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1、、數(shù)學(xué)思維的變通性?:根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案 二、數(shù)學(xué)思維的反思性?:提出獨(dú)特見(jiàn)解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。 三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性?:考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。 四、數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性?:對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多種不同的解。 第一章 數(shù)學(xué)思維的變通性? 一、變通性的概念 ??? 數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性——善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： ?? ?（1）從題

2、目角度出發(fā)，善于觀察 ?? ?心理學(xué)告訴我們：感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。 ??? 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。 ???從做題角度上看，就是一切從題目角度出發(fā)，題目讓干什么，我們做什么。題目沒(méi)有提到的，一概先不思考。只有從解題角度上，需要的知識(shí)點(diǎn)，題目沒(méi)有提到的，我們才思考。 ?? 由

3、此，我們可以看出，并不是題目難解，而是我們沒(méi)有觀察出題目的關(guān)聯(lián)性。 ?? （2）從條件入手，善于聯(lián)想 ??? 聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開(kāi)缺口，不斷深入。 ? （3）善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ??? 數(shù)學(xué)家G . 波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未

4、知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。 思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。 綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 看到這里，我想，你就會(huì)有一個(gè)概念，數(shù)學(xué)是相通的，是可以將一個(gè)條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為多種形式出現(xiàn)的，一旦你抓住了根本，就能馬上做題。一旦沒(méi)有抓住，而苦苦思索是必

5、然的。 ?二、思維訓(xùn)練實(shí)例 （1）?? 觀察能力的訓(xùn)練 ? ?雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。做題時(shí)不要盲目解題，以題目為主，不要看到題，就聯(lián)想知識(shí)點(diǎn)，這種做題方式只適合簡(jiǎn)單題，而不適合大

6、題。 （2）?? 聯(lián)想能力的訓(xùn)練 思維障礙有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。 思路2：由于是選擇題，題目只給了一個(gè)條件，并且顯然必有一個(gè)結(jié)論是正確的，∠C是鈍角，求的是tgA×tgB的值，不妨構(gòu)造∠A=∠B=30°，∠C=120°，那么問(wèn)題迎刃而解。這就是根據(jù)題目限定的范圍，進(jìn)行的聯(lián)想。很多選擇題，填空題，都可以這么聯(lián)想。 （3）?? 問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)

7、解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 1? 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。 2? 逆向思維的訓(xùn)練 ?? 逆向思維也稱為必要性思維。不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。 ?? 問(wèn)題的思考角度為：要想得到這個(gè)結(jié)論，所需要的前提條件是？不斷

8、逆推，直到條件可以利用。 思路分析? 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。 ???解析：題目要證明至少有一個(gè)不小于1，那么我們不妨假定三者全部小于1，帶入驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)結(jié)果不成立，從而肯定了“至少一個(gè)小于1”的結(jié)論。用必要性思維進(jìn)行表達(dá)：至少有一個(gè)不小于1=如果全部小于1，則不成立。前面的全部例子都可以用必要性思維進(jìn)行驗(yàn)證。?? 3 一題多解訓(xùn)練與一解多題訓(xùn)練 ??? 由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解

9、”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。這類題型太多，我就不舉例子。 在整理大量題的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多題型雖然考法不同，應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)不同，考察形式風(fēng)馬牛不相及，但是整體的思路非常趨于一致！那么這種思路就是“一解多題”的思路。其實(shí)一解多題并不神秘，相反非常簡(jiǎn)單。我們看前面的例題，第一道題求和的思路是，把結(jié)論換成熟悉的公式，即簡(jiǎn)化思想?；蛘哂媚嫦蛩季S，要想求得這個(gè)結(jié)論，必須得出什么條件……第二個(gè)例題求方程組的思路是，把方程組轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一元二次方程，也是簡(jiǎn)化思想……再看后面的題，解題過(guò)程如果從正向角度而言，不外乎是簡(jiǎn)化，推導(dǎo)、應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)。如果從

