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《解分式方程》的教學(xué)設(shè)計(jì) 邢臺縣皇臺底中學(xué) 李改增 設(shè)計(jì)理念： 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)是在老師指導(dǎo)下，學(xué)生積極主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)知識、技能，發(fā)展能力，形成積極、主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度。而教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，經(jīng)過自己的思考，得出有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論，形成數(shù)學(xué)知識、技能和能力，發(fā)展情感態(tài)度和思維品質(zhì)。由此，我確定自己在本節(jié)課中起引導(dǎo)作用，依學(xué)生已有的數(shù)學(xué)實(shí)際，重新設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，使整節(jié)課貫穿一條節(jié)節(jié)拔高的教學(xué)主線。而學(xué)生是這節(jié)課的主體，由他們探索問題，相互解答疑惑，達(dá)成共識，逐步形成知識點(diǎn)，再運(yùn)用知識鞏固與提高。 教學(xué)內(nèi)容：《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》（冀教版版）八年級上冊第十二章第四節(jié)（課本第18頁至20頁）。 教學(xué)目標(biāo)： 1.知識目標(biāo)： （1）熟悉解分式方程的步驟。 （2）理解解分式方程時(shí)驗(yàn)根的必要性。 2.能力目標(biāo)： 會(huì)按照解分式方程的步驟解分式方程。 3.情感與價(jià)值觀： （1） 培養(yǎng)學(xué)生自覺反思求解過程和自覺檢驗(yàn)的良好習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。 （2） 運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而獲得成就感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。 老師引導(dǎo)學(xué)生自主探索分式方程的解法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，在解題中親身體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”思想。弄清了“轉(zhuǎn)化”的方向，也就明白了解分式方程的步驟，解題思路自然清晰，能力隨之形成。 重點(diǎn)： 1.探索解分式方程的步驟，熟練掌握分式方程的解法。 2.體會(huì)解分式方程驗(yàn)根的必要性。 難點(diǎn)：如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；體會(huì)分式方程驗(yàn)根的必要性。 學(xué)情與教材分析：我所任教的學(xué)生大多頭腦聰明，在老師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下，有一定的探求新知識的能力。但基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，如計(jì)算容易出錯(cuò)、考慮問題不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。另外在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)過《解一元一次方程》。對于《解一元一次方程》大部分同學(xué)已經(jīng)掌握，但由于是在七年級學(xué)習(xí)，有一定的時(shí)間間隔，部分同學(xué)可能已經(jīng)遺忘，給上本節(jié)課留下少許的困難。但估計(jì)絕大部分同學(xué)稍加回憶，應(yīng)能接近以前的水平。本節(jié)課的內(nèi)容處在《分式》這章的后半部?！斗质健愤@章內(nèi)容安排如下的：首先介紹分式及分式的基本性質(zhì)，接著進(jìn)行分式的加、減、乘、除的運(yùn)算，之后是根據(jù)實(shí)際問題列出分式方程（但未求解）。緊跟其后的是本節(jié)課內(nèi)容——解分式方程，最后一節(jié)是根據(jù)實(shí)際問題列出分式方程并求解。由此可見《解分式方程》涵蓋了本章前面的內(nèi)容，是本章知識的綜合與提高。學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容，不但掌握了初二階段有關(guān)分式方程的內(nèi)容，也為初三學(xué)習(xí)可化為一元二次的分式方程打下了良好的基礎(chǔ)。通過將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（一元一次方程）滲透了一種重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，即將原問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題。 