等腰三角形的存在性問題 內(nèi)容分析 根據(jù)等腰三角形的定義，若  DABC  為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB． 但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會不存 在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有 2 個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤 其注意． 知識結(jié)構(gòu) 模塊一：以函數(shù)為背景的等腰三角形問題 知識精講 1、 知識內(nèi)容： 在用字母表示某條線段的長度時(shí)，常用的方法有但不僅限于以下幾種： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊； （2）全等或相似：通過相似，將未知邊與已知邊建立起聯(lián)系，進(jìn)而表示出未知邊 （3）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) A( x , y ) 、 B ( x , y ) 1 1 2 2 AB = ( x -x ) 2 +( y -y ) 2 ． 1 2 1 2 2、 解題思路： ，則 A、B 兩點(diǎn)間的距離為： （1） 利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式； （2） 根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分 式或根式方程） （3） 解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代數(shù)式構(gòu)造一般比較簡單，但對幾何能力的要求較高，用勾 股定理則反之． 例題解析 【例1】 如圖，已知 DABC 中，AB = AC = 6，BC = 8，點(diǎn) D 是 BC 邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn) E 在 AC 邊上，∠ADE =∠B．設(shè) BD 的長為 x，CE 的長為 y． （1）當(dāng) D 為 BC 的中點(diǎn)時(shí)，求 CE 的長；  A （2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍； （3）如果 DADE 為等腰三角形，求 x 的值．  E B  D C 2 / 10 【例2】 已知，一條拋物線的頂點(diǎn)為 E（ -1，4），且過點(diǎn) A（ -3，0），與 y 軸交于點(diǎn) C， 點(diǎn) D 是這條拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為 m，且 -3 <m <-1，過點(diǎn) D 作 DK ^ x 軸，垂 足為 K，DK 分別交線段 AE、AC 于點(diǎn) G、H． （1）求這條拋物線的解析式；  y （2）求證：GH = HK；  D E （3）當(dāng) DCGH 是等腰三角形時(shí)，求 m 的值． C G H A  B K O x 模塊二：與圓有關(guān)的等腰三角形問題 知識精講 1、 與圓有關(guān)知識內(nèi)容： 在模塊一的基礎(chǔ)上，加入了與圓有關(guān)的要求。相關(guān)點(diǎn)主要有： （1）同圓內(nèi)半徑相等，提供了全等三角形的邊或角相等條件； （2）切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，提供了可使用的直角三角形 2、 解題思路： 與模塊一類似； （1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式； （2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式 或根式方程）； （3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根． 例題解析 【例3】 如圖，在 Rt ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =  4 3  ，點(diǎn) P 是線段 AB 上的一 個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn) P 為圓心，PA 為半徑的⊙P 與射線 AC 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D，射線 PD 交射 線 BC 于點(diǎn) E，點(diǎn) Q 是線段 BE 的中點(diǎn)． （1）當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 的延長線上時(shí)，設(shè) PA＝x，CE＝y(tǒng)，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出定義域； （2）以點(diǎn) Q 為圓心，QB 為半徑的⊙Q 和⊙P 相切時(shí)，求⊙P 的半徑； （3）射線 PQ 與⊙P 相交于點(diǎn) M，聯(lián)結(jié) PC、MC， PMC 是等腰三角形時(shí)，求 AP 的長． B P  Q A  D  C E 4 / 10 【例4】 如圖，已知在 Rt DABC 中， ÐACB =90°，AB = 5 ， sin ÐA =  4 5  ，P 是 BC 邊上的一 點(diǎn)， PE ^AB ，垂足為 E，以點(diǎn) P 為圓心，PC 為半徑的圓與射線 PE 相交于點(diǎn) Q，線 段 CQ 與邊 AB 交于點(diǎn) D． （1）求 AD 的長； （2）設(shè) CP = x， DPCQ 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （3）過點(diǎn) C 作 CF ^ AB ，垂足為 F，聯(lián)結(jié) PF、QF，如果 DPQF 是以 PF 為腰的等腰 三角形，求 CP 的長． Q B E P D C  A 模塊三：與角有關(guān)的等腰三角形問題 知識精講 有時(shí)，等腰三角形通過邊來計(jì)算過于復(fù)雜，而條件中又恰好有關(guān)于角的一些條件，此時(shí) 經(jīng)?？