10、逆向思維來(lái)考慮，也是找到入手點(diǎn)，尋找問(wèn)題成立或不成立的前提，然后轉(zhuǎn)化條件……這就是一解多題的思想。當(dāng)然，這里的“解”指的是思路，而不是固定的方法。如果拋卻題目難度和知識(shí)點(diǎn)的差異，甚至解題的步驟都趨于一致。 綜合：1學(xué)會(huì)從題目入手 學(xué)會(huì)從題目所給的條件中去尋求知識(shí)點(diǎn)做題 任何一道考題題目和條件之間必然有關(guān)聯(lián)性，必定有方法可以做出來(lái) 知識(shí)點(diǎn)所占的部分在考題出現(xiàn)過(guò)程中基本上屬于過(guò)渡型橋梁階段 我們要高效率做題，自然要從題目本身入手，尋求題目和條件中的蛛絲馬跡做題 但是水平較高的考生會(huì)不自覺(jué)地根據(jù)現(xiàn)有條件可觀的推導(dǎo)缺失信息，自然而然的引出知識(shí)點(diǎn)，從而把題做出。大部分考生依賴做題經(jīng)驗(yàn)首先想

11、到知識(shí)點(diǎn)，再由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)多方向推測(cè)，最終驗(yàn)證出結(jié)果，或者由于方向過(guò)多導(dǎo)致明明知識(shí)點(diǎn)會(huì)，而無(wú)從入手，導(dǎo)致花費(fèi)大量時(shí)間或丟分，甚至錯(cuò)誤的用類似知識(shí)點(diǎn)去思考，這是對(duì)考試認(rèn)識(shí)的不足 2.客觀審題，利用題目所給的條件做題 首先強(qiáng)調(diào)，客觀思維是獲取高分的第一要素，尤其是英語(yǔ)和理科學(xué)科。 當(dāng)然轉(zhuǎn)變一種思維模式是比較困難的，但是一旦摸清了這種思想，再看題目，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很容易。試題中存在許多迷惑信息，往往引起考生主觀聯(lián)想，導(dǎo)致走上歧途，始終記住，你不是出題者，只能憑借題目現(xiàn)有的文字資料做題，沒(méi)有說(shuō)的一概不能想象，當(dāng)且僅當(dāng)文字提到，或者能 形成這些文字的必要條件的，我們才能認(rèn)可。

12、比如前兩天一個(gè)同學(xué)問(wèn)我一道丟分率相對(duì)較高的生物考題：用某種藥物飼養(yǎng)動(dòng)物一段時(shí)間后測(cè)得實(shí)驗(yàn)組比對(duì)照組動(dòng)物血漿中血紅蛋白含量明顯增高。該藥物的作用可能是。A.增強(qiáng)血紅蛋白的合成能力；B.提高血漿蛋白的含量；C.增加紅細(xì)胞的合成數(shù)量；D.對(duì)紅細(xì)胞有破壞作用。用知識(shí)點(diǎn)“血紅蛋白存在于紅細(xì)胞內(nèi)”去思考的話，是極其容易選A、C，尤其是A的，這都是主觀思維，題目沒(méi)說(shuō)增強(qiáng)血紅蛋白的合成能力就表示含量增高，打比方說(shuō)你飯量增加，但是能說(shuō)明你吃的飯一定多嗎？節(jié)食減肥不行嗎？C選項(xiàng)明顯不對(duì)，細(xì)胞多和含量沒(méi)關(guān)系，一碗飯幾個(gè)人吃都行；B講的是一種結(jié)果，不是原因，顯然不對(duì)；D形成的結(jié)果能夠題目條件的必要條件，自然選D，紅細(xì)

