2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi). （1）設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ） 0. 1. 2. 3. （2）函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于（ ） . . . . （3）在下列微分方程中，從（為任意常數(shù)）為通解的是（ ） . . . . （4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ） 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. （5）設(shè)為階非零矩陣為階單位矩陣若，則（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）設(shè)為3階非零矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖，則的正特征值個(gè)數(shù)（ ） 0. 1. 2. 3. （7）隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為，則分布函數(shù)為（ ） . . . . （8）隨機(jī)變量，且相關(guān)系數(shù)，則（ ） . . . . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上. （9）微分方程滿足條件的解是. （10）曲線在點(diǎn)處的切線方程為. （11）已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? （12）設(shè)曲面是的上側(cè)，則. （13）設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，，則的非零特征值為. （14）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則. 三、解答題：15－23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (15)（本題滿分10分） 求極限. (16)（本題滿分12分） 計(jì)算曲線積分，其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段. (17)（本題滿分12分） 已知曲線，求點(diǎn)距離面最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近的點(diǎn). (18)（本題滿分12分） 函數(shù)連續(xù)，，證明可導(dǎo)，且. (19)（本題滿分12分） ，用余弦級(jí)數(shù)展開，并求的和 ‘ (20)（本題滿分9分） ，為的轉(zhuǎn)置，為的轉(zhuǎn)置 （1） 證；（2）若線性相關(guān)，則. （21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，， （1）求證 （2）為何值，方程組有唯一解，求 （3）為何值，方程組有無窮多解，求通解 （22）（本題滿分9分） 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，概率分布為，概率密度為，記 （1）求 （2）求的概率密度． （23）（本題滿分9分） 是總體為的簡單隨機(jī)樣本.記， ， （1）證 是的無偏估計(jì)量. （2）當(dāng)時(shí) ，求. . 6 教資材料