梢杂懻摻侵g的關(guān)系，再利用“等角對等邊”的性質(zhì)從而形成等腰三角形． 例題解析 【例5】 如圖 1，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，點(diǎn) D 是 AC 邊上一動點(diǎn)（不 與 A、C 重合），過點(diǎn) D 分別作 DE⊥AB 于點(diǎn) E，DF⊥BC 于點(diǎn) F，聯(lián)結(jié) EF，設(shè) AE＝x， EF＝y(tǒng)． （1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （2）以 F 為圓心、FC 為半徑的⊙F 交直線 AC 于點(diǎn) G，當(dāng)點(diǎn) G 為 AD 中點(diǎn)時(shí)，求 x 的 值； （3）如圖 2，聯(lián)結(jié) BD，將△EBD 沿直線 BD 翻折，點(diǎn) E 落在點(diǎn) E′處，直線 BE′與直線 AC 相交于點(diǎn) M，當(dāng)△BDM 為等腰三角形時(shí)，求∠ABD 的度數(shù)． A  A E  D  E  D B  F  M E’ C B C 圖 1  圖 2 6 / 10 【習(xí)題1】  隨堂檢測 已知：如圖 1，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan ∠ABC=2，點(diǎn) E 在 AD 邊上，且 AE=3ED，EF//AB 交 BC 于點(diǎn) F，點(diǎn) M、N 分別在射 線 FE 和線段 CD 上． （1）求線段 CF 的長； （2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) M 在線段 FE 上，且 AM⊥MN，設(shè) FM·cos∠EFC=x，CN=y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域； （3）如 AMN 為等腰直角三角形，求線段 FM 的長． A E D A E D N M  A E D B F （圖 1） C B F （圖 2） C B F （備用圖） C 4 【習(xí)題2】 如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中，AB＝5，BC＝8，cosB＝ ，點(diǎn) P 是邊 BC 5 上的動點(diǎn)，以 CP 為半徑的圓 C 與邊 AD 交于點(diǎn) E、F（點(diǎn) F 在點(diǎn) E 的右側(cè)），射線 CE 與射線 BA 交于點(diǎn) G．  G （1）當(dāng)圓 C 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，求 CP 的長； （2）聯(lián)結(jié) AP，當(dāng) AP//CG 時(shí)，求弦 EF 的長； （3）當(dāng)△AGE 是等腰三角形時(shí)，求圓 C 的半徑長．  B E A P C F  D 8 / 10 課后作業(yè) 【作業(yè)1】 如圖，在 DABC 中，∠C = 90 °，BC = 3 ，AB = 5 ．點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長度的速度沿 B→C→A→B 的方向運(yùn)動；點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，以每秒 2 個(gè)單位長 度的速度沿 C→A→B 的方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn) B 后立即原速返回，若 P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動， 相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t 秒． （1）當(dāng) t =____秒時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 相遇； （2）在點(diǎn) P 從點(diǎn) B 到點(diǎn) C 運(yùn)動的過程中，當(dāng) t 為何值時(shí)， DPCQ 為等腰三角形？ B P C  Q  A 【作業(yè)2】 在⊙O 中，OC⊥弦 AB，垂足為 C，點(diǎn) D 在⊙O 上． （1）如圖 1，已知 OA = 5，AB = 6，如果 OD//AB，CD 與半徑 OB 相交于點(diǎn) E，求 DE 的長； （2）已知 OA = 5 ，AB = 6（如圖 2），如果射線 OD 與 AB 的延長線相交于點(diǎn) F，且 OCD 是等腰三角形，求 AF 的長； （3）如果 OD // AB，CD⊥OB，垂足為 E，求 sin∠ODC 的值． O  E  D  O A  C  B  A  C  B 圖 1  圖 2 10 / 10