教學(xué)準(zhǔn)備：投影儀、各例題的標(biāo)準(zhǔn)解答過程。 教學(xué)過程： 一、課堂導(dǎo)入 由課本第18頁（根據(jù)實(shí)際問題列出分式方程，但未求解）產(chǎn)生的方程入手，引入解分式方程的必要性。 二、新課： 例1 解分式方程： （1） 由學(xué)生自主探索或互相討論完成，老師巡視學(xué)生完成情況，對于學(xué)生可能出現(xiàn)的幾種典型的解法用投影儀展示，讓同學(xué)討論，得出較好的解法。 [設(shè)計(jì)意圖：課文的第一個(gè)例子是：38-2/1-x=9*2/x，這個(gè)例子我估計(jì)絕大部分學(xué)生會(huì)采用交叉相乘（以往教學(xué)中學(xué)生常常提及）。雖也去掉分母，但學(xué)生還沒意識到是在兩邊乘了最簡公分母x(1-x)，若我自己去解釋，又有灌輸之嫌。于是我干脆暫時(shí)避開此例，自己設(shè)計(jì)一個(gè)例子，這樣避免了學(xué)生采用交叉相乘的方法求解] [學(xué)情預(yù)設(shè)：由于本節(jié)課的內(nèi)容是緊接在分式的運(yùn)算之后，多數(shù)學(xué)生會(huì)對方程進(jìn)行通分，發(fā)現(xiàn)分母相同，得出分子應(yīng)相等，解出x的值。這種情況與直接去分母效果相同，但解法較繁瑣。第二種情況是與解含有分母的整式方程（如：）相聯(lián)系，模仿整式方程的解法去分母，化為整式方程，求解整式方程得解。估計(jì)采用第二種方法的學(xué)生是少數(shù)的。另外，若沒有學(xué)生采用第二種方法，我會(huì)展示自己依第二種方法的解答過程，以供學(xué)生進(jìn)行討論、比對，在討論中感悟到第二種方法更簡便。突破本節(jié)課的難點(diǎn)] （2）引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)剛才求得的解是否是原方程的解。 [設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白將值代入原方程檢驗(yàn)是分式方程驗(yàn)根的一種方法，另一種方法是直接檢驗(yàn)分母是否為0，這種方法將在后面涉及] [學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可將求得的值代入原方程，但書寫格式不規(guī)范，如有的同學(xué)將解直接代入方程兩邊，卻仍用等號將左右兩邊相連，然后兩邊同時(shí)計(jì)算。我計(jì)劃用投影儀，選擇幾位同學(xué)的做法顯示給大家。讓大家評選出最好的格式——將解得的根分別代入方程的左右兩邊計(jì)算，看左、右兩邊的結(jié)果是否一致] [知識鏈接：對于驗(yàn)證一個(gè)值是否是方程的解，在求解一元一次方程時(shí)，有進(jìn)行過相應(yīng)的訓(xùn)練。絕大多數(shù)學(xué)生明白可將值代入原方程，但他們往往將值同時(shí)代入原方程。如驗(yàn)證是否是方程的解： 解：將代入原方程，得 所以 顯然，這種書寫不夠規(guī)范。應(yīng)分別代入兩邊驗(yàn)證為好] 例2 解方程： 讓學(xué)生自已求解，解得，引入增根的概念。并說明驗(yàn)根除了代入原方程，還可檢驗(yàn)各分母是否為0，從而判別是否是增根。 [設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生不明白為何代入原方程的分母或最簡公分母也可驗(yàn)根，我設(shè)計(jì)此例的目的是讓學(xué)生明白解分式方程可能會(huì)產(chǎn)生讓分母為0的根，即增根，自然以后解分式方程要檢驗(yàn)了] [學(xué)情預(yù)設(shè)：在前面學(xué)習(xí)分式有關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對于像與是相反的關(guān)系掌握得很好，可以輕松得出，這樣在方程兩邊同時(shí)乘以而非即可。若學(xué)生沒注意到這個(gè)細(xì)節(jié)，老師可稍加提示] [知識鏈接：有了第一個(gè)例子，學(xué)生已經(jīng)明白解分式方程的步驟，可以自行解此方程] 例3 解方程： [設(shè)計(jì)意圖：此題需要學(xué)生對分母分解因式，為解最一般的分式方程起示范作用] [學(xué)情預(yù)設(shè)：有學(xué)生直接在方程兩邊乘以。這種方法可以，但繁瑣。在學(xué)生解完之后，引導(dǎo)他們對在方程兩邊乘以最簡公分母還是乘以進(jìn)行對比。得出較簡便的方法] [知識鏈接：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過分解因式] 三、階段小結(jié)： 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解分式方程的步驟： 1.在方程的兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程。 2.解這個(gè)整式方程。 3.驗(yàn)根，引導(dǎo)學(xué)生對兩種驗(yàn)根方法的優(yōu)、缺點(diǎn)進(jìn)行討論。 [設(shè)計(jì)意圖：梳理一遍解題步驟，解題思路會(huì)更清晰] 四、強(qiáng)化練習(xí)： 1.完成課本第90頁的隨堂練習(xí)。完成后學(xué)生相互交換改卷，查找錯(cuò)誤并打分。評分標(biāo)準(zhǔn)由學(xué)生在課堂上集體商定。 [設(shè)計(jì)意圖：將小結(jié)的知識點(diǎn)內(nèi)化到學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中。簡單機(jī)械做題，有一定的效果，但效率不高。學(xué)生自測，接下去同學(xué)互改，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。在商量評分標(biāo)準(zhǔn)的過程中，學(xué)生自然體會(huì)到各個(gè)步驟的重要性。這樣既完成了強(qiáng)化練習(xí)，又提高了學(xué)習(xí)效率] 五、提高： 已知關(guān)于x的分式方程有增根，則增根是 ， [設(shè)計(jì)意圖：逆向思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生反思求解分式分程的過程，達(dá)到融會(huì)貫通的目的] [學(xué)情預(yù)設(shè)：估計(jì)有相當(dāng)一部分學(xué)生無從入手，老師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生反思求解分式分程的過程，找出本題的切入點(diǎn)] [知識鏈接：由前面解題可知，求出的值是增根時(shí)，原方程無解。由此可知，但不能代入原方程，否則分母為0。應(yīng)將原方程去分母，化為整式方程，此時(shí)將代入就可求出m的值] 六、學(xué)生自我小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容 再次回顧本節(jié)課的內(nèi)容，加深印象。 [設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)踐——理論——再實(shí)踐——再理論”的螺旋上升之路] 七、作業(yè)： 作業(yè)：習(xí)題1、2、3、4 板書設(shè)計(jì)： 解分式方程的步驟： 例1 例2 例3 [設(shè)計(jì)意圖：每個(gè)例題代表了學(xué)生學(xué)習(xí)解分式方程的不同階段，老師巡視學(xué)生，挑選書寫清楚的學(xué)生上黑板上板書，給其他同學(xué)起示范作用] 設(shè)計(jì)思想：我始終認(rèn)為教學(xué)應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，引導(dǎo)他們積極探求問題，解決問題。堅(jiān)決拋棄有些老師的“滿堂灌”、“一言堂”的教學(xué)方式。然而，我校學(xué)生總體基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)積極性不高。平時(shí)的教學(xué)常常要?jiǎng)?chuàng)建一定的知識背景來引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握知識。由于前一節(jié)課的內(nèi)容就是根據(jù)實(shí)際背景列出分式方程，因此本節(jié)課沒必要再去創(chuàng)設(shè)背景。然而，由于本節(jié)課是探求分式方程的解法，我認(rèn)為有必要讓學(xué)生自己來探索。讓他們自己探索，有利于理解解分式方程應(yīng)遵循一定的步驟的原因，加深對解題過程的理解；有利于對知識的融會(huì)貫通；有利于學(xué)生將知識內(nèi)化到其知識結(jié)構(gòu)中；有利于增強(qiáng)學(xué)生探究問題的能力。本節(jié)課我堅(jiān)持啟發(fā)誘導(dǎo)與學(xué)思并重原則進(jìn)行教學(xué)。啟發(fā)學(xué)生將分式方程與以前學(xué)過的含分母的一元一次方程相比較，引導(dǎo)他們?nèi)シ帜?；引?dǎo)他們將自己的解法與其他同學(xué)的解法進(jìn)行比較，從而總結(jié)出好的解法；啟發(fā)他們?nèi)绾悟?yàn)證一個(gè)值是否是方程的解；啟發(fā)他們將要求較高的題目與學(xué)習(xí)過的知識進(jìn)行比較，找出適合的解法。通過小測與學(xué)生互改，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高了上課效率。通過一道反思型的練習(xí)題，讓學(xué)生明白增根的確切含義，同時(shí)也再次強(qiáng)化了對解分式方程的理解，使學(xué)生的知識與能力均上一個(gè)新的臺階。教學(xué)過程中，我引導(dǎo)學(xué)生努力思考問題，探求方程的解法。在其它的同學(xué)有更好的解法時(shí)，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)、吸收更好的解法，并將其應(yīng)用到自己的解題中。整節(jié)課教學(xué)采用學(xué)生自主探究的教學(xué)方法，例題均由學(xué)生自主探索，相互比較，得出正確的結(jié)論，從而順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。