圓錐曲線題型總結(jié).doc
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直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型 直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切． 直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關系。 解決直線和圓錐曲線的位置關系的解題步驟是： （1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在 （2）聯(lián)立直線和曲線的方程組； （3）討論類一元二次方程 （4）一元二次方程的判別式 （5）韋達定理，同類坐標變換 （6）同點縱橫坐標變換 （7）x,y，k(斜率)的取值范圍 （8）目標：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等 運用的知識： 1、中點坐標公式：，其中是點的中點坐標。 2、弦長公式：若點在直線上， 則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一， 或者 。 3、兩條直線垂直：則 兩條直線垂直，則直線所在的向量 4、韋達定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則，。 常見題型： 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關系 例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍 思路點撥：直線方程的特點是過定點（0，1），橢圓的特點是過定點（-2，0）和（2，0），和動點。 解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終有交點，則，即。 規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點： 證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。 練習1、過點P(3,2) 和拋物線 只有一個公共點的直線有（ ）條。 A．4 B．3 C．2 D．1 題型二：弦的垂直平分線問題 弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點坐標公式）。 例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。 分析：過點T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點，則直線的斜率存在且不等于0，可以設直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出E點坐標，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。 解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。 設直線，，，。 由消y整理，得 ① 由直線和拋物線交于兩點，得 即 ② 由韋達定理，得：。 則線段AB的中點為。 線段的垂直平分線方程為： 令y=0,得，則 為正三角形， 到直線AB的距離d為。 解得滿足②式 此時。 思維規(guī)律：直線過定點設直線的斜率k，利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進而求出的坐標。 練習2：已知橢圓過點，且離心率。 （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。 題型三：動弦過定點的問題 例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點A1、A2的坐標都知道，可以設直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點是A1(-2,0)和M，通過韋達定理，可以求出點M的坐標，同理可以求出點N的坐標。動點P在直線上，相當于知道了點P的橫坐標了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標，得到兩條直線的斜率的關系，通過所求的M、N點的坐標，求出直線MN的方程，將交點的坐標代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。 解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。 從而橢圓的方程為 （II）設，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個根， 則，， 即點M的坐標為， 同理，設直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標為 ， 直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點M、N的坐標代入，化簡后得： 又， 橢圓的焦點為 ，即 故當時，MN過橢圓的焦點。 練習3：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點，證明：直線過定點，并求定點的坐標。 題型四：過已知曲線上定點的弦的問題 若直線過的定點在已知曲線上，則過定點的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達定理結(jié)合定點的坐標就可以求出另一端點的坐標，進而解決問題。下面我們就通過例題領略一下思維過程。 例題4、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，，如圖。 (I)求點C的坐標及橢圓E的方程； (II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關于直線對稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O 又 點C的坐標為。 A是橢圓的右頂點， ，則橢圓方程為： 將點C代入方程，得， 橢圓E的方程為 (II) 直線PC與直線QC關于直線對稱， 設直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為： ，即 ， 由消y，整理得： 是方程的一個根， 即 同理可得： ＝ ＝ ＝ 則直線PQ的斜率為定值。 方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程 的根，易得點P的橫坐標： ，再將其中的k用-k換下來，就得到了點Q的橫坐標： ，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。 接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標變換法將點P、Q的縱坐標也求出來，計算量會增加許多。 直接計算、，就降低了計算量?？傊?，本題有兩處是需要同學們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。 練習4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 題型五：共線向量問題 解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標的比例問題，再通過未達定理------同類坐標變換，將問題解決。此類問題不難解決。 例題5、設過點D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點，且,求實數(shù)的取值范圍。 分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點的坐標，用表示出來。 解：設P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即 方法一：方程組消元法 又P、Q是橢圓+=1上的點 消去x2， 可得 即y2= 又－2y22， －22 解之得： 則實數(shù)的取值范圍是。 方法二：判別式法、韋達定理法、配湊法 設直線PQ的方程為：， 由消y整理后，得 P、Q是曲線M上的兩點 ＝ 即 ① 由韋達定理得： 即 ② 由①得，代入②，整理得 ， 解之得 當直線PQ的斜率不存在，即時，易知或。 總之實數(shù)的取值范圍是。 方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。 練習5：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為． （1）求橢圓C的標準方程； （2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值． 題型六：面積問題 例題6、（07陜西理）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。 （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。 解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，依題意 ，所求橢圓方程為。 （Ⅱ）設，。 （1）當軸時，。 （2）當與軸不垂直時， 設直線的方程為。 由已知，得。 把代入橢圓方程，整理得， ，。 。 當且僅當，即時等號成立。當時，， 綜上所述。 當最大時，面積取最大值。 練習6、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為。 （Ⅰ）求在，的條件下，的最大值； （Ⅱ）當時，求直線AB的方程。 題型七：弦或弦長為定值問題 例題7、（07湖北理科）在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點。 （Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖） 本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力. 解法1： （Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0,-p）,可設A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是 ＝ ＝ . （Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則 ＝. = ＝ = 令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 解法2： （Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得 ＝ 又由點到直線的距離公式得. 從而， （Ⅱ）假設滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為 將直線方程y=a代入得 設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有 令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為. 即拋物線的通徑所在的直線。 練習7：（山東09理）（22）（本小題滿分14分） 設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 題型八：角度問題 例題8、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足： （Ⅰ）求點P的軌跡方程； （Ⅱ）若,求點P的坐標. 解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸 b=， 所以橢圓的方程為 (Ⅱ)由得 ① 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形.在△PMN中， ② 將①代入②，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標為 練習8、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：(a>b>0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足 cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由. 問題九：四點共線問題 例題9、（08安徽理）設橢圓過點，且著焦點為 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上 解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設點Q、A、B的坐標分別為。 由題設知均不為零，記,則且 又A，P，B，Q四點共線，從而 于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2） 又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得 即點總在定直線上 方法二 設點，由題設，均不為零。 且 又 四點共線，可設,于是 （1） （2） 由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4) (4)－(3) 得 即點總在定直線上 練習9、（08四川理）設橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率，右準線為，、是上的兩個動點，． （Ⅰ）若，求、的值； （Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線． 問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題） 例10、（07四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點。 （Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值； （Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。 本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，設，則 因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值 當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值 解法二：易知，所以，設，則 （以下同解法一） （Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線， 聯(lián)立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 練習10、已知直線相交于A、B兩點。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值。 問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓） 例11、(2009山東卷理)（本小題滿分14分） 設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點, 所以解得所以橢圓E的方程為 （2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且. 因為, 所以, , ①當時 因為所以, 所以, 所以當且僅當時取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ② 當時,. ③ 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時, 綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系. 練習11：設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程; (3)已知,設直線與圓C:(1
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- 圓錐曲線 題型 總結(jié)
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