，B。 在直線MN上作一點P，使∠APM=∠BPM。 四、解答題（第1小題12分，第2、3小題各11分） 1．已知：如圖△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。 求證：HB=HC。 2．已知：如圖：等邊△ABC，D、E分別是BC、AC上的點，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求證：。 3．已知：如圖：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。 求：∠C的度數(shù)。 選作題： 已知：如圖：△ABC中，D是BC上一點，P是AD上一點，若∠1=∠2，PB=PC。 求證：AD⊥BC。 參考答案 一、選擇題（每題6分，共30分）每題有且只有一個正確答案 1．C2．A3．C4．D5．B 二、填空題（每題6分，共30分） 1．50°或80° 2．6 3．10，15° 4．150°或 5．30 三、作圖題（6分），只畫圖，不寫作法。 四、解答題（第1小題12分，第2、3小題各11分） 證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等邊對等角） ∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中兩個銳角互余） 同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2， ∴HB=HC（同一△中等角對等邊） 2．證明：∵等邊△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60° 在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS） ∴∠2=∠1 ∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60° ∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30° ∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半） 3．解：延長DB到E，使BE=AB，連結AE，則∠1=∠E。 ∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E ∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC ∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C ∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120° ∴2∠C+∠C=180°-120°=60°， ∴∠C=20° 答：∠Ｃ的度數(shù)是20° 選作題 證明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N ∵∠1=∠2，∴PM=PN 在Rt△BPM和Rt△CPN中 ∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL） ∴∠ABP=∠ACP ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。 ∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。 ∴AB=AC，∵∠1=∠2 ∴AD⊥BC  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學習課件等等 打造全網一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-