13、胞破了，血紅蛋白自然會(huì)溢出到血漿中去，這個(gè)是可作為必要條件的，所以是正確的。很多題都可以這么做，當(dāng)你保持可觀性審題思維的時(shí)候，往往能夠正確的分析題目所求的結(jié)果，無(wú)論是大題還是選擇填空題 所謂難題，難在怎么從題目分析，而不是知識(shí)點(diǎn)。這道題大家即使能做出來(lái)，但是誰(shuí)能明白是如何做出來(lái)的嗎？在做題時(shí)，式子的全部變形，直接體現(xiàn)在問(wèn)題所問(wèn)的和題目給出的條件到底差在哪。大家要根據(jù)式子所給條件的差距，決定思維往哪想，而不是根據(jù)腦中的知識(shí)點(diǎn)，以后大家要反過(guò)來(lái)記住，是由差距來(lái)判斷、決定知識(shí)點(diǎn)，而不是想由知識(shí)點(diǎn)去彌補(bǔ)這個(gè)差距。每次做題訓(xùn)練的時(shí)候，哪怕不會(huì)做看答案，也按照這個(gè)思維去套 這才是真正的客觀審題，在審題

14、過(guò)程就就該由著題目決定你該往哪走，不僅數(shù)學(xué)如此，所有學(xué)科都存在同樣的道理。就如語(yǔ)文，即使是考察非常發(fā)散性的、主觀性的作文，也必須要求你不能離題，因此同學(xué)們做題的時(shí)候，一定要記得：從題目入手，客觀審題、利用題目所給的條件做題，才能百戰(zhàn)百勝，每一道題都用這種思維做，將沒(méi)有難題 3、理科形成相對(duì)固定的解題思維和步驟 形成相對(duì)固定的解題思維和步驟指的是一門(mén)學(xué)科用一種或者兩三種思維，制定一定的步驟全部拿下。就比如說(shuō)前面舉的數(shù)學(xué)例題，這種根據(jù)題目條件尋求差異點(diǎn)的思維就能解決大部分的題，除了立體幾何、排列組合外，都能解答出來(lái)。只有當(dāng)題目條件過(guò)多或者過(guò)少的時(shí)候，我們采用逆向的思維，就是必要性思維 即從結(jié)果

15、遞推出滿足這個(gè)結(jié)果的必要條件 有人說(shuō)英語(yǔ)沒(méi)步驟吧？英語(yǔ)有其思維步驟，做任何英語(yǔ)題，大家都習(xí)慣邊讀心里邊翻譯，大家要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，掌握句子的語(yǔ)義就能拿下大部分題。讀題解題順序是：首先讀懂認(rèn)識(shí)的單詞，大致了解句子的語(yǔ)義，水平較差的只要從句子中了解這句話大意是一個(gè)什么玩藝做什么什么動(dòng)作或者怎么著這種模糊的概念即刻，然后判斷對(duì)象、時(shí)間、動(dòng)作發(fā)生的性質(zhì)（持續(xù)、終止、停止），弱化語(yǔ)法及句子的結(jié)構(gòu)分析，將主要精力放在語(yǔ)義上 那文科有相對(duì)固定的解題思維和步驟嗎？有的，但是因?yàn)槲目祁愵}型較為豐富，只能大概的總結(jié)歸納下：讀題方向的把握，第一步，看清問(wèn)什么，尤其是選擇題，與問(wèn)題無(wú)關(guān)的第一時(shí)間排除，哪怕是出自原文。第二步，抓住題目暗示的知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)，尤其是政治部分，描述了一些史實(shí)，叫你表達(dá)，要看清楚提干重點(diǎn)表達(dá)什么思想，自己別以為他要你答什么，看側(cè)重點(diǎn)。第三步，因?yàn)橹饔^式答題，將要點(diǎn)先列出，再闡述，第四步，細(xì)節(jié)修飾，這個(gè)比較重要，可以對(duì)遺漏部分做一個(gè)補(bǔ)充。這里只講答題步驟，至于思維部分，主要還是來(lái)源于題，抓住重點(diǎn)。 1、題目看不懂 2、曲解題意 3、明白題目意思，但不知道該如何轉(zhuǎn)化 4、題目非常熟悉，并且大致知道怎么解答，就是無(wú)法寫(xiě)下去 5、會(huì)做，但是走了很多彎路，嘗試不止一次才能做對(duì) 6、完全會(huì)做，但是拿不到全部分?jǐn)?shù)